湖南省邵阳二中2019届高三上学期第六次月考数学（理）试卷 12页

‎2019届高三第六次月考数学理科试卷 学号 姓名 ‎ 总分150分 时间：120min 命题：胡朝辉 审核 ：邓平海 一．选择题（共12小题，共60分）‎ ‎1．若全集U＝{1，2，3，4}且∁UA＝{2，3}，则集合A的真子集共有（　　）‎ A．3个 B．5个 C．7个 D．8个 ‎2．设复数z满足（1+i）z＝i，则z的共轭复数＝（　　）‎ A．+i B．﹣i C．﹣+i D．﹣﹣i ‎3．设等比数列{an}满足a1+a2＝12，a1﹣a3＝6，则a1•a2…•an的最大值为（　　）‎ A．32 B．128 C．64 D．256‎ ‎4．若函数f（x）＝x 1g（mx+）为偶函数，则m＝（　　）‎ A．﹣1 B．1 C．﹣1或1 D．0‎ ‎5．元朝时，著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的x＝0，问一开始输入的x＝（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知A（2，3），B（4，﹣3）且，则P点的坐标为（　　）‎ A．（6，9） B．（3，0） C．（6，﹣9） D．（2，3）‎ ‎7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（　　）‎ A． B． C．48 D．‎ ‎8．设变量x，y满足约束条件，则目标函数 z＝|3x+y| 的最大值为（　　）‎ A．4 B．6 C．8 D．10‎ ‎9．若当x＝θ时，函数f（x）＝3sinx+4cosx取得最大值，则cosθ＝（　　）‎ A． B． C． D．﹣‎ ‎10．在三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，CA⊥平面PAB，PA＝PB＝AB＝2，AC＝4，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为（　　）‎ A．24π B．32π C．48π D．64π ‎11．已知F1，F2是双曲线的左、右焦点，点F1关于渐近线的对称点恰好落在以F2为圆心，|OF2|为半径的圆上，则该双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C．2 D．3‎ ‎12．已知函数f（x）＝ex（ax﹣1）﹣ax+a（a≥0），若有且仅有两个整数xi（i＝1，2），使得f（xi）＜0，则a的取值范围为（　　）‎ A．[，1） B．[，1） ‎ C．（，] D．（，]‎ 二．填空题（共4小题，共20分）‎ ‎13．已知向量与的夹角为120°，且则向量在向量方向上的投影为　 　．‎ ‎14．（x+2y）（x﹣y）6的展开式中，x4y3的系数为　 　（用数字作答）．‎ ‎15已知点M抛物线y2＝4x上的一点，F为抛物线的焦点，点A在圆C:‎ 上，则的最小值 ‎ ‎16．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝2CB＝2，P是△ABC内一动点，∠BPC＝120°，则AP的最小值为　 　．‎ 三．解答题（共6小题，共70分）‎ ‎17（12分)设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，已知a5＝9，S7＝49．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）令bn＝an•2n，求数列{bn}的前n项和．‎ ‎18（12分)．在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD＝2，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠A＝60°，E是D的中点．‎ ‎（1）求证：BE⊥平面PAD；‎ ‎（2）求平面PAB与平面PBC所成的锐二面角的余弦值．‎ ‎19．已知A，B为椭圆+＝1上的两个动点，满足∠AOB＝90°．‎ ‎（1）求证：原点O到直线AB的距离为定值；（2）求+的最大值；‎ ‎（3）求过点O，且分别以OA，OB为直径的两圆的另一个交点P的轨迹方程．‎ ‎20．一只药用昆虫的产卵数y与一定范围内的温度x有关，现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如表：‎ 温度x/°C ‎21‎ ‎23‎ ‎24‎ ‎27‎ ‎29‎ ‎32‎ 产卵数y/个 ‎6‎ ‎11‎ ‎20‎ ‎27‎ ‎57‎ ‎77‎ 经计算得：，，，，，线性回归模型的残差平方和，e8.0605≈3167，其中xi，yi分别为观测数据中的温度和产卵数，i＝1，2，3，4，5，6．