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- 2021-06-17 发布
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单元检测七 不等式、推理与证明(提升卷)
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共 4 页．
2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相
应位置上．
3．本次考试时间 100 分钟，满分 130 分．
4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题(本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的)
1．若 a －b
C．|a|>－b D. 1
a－b
>1
b
答案 A
解析 因为 a0，即1
a
>1
b
，A 不成立；－a>－b>0， －a> －b，B 成
立；－a＝|a|>|b|＝－b，C 成立；当 a＝－3，b＝－1 时， 1
a－b
＝－1
2
，1
b
＝－1，故 1
a－b
>1
b
，
D 成立．
2．不等式2x＋1
3－x
≤0 的解集为( )
A.
－1
2
，3
B.
－1
2
，3
C.
－∞，－1
2 ∪(3，＋∞)
D.
－∞，－1
2 ∪[3，＋∞)
答案 C
解析 不等式2x＋1
3－x
≤0 可化为 2x＋13－x≤0，
3－x≠0，
∴ 2x＋1x－3≥0，
3－x≠0，
解得 x≤－1
2
或 x>3，
∴不等式2x＋1
3－x
≤0 的解集为
－∞，－1
2 ∪(3，＋∞)．
3．下面几种推理过程是演绎推理的是( )
A．某校高三有 8 个班，1 班有 51 人，2 班有 53 人，3 班有 52 人，由此推测各班人数都超
过 50 人
B．由三角形的性质，推测空间四面体的性质
C．平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分
D．在数列{an}中，a1＝1，an＝1
2
an－1＋ 1
an－1 ，由此归纳出{an}的通项公式
答案 C
解析 因为演绎推理是由一般到特殊，所以选项 C 符合要求，平行四边形对角线互相平分，
菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分．
4．“1＋ 3
x－1
≥0”是“(x＋2)(x－1)≥0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由 1＋ 3
x－1
≥0，得x＋2
x－1
≥0，等价于(x－1)(x＋2)≥0，且 x≠1，解得 x≤－2 或 x>1.
由(x＋2)(x－1)≥0，得 x≤－2 或 x≥1，所以“1＋ 3
x－1
≥0”能推出“(x＋2)·(x－
1)≥0”，“(x＋2)(x－1)≥0”推不出“1＋ 3
x－1
≥0”，故“1＋ 3
x－1
≥0”是“(x＋2)(x
－1)≥0”的充分不必要条件，故选 A.
5．若 x>0，y>0，且 2x＋8y－xy＝0，则 xy 的最小值为( )
A．8B．14C．16D．64
答案 D
解析 ∵x>0，y>0，且 2x＋8y－xy＝0，
∴xy＝2x＋8y≥2 16xy，∴ xy≥8，
∴xy≥64，当且仅当 x＝16，y＝4 时取等号，
∴xy 的最小值为 64，故选 D.
6．已知实数 a>0，b>0， 1
a＋1
＋ 1
b＋1
＝1，则 a＋2b 的最小值是( )
A．3 2B．2 2C．3D．2
答案 B
解析 ∵a>0，b>0， 1
a＋1
＋ 1
b＋1
＝1，
∴a＋2b＝(a＋1)＋2(b＋1)－3
＝[(a＋1)＋2(b＋1)]·
1
a＋1
＋ 1
b＋1 －3
＝
1＋2＋2b＋1
a＋1
＋a＋1
b＋1 －3≥3＋2 2－3＝2 2，
当且仅当2b＋1
a＋1
＝a＋1
b＋1
，即 a＝ 2，b＝ 2
2
时取等号，
∴a＋2b 的最小值是 2 2，故选 B.
7．若直线 l：ax＋by＋1＝0(a>0，b>0)把圆 C：(x＋4)2＋(y＋1)2＝16 分成面积相等的两部
分，则 1
2a
＋2
b
的最小值为( )
A．10B．8C．5D．4
答案 B
解析 由题意知，已知圆的圆心 C(－4，－1)在直线 l 上，所以－4a－b＋1＝0，所以 4a＋b
＝1.所以 1
2a
＋2
b
＝(4a＋b)
1
2a
＋2
b ＝4＋ b
2a
＋8a
b
≥4＋2 b
2a
·8a
b
＝8，当且仅当 b
2a
＝8a
b
，即 a
＝1
8
，b＝1
2
时，等号成立．所以 1
2a
＋2
b
的最小值为 8.故选 B.
8．在不等式组
x－y＋1≥0，
x＋y－2≤0，
y≥0
所表示的平面区域内随机地取一点 M，则点 M 恰好落在第
二象限的概率为( )
A.2
3
B.3
5
C.2
9
D.4
7
答案 C
解析 如图，不等式组
x－y＋1≥0，
x＋y－2≤0，
y≥0
所表示的平面区域为一直角三角形，其面积为
1
2
×3×3
2
＝9
4
，其中在第二象限的区域为一直角三角形，其面积为1
2
×1×1＝1
2
.所以点 M 恰好
落在第二象限的概率为
1
2
9
4
＝2
9
，故选 C.
