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- 2021-06-17 发布
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2016-2017学年河南省新乡市延津高中高二(上)第一次月考数学试卷(文科)
一、选择题(每小题5分,共60分)
1.在△ABC中,下列等式正确的是( )
A.a:b=∠A:∠B B.a:b=sin A:sin B
C.a:b=sin B:sin A D.asin A=bsin B
2.在等差数列{an}中,a1+a9=10,则a5的值为( ).
A.5 B.6 C.8 D.10
3.若三角形的三个内角之比为1:2:3,则它们所对的边长之比为( )
A.1:2:3 B.1::2 C.1:4:9 D.1::
4.△ABC中,a=5,c=2,S△ABC=4,则b=( )
A. B. C.或 D.
5.在数列{an}中,a1=1,an+1﹣an=2,则a51的值为( )
A.99 B.49 C.102 D.101
6.在△ABC中,B=45°,C=60°,c=1,则最短边的边长是( )
A. B. C. D.
7.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是( )
A.90° B.120° C.135° D.150°
8.在△ABC中,B=60°,b2=ac,则△ABC一定是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形
9.已知等比数列{an}中有a3a11=4a7,数列{bn}是等差数列,且a7=b7,则b5+b9=( )
A.2 B.4 C.8 D.16
10.已知数列{an}的前n项和Sn=n3,则a4=( )
A.37 B.27 C.64 D.91
11.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若=3,则=( )
A.2 B. C. D.3
12.若数列{an}的通项公式是an=(﹣1)n(3n﹣2),则a1+a2+…+a20=( )
A.30 B.29 C.﹣30 D.﹣29
二、填空题(每小题5分,共20分)
13.在△ABC中,A=60°,a=3,则= .
14.已知数列{an}满足:a3=5,an+1=2an﹣1(n∈N*),则a1= .
15.在平行四边形ABCD中,已知AB=10,∠B=60°,AC=30,则平行四边形ABCD的面积 .
16.已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=﹣8,则a1+a10= .
三、解答题(共70分)
17.在△ABC中,已知,c=1,B=60°,求a,A,C.
18.已知等差数列{an}满足a1+a2=10,a4﹣a3=2
(1)求{an}的通项公式;
(2)设等比数列{bn}满足b2=a3,b3=a7,问:b6与数列{an}的第几项相等?
19.在锐角三角形中,边a、b是方程x2﹣2x+2=0的两根,角A、B满足:2sin(A+B)﹣=0,求角C的度数,边c的长度及△ABC的面积.
20.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a2=﹣4,S8=a8,求数列{|an|}的前n项和Tn.
21.等差数列{an}满足a5=14,a7=20,数列{bn}的前n项和为Sn,且bn=2﹣2Sn.
(Ⅰ) 求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ) 证明数列{bn}是等比数列.
22.已知a、b、c分别是△ABC中角A、B、C的对边,且a2+c2﹣b2=ac.
(Ⅰ)求角B的大小;
(Ⅱ)若c=3a,求tanA的值.
2016-2017学年河南省新乡市延津高中高二(上)第一次月考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题(每小题5分,共60分)
1.在△ABC中,下列等式正确的是( )
A.a:b=∠A:∠B B.a:b=sin A:sin B
C.a:b=sin B:sin A D.asin A=bsin B
【考点】正弦定理.
【分析】利用正弦定理判断即可得到结果.
【解答】解:由正弦定理得: ===2R,
∴a:b=sinA:sinB,asinB=bsinA.
故选B
2.在等差数列{an}中,a1+a9=10,则a5的值为( ).
A.5 B.6 C.8 D.10
【考点】等差数列的通项公式.
【分析】本题主要是等差数列的性质等差中项的应用,用求出结果.
【解答】解:由等差数列的性质得a1+a9=2a5,
∴a5=5.
故选A
3.若三角形的三个内角之比为1:2:3,则它们所对的边长之比为( )
A.1:2:3 B.1::2 C.1:4:9 D.1::
【考点】正弦定理.
【分析】由三角形的内角和公式求得三角形的三内角的值,再根据正弦定理求得对应的三边之比.