‎ ‎（Ⅰ）若用线性回归模型，求y关于x的回归方程＝x+（精确到0.1）；‎ ‎（Ⅱ）若用非线性回归模型求得y关于x的回归方程为＝0.06e0.2303x，且相关指数R2＝0.9522．‎ ‎（i）试与（Ⅰ）中的回归模型相比，用R2说明哪种模型的拟合效果更好．‎ ‎（ii）用拟合效果好的模型预测温度为35°C时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）． 附：一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回归直线＝x+的斜率和截距的最小二乘估计，＝﹣；．‎ ‎21．已知函数f（x）＝lnx﹣mx（m为常数）．‎ ‎（1）讨论函数f（x）的单调性；‎ ‎（2）当时，设g（x）＝2f（x）+x2的两个极值点x1，x2，（x1＜x2）恰为h（x）＝lnx﹣cx2﹣bx的零点，求的最小值．‎ 选做题（二选一，从22,23中任选一题，10分.）‎ ‎22．已知曲线C的极坐标方程是ρ＝4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t为参数）．‎ ‎（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|＝，求直线l的倾斜角α 的值．‎ ‎23．已知函数f（x）＝|2x+1|（x∈R）．‎ ‎（Ⅰ）解不等式f（x）≤1；‎ ‎（Ⅱ）设函数g（x）＝f（x）+f（x﹣1）的最小值为m，且a+b＝m，（a，b＞0），求的范围．‎ 参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题）‎ ‎1-5 ABCCB 6-10 CBCBB 11-12．DB ‎ 解法：若有且仅有两个整数xi（i＝1，2），使得f（xi）＜g（xi）成立，‎ 则a（xex﹣x+1）＜ex有两个整数解．‎ 因为y＝x（ex﹣1）+1，当x＞0时，ex﹣1＞0，x（ex﹣1）+1＞0；‎ 当x＜0时，ex﹣1＜0，x（ex﹣1）+1＞0，‎ ‎∴a有两个整数解…（8分）‎ 设g（x）＝，则，‎ 令h（x）＝2﹣x﹣ex，则h′（x）＝﹣1﹣ex＜0，‎ 又h（0）＝1＞0，h（（1）＝1﹣e＜0，‎ 所以∃x0∈（0，1），使得h（x0）＝0，‎ ‎∴g（x）在（﹣∞，x0）为增函数，在（x0，+∞）为减函数，‎ ‎∴a＜有两个整数解的充要条件是：‎ ‎，‎ 解得≤a＜1．故选：B．‎ 二．填空题（共4小题）‎ ‎13．‎ ‎14．（x+2y）（x﹣y）6的展开式中，x4y3的系数为　10　（用数字作答）．‎ ‎15．3‎ ‎16．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝2CB＝2，P是△ABC内一动点，∠BPC＝120°，则AP的最小值为　﹣1　．‎ ‎【解答】解：设∠PBC＝θ，则：∠ACP+∠BCP＝60°，‎ ‎∠PBC+∠BCP＝60°，所以：∠ACP＝∠PBC＝θ．‎ 在△PBC中，由正弦定理得：＝＝2＝，‎ 所以：PC＝2sinθ．在△PBC中，AP2＝PC2+AC2﹣2•PC•ACcosθ，‎ 即：，＝，‎ 且，由于：0＜θ＜60°，则：0＜2θ＜120°，‎ 由 三．解答题（共7小题）‎ ‎17．设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，已知a5＝9，S7＝49．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）令bn＝an•2n，求数列{bn}的前n项和．‎ ‎【分析】（1）由S7＝49结合等差数列的性质求得a4＝7，再求等差数列的公差和通项式；‎ ‎（2）bn＝an•2n＝（2n﹣1）•2n，用错位相减法求数列{bn}的前n项和为Tn ‎【解答】解：（1）在等差数列{an}中，由S7＝7（a1+a7）＝49，得：a4＝7，又∵a5＝9，∴公差d＝2，a1＝1，‎ ‎∴数列{an}的通项公式an＝2n﹣1 （n∈N+），‎ ‎（2）bn＝an•2n＝（2n﹣1）•2n，‎ 令数列{bn}的前n项和为Tn，‎ Tn＝1×21+3×22+5×23+…+（2n﹣3）×2n﹣1+（2n﹣1）•2n…①‎ ‎2 Tn＝1×22+3×23++…+（2n﹣5）×2n﹣1+（2n﹣3）•2n+（2n﹣1）•2n+1…②‎ ‎﹣Tn＝2+2（22+23++…+2n﹣1+•2n）﹣（2n﹣1）•2n+1＝2+2n+2﹣8﹣+（2n﹣1）•2n+1；‎ ‎∴Tn＝（2n﹣3）2n+1+6．‎ ‎18．证明：（1）连接BD，由PA＝PD＝2，E是AD的中点，得PE⊥AD，‎ 由平面PAD⊥平面ABCD，可得PE⊥平面ABCD，PE⊥BE，‎ 又由于四边形ABCD是边长为2的菱形，‎ ‎∠A＝60°，‎ ‎∴BE⊥AD，∴BE⊥平面PAD．