9．(2018·河南名校联盟联考)已知变量 x，y 满足
x＋y≤2，
2x－y≥－2，
2y－x≥1，
则 z＝3y－x 的取值范
围为( )
A．[1,2]B．[2,5]C．[2,6]D．[1,6]
答案 D
解析 画出不等式组
x＋y≤2，
2x－y≥－2，
2y－x≥1
表示的平面区域，如图中阴影部分所示(△ABC 边界
及其内部)．
因为 z＝3y－x，所以 y＝1
3
x＋1
3
z.当直线 y＝1
3
x＋z
3
在 y 轴上的截距有最小值时，z 有最小值；
当在 y 轴上的截距有最大值时，z 有最大值．由图可知，当直线 y＝1
3
x＋z
3
经过点 A(－1,0)，
在 y 轴上的截距最小，zmin＝0－(－1)＝1；经过点 C(0,2)时，在 y 轴上的截距最大，zmax＝
3×2－0＝6.所以 z＝3y－x 的取值范围为[1,6]，故选 D.
10．小王计划租用 A，B 两种型号的小车安排 30 名队友(大多有驾驶证，会开车)出去游玩，
A 与 B 两种型号的车辆每辆的载客量都是 5 人，租金分别为 1000 元/辆和 600 元/辆，要求
租车总数不超过 12 辆，不少于 6 辆，且 A 型车至少有 1 辆，则租车所需的最少租金为( )
A．1000 元 B．2000 元
C．3000 元 D．4000 元
答案 D
解析 设分别租用 A，B 两种型号的小车 x 辆、y 辆，所用的总租金为 z 元，则 z＝1000x＋
600y，其中 x，y 满足不等式组
5x＋5y≥30，
6≤x＋y≤12，
x≥1，
(x，y∈N)，作出可行域，如图阴影部分
(包括边界)所示．
易知当直线 y＝－5
3
x＋ z
600
过点 D(1,5)时，z 取最小值，所以租车所需的最少租金为 1×1000
＋5×600＝4000(元)，故选 D.
11．(2018·贵州贵阳一中月考)若变量 x，y 满足约束条件
x2＋y2≤4，
y≥－x，
y≤x＋2，
则 t＝y－2
x－3
的取
值范围是( )
A.
0，3
2 B.
0，12
5 C.
0，12
5 D.
－12
5
，0
答案 B
解析 作出可行域，如图中阴影部分所示(包括边界)．
t＝y－2
x－3
表示可行域内的点与点 M(3,2)连线的斜率．由图可知，当可行域内的点与点 M 的连
线与圆 x2＋y2＝4 相切时斜率分别取最大值和最小值．设切线方程为 y－2＝k(x－3)，即 kx
－y－3k＋2＝0，则有|3k－2|
1＋k2
＝2，解得 k＝12
5
或 k＝0，所以 t＝y－2
x－3
的取值范围是
0，12
5 ，
故选 B.
12．已知甲、乙两个容器，甲容器的容量为 x(单位：L)，装满纯酒精，乙容器的容量为 z(单
位：L)，其中装有体积为 y(单位：L)的水(xz，每次倾倒后甲容器都有剩余，则 anxy
z
，故 C 错误；对于 D，当 n→＋∞时，甲乙两容器浓度
趋于相等，当 x＋y≤z 时，an＝ xy
x＋y
，当 x＋y>z 时，an< xy
x＋y
，故选 D.
第Ⅱ卷(非选择题 共 70 分)
二、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上)
13．若在关于 x 的不等式 x2－(a＋1)x＋a<0 的解集中至多包含 2 个整数，则实数 a 的取值
范围是____________．
答案 [－2,4]
解析 关于 x 的不等式 x2－(a＋1)x＋a<0 可化为(x－1)(x－a)<0.当 a＝1 时，(x－1)2<0，
无解，满足题意；当 a>1 时，不等式的解集为{x|10.
因为 f(x)＝2x＋ 2
x＋1
＝2x＋2＋ 2
x＋1
－2≥4－2＝2，所以 f(x)≥2，
当且仅当 2x＋2＝ 2
x＋1
，即 x＝0 时取等号．
故 f(x)的最小值为 2，此时 x＝0.
(2)由 f(x)≥2x＋2，得－2x
x＋1
≥0，所以－10，b>0，求 ab 的最大值；
(2)当 x∈[0,1]时，f(x)≤1 恒成立，且 2a＋3b≥3，求 z＝a＋b＋2
a＋1
的取值范围．
解 (1)因为 f(x)＝(3a－2)x＋b－a，f
2
3 ＝20
3
，
所以 a＋b－4
3
＝20
3
，即 a＋b＝8.
因为 a>0，b>0，
所以 a＋b≥2 ab，即 4≥ ab，所以 ab≤16，
当且仅当 a＝b＝4 时等号成立，
所以 ab 的最大值为 16.
(2)因为当 x∈[0,1]时，f(x)≤1 恒成立，且 2a＋3b≥3，
所以
f0≤1，
f1≤1，
且 2a＋3b≥3，即
b－a≤1，
b＋2a≤3，
2a＋3b≥3，
作出此不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示(含边界)．
由图可得经过可行域内的点(a，b)与点(－1，－1)的直线的斜率的取值范围是
2
5
，2
，
所以 z＝a＋b＋2
a＋1
＝b＋1
a＋1
＋1 的取值范围是
7
5
，3
.
19．(13 分)2019 年某企业计划引进新能源汽车生产设备，已知该设备全年需投入固定成本 2 500
万 元 ， 每 生 产 x 百 辆 新 能 源 汽 车 ， 需 另 投 入 成 本 C(x) 万 元 ， 且 C(x) ＝
10x2＋100x，01500，所以当 x＝100，即 2019 年年产量为 100 百辆时，该企业所获利润最大，
且最大利润为 1800 万元．
20．(13 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 4Sn 与 2an 的等差中项为 3(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)是否存在正整数 k，使不等式 k(－1)na2
nb1；当 n≥2 时，bn＋1
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