【解答】解:设最小的角为α,则三内角分别为α、2α、3α,再由α+2α+3α=π,可得 α=,
故三内角的值分别为、、,故由正弦定理可得三角形的对应三边之比为sin:sin:sin=::1=1::2,
故选B.
4.△ABC中,a=5,c=2,S△ABC=4,则b=( )
A. B. C.或 D.
【考点】正弦定理.
【分析】由已知利用三角形面积公式可求sinB的值,利用同角三角函数基本关系式可求cosB的值,进而利用余弦定理即可得解b的值.
【解答】解:∵a=5,c=2,S△ABC=4=acsinB=×5×2×sinB,
∴解得:sinB=,可得:cosB=±=±,
∴b==或.
故选:C.
5.在数列{an}中,a1=1,an+1﹣an=2,则a51的值为( )
A.99 B.49 C.102 D.101
【考点】数列递推式.
【分析】由已知得数列{an}是首项为a1=1,公差为an+1﹣an=2的等差数列,由此能求出a51.
【解答】解:∵在数列{an}中,a1=1,an+1﹣an=2,
∴数列{an}是首项为a1=1,公差为an+1﹣an=2的等差数列,
∴an=1+2(n﹣1)=2n﹣1,
∴a51=2×51﹣1=101.
故选:D.
6.在△ABC中,B=45°,C=60°,c=1,则最短边的边长是( )
A. B. C. D.
【考点】正弦定理.
【分析】由B=45°,C=60°可得A=75°从而可得B角最小,根据大边对大角可得最短边是b,利用正弦定理求b即可
【解答】解:由B=45°,C=60°可得A=75°,
∵B角最小,∴最短边是b,
由=可得,b===,
故选A.
7.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是( )
A.90° B.120° C.135° D.150°
【考点】余弦定理.
【分析】设长为7的边所对的角为θ,根据余弦定理可得cosθ的值,进而可得θ的大小,则由三角形内角和定理可得最大角与最小角的和是180°﹣θ,即可得答案.
【解答】解:根据三角形角边关系可得,最大角与最小角所对的边的长分别为8与5,
设长为7的边所对的角为θ,则最大角与最小角的和是180°﹣θ,
有余弦定理可得,cosθ==,
易得θ=60°,
则最大角与最小角的和是180°﹣θ=120°,
故选B.
8.在△ABC中,B=60°,b2=ac,则△ABC一定是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形
【考点】三角形的形状判断.
【分析】由余弦定理且B=60°得b2=a2+c2﹣ac,再由b2=ac,得a2+c2﹣ac=ac,得a=c,得A=B=C=60°,得△ABC的形状是等边三角形
【解答】解:由余弦定理得:b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac,又b2=ac,
∴a2+c2﹣ac=ac,∴(a﹣c)2=0,∴a=c,∴A=B=C=60°,
∴△ABC的形状是等边三角形.
故选D.
9.已知等比数列{an}中有a3a11=4a7,数列{bn}是等差数列,且a7=b7,则b5+b9=( )
A.2 B.4 C.8 D.16
【考点】等差数列的性质;等比数列的性质.
【分析】由a3a11=4a7,解出a7的值,由 b5+b9=2b7 =2a7 求得结果.
【解答】解:等比数列{an}中,由a3a11=4a7,可知a72=4a7,∴a7=4,
∵数列{bn}是等差数列,∴b5+b9=2b7 =2a7 =8,
故选C.
10.已知数列{an}的前n项和Sn=n3,则a4=( )
A.37 B.27 C.64 D.91
【考点】数列的函数特性.
【分析】利用a4=S4﹣S3即可得出.
【解答】解:∵数列{an}的前n项和Sn=n3,
∴a4=S4﹣S3=43﹣33=37.
故选:A.
11.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若=3,则=( )
A.2 B. C. D.3
【考点】等比数列的前n项和.
【分析】首先由等比数列前n项和公式列方程,并解得q3,然后再次利用等比数列前n项和公式则求得答案.
【解答】解:设公比为q,则===1+q3=3,
所以q3=2,
所以===.
