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- 2021-06-17 发布
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【课时训练】三角函数的图象与性质
一、选择题
1.(2018广东五校协作体联考)函数f(x)=sin xcos x+(1+tan2x)cos2x的最小正周期和最大值分别是( )
A.π和 B.和1
C.π和1 D.2π和
【答案】A
【解析】f(x)=sin xcos x+(1+tan2x)cos2x=sin 2x+1,∴最小正周期为π,最大值为.故选A.
2.(2018西安八校联考)若函数y=cos(ω∈N*)图象的一个对称中心是,则ω的最小值为( )
A.1 B.2
C.4 D.8
【答案】B
【解析】∵+=kπ+(k∈Z),∴ω=6k+2(k∈Z).∴ωmin=2.故选B.
3.(2018武汉调研)已知函数f(x)=sin(x∈R),下列结论错误的是( )
A.函数f(x)是偶函数
B.函数f(x)的最小正周期为π
C.函数f(x)在区间上是增函数
D.函数f(x)的图象关于直线x=对称
【答案】D
【解析】f(x)=sin=-cos 2x,此函数为最小正周期为π的偶函数,所以A,B正确,函数图象的对称轴方程为x=(k∈Z),显然,无论k取任何整数,x≠,所以D错误,故选D.
4.(2019深圳调研)已知函数f(x)=sin(x+θ)+cos(x+θ)是偶函数,则θ的值为( )
A.0 B.
C. D.
【答案】B
【解析】据已知可得f(x)=2sin,若函数为偶函数,则必有θ+=kπ+(k∈Z),又由于θ∈,故有θ+=,解得θ=,经代入检验符合题意.故选B.
5.(2018湖南常德检测)将函数f(x)=sin的图象向右平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,则下列说法不正确的是( )
A.g(x)的最小正周期为π
B.g=
C.x= 是g(x) 图象的一条对称轴
D.g(x)为奇函数
【答案】C
【解析】由题意得g(x)=sin=sin 2x,所以周期为π,g=sin =,直线x=不是g(x)图象的对称轴,g(x)为奇函数,故选C.
6.(2018揭阳一模)当x=时,函数f(x)=sin(x+φ)取得最小值,则函数y=f( )
A.是奇函数且图象关于点对称
B.是偶函数且图象关于点(π,0)对称
C.是奇函数且图象关于直线x=对称
D.是偶函数且图象关于直线x=π对称
【答案】C
【解析】∵当x=时,函数f(x)取得最小值,
∴sin=-1.∴φ=2kπ-(k∈Z).
∴f(x)=sin=sin.
∴y=f=sin(-x)=-sin x.
∴y=f是奇函数,且图象关于直线x=对称.
7.(2018石家庄检测)已知函数f(x)=cossin x,则函数f(x)( )
A.图象关于直线x=对称
B.图象关于点对称
C.最小正周期为2π
D.在区间内为减函数
【答案】A
【解析】∵f(x)=cossin x=sin-,∴直线x=为f(x)图象的对称轴.故选A.
8.(2018长春调研)已知函数f(x)=Acos2(ωx+φ)-2的最大值为4, f(0)=1,其函数图象相邻两最高点间的距离为4,则f(1)+f(2)+…+f(2 020)=( )
A.1 008 B.2 020
C.4 032 D.-2 020
【答案】B
【解析】∵函数f(x)=Acos2(ωx+φ)-2=A·-2=cos(2ωx+2φ)-2+的最大值为4,∴-2+=4.∴A=6.根据函数图象相邻两最高点间的距离为4,可得函数的最小正周期为4,即=4,∴ω=.再根据f(0)=1,可得3cos 2φ-2+3=1,∴cos 2φ=0,2φ=.∴φ=.故函数的解析式为f(x)=3cos+1=-3sin x+1,∴f(1)+f(2)+…+f(2 020)=-3+2 020=2 020.故选B.
二、填空题
9.(2018安徽合肥检测)函数y=cos的单调递减区间为________.
【答案】(k∈Z)
【解析】由y=cos=cos,得2kπ≤2x-≤2kπ+π(k∈Z),故kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),所以函数的单调减区间为(k∈Z).
10.(2018福建厦门质检)若函数f(x)=2sin(2x+φ),且f=f,则函数f(x)图象的对称轴方程为____________.
【答案】x=+(k∈Z)
【解析】易知函数f(x)的最小正周期为π,而f=f,所以f(x)图象的一条对称轴方程为x=,故函数f(x)图象的对称轴方程为x=+(k∈Z).
11.(2018江西上饶模拟)已知函数f(x)=cos,其中x∈ ,若f(x)的值域是,则m的最大值是________.
【答案】
【解析】由x∈,可知≤3x+≤3m+,因为f=cos=-,且f=cos π=-1,所以要使f(x)的值域是,需要π≤3m+≤,解得≤m≤,即m的最大值是.
三、解答题
12.(2018沈阳质量监测)已知函数f(x)=2sin xsin.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(2)当x∈时,求函数f(x)的值域.
【解】(1)f(x)=2sin x =×+sin 2x=sin+,
∴函数f(x)的最小正周期为T=π.
由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,
k∈Z,解得-+kπ≤x≤+kπ,
k∈Z,所以函数f(x)的单调递增区间是,k∈Z.
(2)当x∈时,2x-∈,
sin∈,f(x)∈.