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- 2021-06-17 发布
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长春市十一高中2017-2018学年度高二上学期期末考试
数学试题(文科)
组题人:高二数学组 2018.1.10
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.已知复数,则( )
A. B. C. D.
2.若原命题为:“若为共轭复数,则”,则该命题的逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次为( )
A. 真、真、真 B. 真、真、假 C. 假、假、真 D. 假、假、假
3.下列命题为特称命题的是( )
A. 任意一个三角形的内角和为 B. 棱锥仅有一个底面
C. 偶函数的图象关于轴垂直 D. 存在大于1的实数,使
4.“”是“方程表示圆”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.设双曲线的离心率是,则其渐近线的方程为( )
A. B. C. D.
6.已知点,点与点关于平面对称,点与点关于轴对称,则( )
A. B. C. D.
7.椭圆中,以点为中点的弦所在直线斜率为( )
A. B. C. D.
8.若,设,则的值( )
A. 至多有一个不大于1 B. 至少有一个不大于1
C. 都大于1 D. 都小于1
9.点在椭圆上,则的最大值为( )
A. B. C. D.
10.设函数在区间上单调递减,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
11.在中,,若一个椭圆经过两点,它的一个焦点为点,另一个焦点在边上,则这个椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
12.已知函数,若对任意,恒成立,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)
13.在极坐标系中,圆的圆心的极坐标是____________.
14.观察下列各式:,,,则的末四位数字为__________________.
15.函数在区间上的值域为_________________.
16.设分别为双曲线的左、右焦点,为双曲线在第一象限上的一点,若,则内切圆的面积为________________.
三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
17.(本题满分10分)
已知极点为直角坐标系的原点,极轴为轴正半轴且单位长度相同的极坐标系中曲线,直线(为参数).
(1)求曲线上的点到直线距离的最小值;
(2)若把上各点的横坐标都伸长为原来的2倍,纵坐标伸长为原来的倍,得到曲线.设,直线与曲线交于两点,求.
18.(本小题满分12分)
如图,在四棱锥中, 底面为菱形,平面,点在棱上.
(1)求证:直线平面;
(2)是否存在点,使得四面体的体积等于四面体的体积的?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
19.(本题满分12分)
已知.
(1)若,求的单调区间;
(2)当时,若在上恒成立,求的取值范围.
20.(本题满分12分)
已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,焦距为,且长轴长是短轴长的倍.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设,过椭圆左焦点作斜率直线交于两点,若,求直线的方程.
21.(本小题满分12分)
已知抛物线:,过焦点的动直线与抛物线交于两点,线段的中点为.
(1)当直线的倾斜角为时,.求抛物线的方程;
(2)对于(1)问中的抛物线,设定点,求证:为定值.
22(本小题满分12分).已知.
(1)若,求的单调区间;
(2)若有三个零点,求的取值范围.
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长春市十一高中2017-2018学年度高二上学期期中考试
数学试题(文科)参考答案
一、 选择题(每题5分,共60分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
D
B
D
D
C
B
B
C
C
A
二、选择题(每题5分,共20分)
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解(1),圆心为,半径为;
圆心到直线距离--------3分
所以上的点到的最小距离为.--------5分
(2)伸缩变换为,所以--------7分
将和联立,得.因为--------8分
--------10分
18.解(Ⅰ)因为平面,所以,[
因为底面是菱形,所以,
因为,所以平面.
(2)在中过点作∥,交于点,
因为平面,
所以平面.
由是菱形可知,
设存在点,使得四面体的体积等于四面体的体积的,即,则
,所以在中,,所以.
19.解(1)当时,,则,
令,解得,令,解得,
所以增区间为,减区间为.
(2)由,,当时,
故在上为增函数,若,则只需,
即:,
综上有:
20.解(1)依题意,,解得,
所以椭圆的标准方程为.
(2) 设直线:,代入椭圆消去得:,
设,则
所以:,
即:,即:
解得:,即,所以:
21.解(1)由题意知,设直线的方程为,
由 得:,所以:
又由,所以,所以:抛物线的方程为
(2)由(1)抛物线的方程为,此时设
消去得:,设,
则:
所以:
,即
所以:
,
则,
令,解得,且有时,,时,,
所以在上单调递减,在上单调递增.[]
(2),即,令,
则,解得,所以有两个极值,
,所以,即.
又.