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  • 2021-06-17 发布

高中数学 1_3_3 函数的最值与导数同步练习 新人教A版选修2-2

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选修2-2 ‎1.3.3‎ 函数的最值与导数 一、选择题 ‎1.函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值是M,最小值是m,若M=m,则f′(x)(  )‎ A.等于0        B.大于0‎ C.小于0 D.以上都有可能 ‎[答案] A ‎[解析] ∵M=m,∴y=f(x)是常数函数 ‎∴f′(x)=0,故应选A.‎ ‎2.设f(x)=x4+x3+x2在[-1,1]上的最小值为(  )‎ A.0     B.-2    ‎ C.-1     D. ‎[答案] A ‎[解析] y′=x3+x2+x=x(x2+x+1)‎ 令y′=0,解得x=0.‎ ‎∴f(-1)=,f(0)=0,f(1)= ‎∴f(x)在[-1,1]上最小值为0.故应选A.‎ ‎3.函数y=x3+x2-x+1在区间[-2,1]上的最小值为(  )‎ A. B.2 ‎ C.-1 D.-4‎ ‎[答案] C ‎[解析] y′=3x2+2x-1=(3x-1)(x+1)‎ 令y′=0解得x=或x=-1‎ 当x=-2时,y=-1;当x=-1时,y=2;‎ 当x=时,y=;当x=1时,y=2.‎ 所以函数的最小值为-1,故应选C.‎ ‎4.函数f(x)=x2-x+1在区间[-3,0]上的最值为(  )‎ A.最大值为13,最小值为 B.最大值为1,最小值为4‎ C.最大值为13,最小值为1‎ D.最大值为-1,最小值为-7‎ ‎[答案] A ‎[解析] ∵y=x2-x+1,∴y′=2x-1,‎ 令y′=0,∴x=,f(-3)=13,f=,f(0)=1.‎ ‎5.函数y=+在(0,1)上的最大值为(  )‎ A. B.1 ‎ C.0 D.不存在 ‎[答案] A ‎[解析] y′=-=· 由y′=0得x=,在上y′>0,在上 y′<0.∴x=时y极大=,‎ 又x∈(0,1),∴ymax=.‎ ‎6.函数f(x)=x4-4x (|x|<1)(  )‎ A.有最大值,无最小值 B.有最大值,也有最小值 C.无最大值,有最小值 D.既无最大值,也无最小值 ‎[答案] D ‎[解析] f′(x)=4x3-4=4(x-1)(x2+x+1).‎ 令f′(x)=0,得x=1.又x∈(-1,1)‎ ‎∴该方程无解,‎ 故函数f(x)在(-1,1)上既无极值也无最值.故选D.‎ ‎7.函数y=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值和最小值分别是(  )‎ A.5,-15 B.5,4‎ C.-4,-15 D.5,-16‎ ‎[答案] A ‎[解析] y′=6x2-6x-12=6(x-2)(x+1),‎ 令y′=0,得x=2或x=-1(舍).‎ ‎∵f(0)=5,f(2)=-15,f(3)=-4,‎ ‎∴ymax=5,ymin=-15,故选A.‎ ‎8.已知函数y=-x2-2x+3在[a,2]上的最大值为,则a等于(  )‎ A.- B. C.- D.或- ‎[答案] C ‎[解析] y′=-2x-2,令y′=0得x=-1.‎ 当a≤-1时,最大值为f(-1)=4,不合题意.‎ 当-10得函数的增区间是(-∞,-2)和(2,+∞),由y′<0,得函数的减区间是(-2,2),由于函数在(k-1,k+1)上不是单调函数,所以有k-1<-20得x>,由y′<0得x<.‎ 此函数在上为减函数,在上为增函数,∴最小值在x=时取得,ymin=.‎ ‎12.函数f(x)=5-36x+3x2+4x3在区间[-2,+∞)上的最大值________,最小值为________.‎ ‎[答案] 不存在;-28 ‎[解析] f′(x)=-36+6x+12x2,‎ 令f′(x)=0得x1=-2,x2=;当x>时,函数为增函数,当-2≤x≤时,函数为减函数,所以无最大值,又因为f(-2)=57,f=-28,所以最小值为-28.‎ ‎13.若函数f(x)=(a>0)在[1,+∞)上的最大值为,则a的值为________.