………（6分）‎ 解：（2）以E为原点，EA，EB，EP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，‎ P（0，0，），A（1，0，0），‎ B（0，，0），C（﹣2，，0），‎ ‎＝（1，0，﹣），＝（0，），＝（﹣2，），‎ 令平面PAB的法向量为＝（x，y，z），‎ 则，取y＝1，得＝（），………………（9分）‎ 同理可得平面PBC的一个法向量为＝（0，1，1），‎ 所以平面PAB与平面PBC所成锐二面角的余弦值为：‎ ‎|cos＜＞|＝＝．………………（12分）‎ ‎19．（1）证明：当直线AB的斜率不存在时，由y＝x代入椭圆方程可得：＝1，解得x＝±，此时原点O到直线AB的距离为．‎ 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx+t，A（x1，y1），B（x2，y2）．‎ 联立，化为（b2+a2k2）x2+2a2ktx+a2t2﹣a2b2＝0，‎ ‎△＞0，则x1+x2＝，x1x2＝，‎ ‎∵∠AOB＝90°．‎ ‎∴x1x2+y1y2＝x1x2+（kx1+t）（kx2+t）＝0，‎ 化为（1+k2）x1x2+kt（x1+x2）+t2＝0，‎ 化为﹣+t2＝0，‎ 化为＝，‎ ‎∴原点O到直线AB的距离d＝＝．‎ 综上可得：原点O到直线AB的距离为定值．‎ ‎（2）解：由（1）可得|OA||OB|＝•|AB|，‎ ‎∴|OA||OB|＝•|AB|，‎ ‎∴+＝＝‎ ‎＝•≤，‎ 当且仅当|OA|＝|OB|时取等号．‎ ‎∴+的最大值为．‎ ‎（3）解：如图所示，过点O，且分别以OA，OB为直径的两圆的另一个交点P的轨迹满足：OP⊥PA，OP⊥PB．‎ 因此P，A，B三点共线．‎ 由（1）可知：原点O到直线AB的距离为定值．‎ ‎∴分别以OA，OB为直径的两圆的另一个交点P的轨迹方程为x2+y2＝．‎ ‎20．解：（Ⅰ）依题意，n＝6，，…．…（2分）‎ ‎≈33﹣6.6×26＝﹣138.6，…（3分）‎ ‎∴y关于x的线性回归方程为＝6.6x﹣138.6…（4分）‎ ‎（Ⅱ） （ i ）利用所给数据，，得，‎ 线性回归方程＝6.6x﹣138.6‎ 的相关指数R2＝．…（6分）‎ ‎∵0.9398＜0.9522，…（7分）‎ 因此，回归方程＝0.06e0.2303x比线性回归方程＝6.6x﹣138.6拟合效果更好…..…（8分）‎ ‎（ii）由（ i ）得温度x＝35°C时，＝0.06e0.2303×35＝0.06×e8.0605…..…..…（9分）‎ 又∵e8.0605≈3167，…（10分）‎ ‎∴≈0.06×3167≈190（个）…（11分）‎ 所以当温度x＝35°C时，该种药用昆虫的产卵数估计为190个…（12分）‎ ‎21解：（1），‎ 当m≤0时，1﹣mx＞0故f'（x）＞0，‎ 即f（x）在（0，+∞）上单调递增，‎ 当m＞0时，由1﹣mx＞0解得，‎ 即当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，‎ 由1﹣mx＜0，解得，即当时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，‎ 所以f（x）的单调递增区间为，单调递减区间减区间为 ‎（2）g（x）＝2f（x）+x2＝2lnx﹣2mx+x2，‎ 则，‎ 所以g'（x）的两根x1，x2即为方程x2﹣mx+1＝0的两根．‎ 因为，所以△＝m2﹣4＞0，x1+x2＝m，x1x2＝1，‎ 又因为x1，x2为h（x）＝lnx﹣cx2﹣bx的零点，‎ 所以，‎ 两式相减得，‎ 得，‎ 而，‎ ‎＝‎ ‎＝，‎ 令，‎ 由得 因为x1x2＝1，两边同时除以x1+x2，得，‎ 因为，故，解得或t≥2，所以，‎ 设，所以，‎ 则y＝G（t）在上是减函数，‎ 所以，‎ 即的最小值为．‎ ‎22．解：（Ⅰ）由ρ＝4cosθ得ρ2＝4ρcosθ．‎ ‎∵x2+y2＝ρ2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ ‎∴曲线C的直角坐标方程为：x2+y2﹣4x＝0，‎ 即（x﹣2）2+y2＝4‎ ‎（Ⅱ）将直线的方程代入x2+y2﹣4x＝0，的方程，‎ 化简为：t2﹣2tcosα﹣3＝0．（A、B对应的参数为t1和t2）‎ 故：．‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∵α∈[0，π）‎ ‎∴．‎ ‎23．解：（Ⅰ）f（x）≤1，即|2x+1|≤1⇔﹣1≤2x+1≤1，解得x∈[﹣1，0]；‎ ‎∴不等式f（x）≤1的解集为[﹣1，0]‎ ‎（Ⅱ）g（x）＝f（x）+f（x﹣1）＝|2x+1|+|2x﹣1|≥|2x+1﹣（2x﹣1）|＝2，‎ ‎∴a+b＝2（a，b＞0），‎ ‎∴，‎ 当且仅当，即时等号成立，‎ 综上：的范围为