故选B.
12.若数列{an}的通项公式是an=(﹣1)n(3n﹣2),则a1+a2+…+a20=( )
A.30 B.29 C.﹣30 D.﹣29
【考点】数列的求和.
【分析】易知当n为奇数时,an+an+1=﹣(3n﹣2)+(3(n+1)﹣2)=3,从而解得.
【解答】解:∵当n为奇数时,
an+an+1=﹣(3n﹣2)+(3(n+1)﹣2)=3,
∴a1+a2+…+a20
=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a19+a20)
=3×10=30;
故选:A.
二、填空题(每小题5分,共20分)
13.在△ABC中,A=60°,a=3,则= .
【考点】正弦定理;同角三角函数基本关系的运用.
【分析】由A的度数求出sinA的值,利用正弦定理表示出比例式,再由a的值及求出的sinA,算出比例式的比值,根据比例的性质即可得到所求式子的值.
【解答】解:由A=60°,a=3,
根据正弦定理得: ==2,
则=2.
故答案为:2
14.已知数列{an}满足:a3=5,an+1=2an﹣1(n∈N*),则a1= 2 .
【考点】数列递推式.
【分析】利用递推公式,结合递推思想求解.
【解答】解:∵数列{an}满足:a3=5,an+1=2an﹣1(n∈N*),
∴a2=×(5+1)=3.
a1==2.
故答案为:2.
15.在平行四边形ABCD中,已知AB=10,∠B=60°,AC=30,则平行四边形ABCD的面积 300 .
【考点】正弦定理.
【分析】由已知利用余弦定理可求BC的值,进而利用三角形面积公式即可计算得解.
【解答】解:∵AB=10,∠B=60°,AC=30,
∴在三角形ABC中用余弦定理:AC2=AB2+BC2﹣2AB×BC×cosB,可得:900=300+BC2﹣2×10×BC×,
∴解得:BC=20,
∴面积S=AB×BC×sinB=300.
故答案为:300.
16.已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=﹣8,则a1+a10= ﹣7 .
【考点】等比数列的通项公式.
【分析】由等比数列的性质和韦达定理可得a4,a7,进而可求公比q3,代入等比数列的通项可求a1,a10,相加即可.
【解答】解:由题意和等比数列的性质可得a4a7=a5a6=﹣8,
∴a4和a7为方程x2﹣2x﹣8=0的两实根,
解得方程可得或
当时,公比满足q3==﹣2,
此时a1=1,a10=﹣8,∴a1+a10=﹣7;
当时,公比满足q3==﹣,
此时a1=﹣8,a10=1,∴a1+a10=﹣7;
故答案为:﹣7.
三、解答题(共70分)
17.在△ABC中,已知,c=1,B=60°,求a,A,C.
【考点】解三角形;正弦定理.
【分析】由B的度数求出sinB的值,再由b与c的值,利用正弦定理求出sinC的值,再由c小于b,根据大角对大边可得C小于B,由B的度数可得C的范围,进而利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数,由B和C的度数,利用三角形的内角和定理求出A的度数,发现A为直角,故由b和c的长,利用勾股定理即可求出a的长.
【解答】解:∵,c=1,B=60°,
由正弦定理得:,
又c<b,∴C=30°;…
∴A=180°﹣B﹣C=90°;…
∴△ABC为直角三角形,又b=,c=1,
∴根据勾股定理得:.…
18.已知等差数列{an}满足a1+a2=10,a4﹣a3=2
(1)求{an}的通项公式;
(2)设等比数列{bn}满足b2=a3,b3=a7,问:b6与数列{an}的第几项相等?
【考点】等差数列的性质.
【分析】(I)由a4﹣a3=2,可求公差d,然后由a1+a2=10,可求a1,结合等差数列的通项公式可求
(II)由b2=a3=8,b3=a7=16,可求等比数列的首项及公比,代入等比数列的通项公式可求b6,结合(I)可求
【解答】解:(I)设等差数列{an}的公差为d.