‎ ‎[答案] -1‎ ‎[解析] f′(x)== 令f′(x)=0,解得x=或x=-(舍去)‎ 当x>时,f′(x)<0;当00;‎ 当x=时,f(x)==,=<1,不合题意.‎ ‎∴f(x)max=f(1)==,解得a=-1.‎ ‎14.f(x)=x3-12x+8在[-3,3]上的最大值为M,最小值为m,则M-m=________.‎ ‎[答案] 32‎ ‎[解析] f′(x)=3x2-12‎ 由f′(x)>0得x>2或x<-2,‎ 由f′(x)<0得-20;‎ 当-1-时,f′(x)>0,‎ 所以f(x)在上的最小值为 f=ln2+.‎ 又f-f=ln+-ln-=ln+=<0,‎ 所以f(x)在区间上的最大值为 f=ln+.‎ ‎17.(2010·安徽理,17)设a为实数,函数f(x)=ex-2x+‎2a,x∈R.‎ ‎(1)求f(x)的单调区间及极值;‎ ‎(2)求证:当a>ln2-1且x>0时,ex>x2-2ax+1.‎ ‎[分析] 本题考查导数的运算,利用导数研究函数的单调区间,求函数的极值和证明函数不等式,考查运算能力、综合分析和解决问题的能力.‎ 解题思路是:(1)利用导数的符号判定函数的单调性,进而求出函数的极值.(2)将不等式转化构造函数,再利用函数的单调性证明.‎ ‎[解析] (1)解:由f(x)=ex-2x+‎2a,x∈R知f′(x)=ex-2,x∈R.‎ 令f′(x)=0,得x=ln2.于是当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:‎ x ‎(-∞,ln2)‎ ln2‎ ‎(ln2,+∞)‎ f′(x)‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎ 单调递减 ‎2(1-ln2+a)‎ 单调递增 故f(x)的单调递减区间是(-∞,ln2),单调递增区间是(ln2,+∞),‎ f(x)在x=ln2处取得极小值,极小值为f(ln2)=eln2-2ln2+‎2a=2(1-ln2+a).‎ ‎(2)证明:设g(x)=ex-x2+2ax-1,x∈R,于是g′(x)=ex-2x+‎2a,x∈R.‎ 由(1)知当a>ln2-1时,g′(x)最小值为g′(ln2)=2(1-ln2+a)>0.‎ 于是对任意x∈R,都有g′(x)>0,所以g(x)在R内单调递增.‎ 于是当a>ln2-1时,对任意x∈(0,+∞),都有g(x)>g(0).‎ 而g(0)=0,从而对任意x∈(0,+∞),g(x)>0.‎ 即ex-x2+2ax-1>0,故ex>x2-2ax+1.‎ ‎18.已知函数f(x)=,x∈[0,1].‎ ‎(1)求f(x)的单调区间和值域;‎ ‎(2)设a≥1,函数g(x)=x3-‎3a2x-‎2a,x∈[0,1].若对于任意x1∈[0,1],总存在x0∈[0,1],使得g(x0)=f(x1)成立,求a的取值范围.‎ ‎[解析] (1)对函数f(x)求导,得 f′(x)==- 令f′(x)=0解得x=或x=.‎ 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:‎ x ‎0‎ ‎(0,)‎ ‎(,1)‎ ‎1‎ f′(x)‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎ ‎-  ‎-4‎  ‎-3‎ 所以,当x∈(0,)时,f(x)是减函数;‎ 当x∈时,f(x)是增函数.‎ 当x∈[0,1]时,f(x)的值域为[-4,-3].‎ ‎(2)g′(x)=3(x2-a2).‎ 因为a≥1,当x∈(0,1)时,g′(x)<0.‎ 因此当x∈(0,1)时,g(x)为减函数,从而当x∈[0,1]时有g(x)∈[g(1),g(0)].‎ 又g(1)=1-2a-3a2,g(0)=-2a,即x∈[0,1]时有g(x)∈[1-2a-3a2,-2a].‎ 任给x1∈[0,1],f(x1)∈[-4,-3],存在x0∈[0,1]使得g(x0)=f(x1)成立,‎ 则[1-2a-3a2,-2a]⊇[-4,-3].‎ 即 解①式得a≥1或a≤-;解②式得a≤.‎ 又a≥1,故a的取值范围为1≤a≤.‎ ‎ ‎

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