高中数学必修4同步练习：两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一) 5页

必修四 3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)‎ 一、选择题 ‎1、在三角形ABC中，三内角分别是A、B、C，若sin C＝2cos Asin B，则三角形ABC一定是(　　)‎ A．直角三角形 B．正三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 ‎2、若函数f(x)＝(1＋tan x)cos x,0≤x<，则f(x)的最大值为(　　)‎ A．1 B．‎2 C．1＋ D．2＋ ‎3、已知cos αcos β－sin αsin β＝0，那么sin αcos β＋cos αsin β的值为(　　)‎ A．－1 B．‎0 C．1 D．±1‎ ‎4、若锐角α、β满足cos α＝，cos(α＋β)＝，则sin β的值是(　　)‎ A. B. C. D. ‎5、sin 245°sin 125°＋sin 155°sin 35°的值是(　　)‎ A．－ B．－ C. D. ‎6、计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于(　　)‎ A. B. C. D. 二、填空题 ‎7、已知sin α＋cos＝，则sin的值是________．‎ ‎8、式子的值是________．‎ ‎9、已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则的值是__________．‎ ‎10、函数f(x)＝sin x－cos x的最大值为________．‎ ‎11、化简sin＋cos的结果是________．‎ 三、解答题 ‎12、求函数f(x)＝sin x＋cos x＋sin x·cos x，x∈R的最值及取到最值时x的值．‎ ‎13、证明：－2cos(α＋β)＝.‎ ‎14、已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin 2α的值．‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、C　[∵sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝2cos Asin B ‎∴sin Acos B－cos Asin B＝0.即sin(A－B)＝0，∴A＝B.]‎ ‎2、B　[f(x)＝(1＋tan x)cos x＝cos x＋sin x＝2(cos x＋sin x)＝2sin(x＋)，‎ ‎∵0≤x<，‎ ‎∴≤x＋<.‎ ‎∴f(x)max＝2.]‎ ‎3、D　[cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)＝0.‎ ‎∴α＋β＝kπ＋，k∈Z，‎ ‎∴sin αcos β＋cos αsin β＝sin(α＋β)＝±1.]‎ ‎4、C　[∵cos α＝，cos(α＋β)＝，‎ ‎∴sin α＝，sin(α＋β)＝.‎ ‎∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝×－×＝.]‎ ‎5、B　[原式＝－sin 65°sin 55°＋sin 25°sin 35°‎ ‎＝－cos 25°cos 35°＋sin 25°sin 35°‎ ‎＝－cos(35°＋25°)＝－cos 60°＝－.]‎ ‎6、A 二、填空题 ‎7、－ 解析　sin α＋cos ‎＝sin α＋cos αcos ＋sin αsin ‎＝sin α＋cos α ‎＝ ‎＝ ‎＝sin＝.‎ ‎∴sin＝.‎ ‎∴sin＝－sin＝－.‎ ‎8、 解析　原式＝ ‎＝ ‎＝＝tan 60°＝.‎ ‎9、 解析　 ‎∴，‎ ‎∴＝＝.‎ ‎10、 解析　f(x)＝sin x－cos x＝＝＝sin.‎ ‎11、cos α 解析　原式＝sin cos α＋cos sin α＋cos cos α－sin sin α＝cos α.‎ 三、解答题 ‎12、解　设sin x＋cos x＝t，‎ 则t＝sin x＋cos x＝＝sin，‎ ‎∴t∈[－，]，‎ ‎∴sin x·cos x＝＝.‎ ‎∴f(x)＝sin x＋cos x＋sin x·cos x 即g(t)＝t＋＝(t＋1)2－1，t∈[－，]．‎ 当t＝－1，即sin x＋cos x＝－1时，f(x)min＝－1.‎ 此时，由sin＝－，‎ 解得x＝2kπ－π或x＝2kπ－，k∈Z.‎ 当t＝，即sin x＋cos x＝时，f(x)max＝＋.‎ 此时，由sin＝，sin＝1.‎ 解得x＝2kπ＋，k∈Z.‎ 综上，当x＝2kπ－π或x＝2kπ－，k∈Z时，f(x)取最小值且f(x)min＝－1；当x＝2kπ＋，k∈Z时，f(x)取得最大值，f(x)max＝＋.‎ ‎13、证明　－2cos(α＋β)‎ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝.‎ ‎14、解　因为<β<α<，‎ 所以0<α－β<，‎ π<α＋β<.‎ 又cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，‎ 所以sin(α－β)＝＝＝，‎ cos(α＋β)＝－＝－＝－.‎ 所以sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)‎ ‎＝×＋×＝－.‎