∵a4﹣a3=2,所以d=2
∵a1+a2=10,所以2a1+d=10
∴a1=4,
∴an=4+2(n﹣1)=2n+2(n=1,2,…)
(II)设等比数列{bn}的公比为q,
∵b2=a3=8,b3=a7=16,
∴
∴q=2,b1=4
∴=128,而128=2n+2
∴n=63
∴b6与数列{an}中的第63项相等
19.在锐角三角形中,边a、b是方程x2﹣2x+2=0的两根,角A、B满足:2sin(A+B)﹣=0,求角C的度数,边c的长度及△ABC的面积.
【考点】解三角形;三角形中的几何计算.
【分析】由2sin(A+B)﹣=0,得到sin(A+B)的值,根据锐角三角形即可求出A+B的度数,进而求出角C的度数,然后由韦达定理,根据已知的方程求出a+b及ab的值,利用余弦定理表示出c2,把cosC的值代入变形后,将a+b及ab的值代入,开方即可求出c的值,利用三角形的面积公式表示出△ABC的面积,把ab及sinC的值代入即可求出值.
【解答】解:由2sin(A+B)﹣=0,得sin(A+B)=,
∵△ABC为锐角三角形,
∴A+B=120°,C=60°.
又∵a、b是方程x2﹣2x+2=0的两根,∴a+b=2,a•b=2,
∴c2=a2+b2﹣2a•bcosC=(a+b)2﹣3ab=12﹣6=6,
∴c=,
S△ABC=absinC=×2×=.
20.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a2=﹣4,S8=a8,求数列{|an|}的前n项和Tn.
【考点】数列的求和.
【分析】根据条件a2=﹣4,S8=a8,可解得等差数列的首项和公差,故an=2n﹣8,Sn=n(n﹣7).由an≤0解得n≤4,即数列{an}前3项为负数,第4项为0,从第5项开始为正数.对n分类讨论再利用等差数列的前n项和公式即可得Tn.
【解答】解:设等差数列{an}的公差为d,
由S8=a8得8a1+d=a1+7d,则a1=﹣3d.
又a2=a1+d=﹣4,∴d=2,a1=﹣6.
∴an=﹣6+(n﹣1)×2=2n﹣8,Sn===n(n﹣7).
由an≤0解得n≤4,即数列{an}前3项为负数,第4项为0,从第5项开始为正数.
∴当n≤4时,Tn=﹣Sn=n(7﹣n)=﹣n2+7n,
当n≥5时,Tn=Sn﹣S4+(﹣S4)=Sn﹣2S4=n(n﹣7)﹣2×4×(4﹣7)=n2﹣7n+24
∴Tn=
21.等差数列{an}满足a5=14,a7=20,数列{bn}的前n项和为Sn,且bn=2﹣2Sn.
(Ⅰ) 求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ) 证明数列{bn}是等比数列.
【考点】等差数列的前n项和.
【分析】(I)利用等差数列的通项公式即可得出.
(II)利用数列递推关系、等比数列的定义即可得出.
【解答】(Ⅰ) 解:数列{an}为等差数列,公差,a1=2,∴an=3n﹣1.
(Ⅱ)证明:由bn=2﹣2Sn,当n≥2时,有bn﹣1=2﹣2Sn﹣1,可得bn﹣bn﹣1=﹣2(Sn﹣Sn﹣1)=﹣2bn.即.
所以{bn}是等比数列.
22.已知a、b、c分别是△ABC中角A、B、C的对边,且a2+c2﹣b2=ac.
(Ⅰ)求角B的大小;
(Ⅱ)若c=3a,求tanA的值.
【考点】余弦定理的应用.
【分析】(Ⅰ)直接利用余弦定理即可得到结论;
(Ⅱ)先将c=3a代入a2+c2﹣b2=ac,得.利用余弦定理求出;再根基同角三角函数之间的关系求出其正弦即可求出结论.
【解答】解:(Ⅰ)由余弦定理,得=
∵0<B<π,
∴.
(Ⅱ):将c=3a代入a2+c2﹣b2=ac,得.
由余弦定理,得.
∵0<A<π,
∴.
∴.