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  • 2021-06-17 发布

衡水独家秘籍之2019高中期末复习 专题七 辅助线,辅助面,证明平行巧转换

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衡水独家秘籍之2019高中期末复习 专题七辅助线,辅助面,证明平行巧转换 ‎【方法综述】‎ 空间几何平面化中所体现的核心素养是,以学习的线面平行为基础,将线面问题经过严密的逻辑推理,转化为线线平行的问题,从而实现了空间问题平面化的想法.‎ 在证明线与线、线与面、面与面的平行关系时,从“看到结论想判定定理,看到条件想性质定理”来分析题意和寻求证明思路,往往要根据定理的条件,通过构造辅助线或辅助面来实施转化、解决问题.下面举例说明添加辅助线(面)的妙用.‎ ‎1.作辅助线来解题 例1.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱BC,C1D1的中点,求证:EF∥平面BB1D1D.‎ 证明:如图,取D1B1的中点O,连接OF,OB.‎ 因为OF∥B1C1且OF=B1C1,BE∥B1C1且BE=B1C1,‎ 所以OF∥BE,且OF=BE,‎ 即四边形OFEB为平行四边形.所以EF∥BO.‎ 又EF⊄平面BB1D1D,BO⊂平面BB1D1D,‎ 所以EF∥平面BB1D1D.‎ 点评: 将空间问题转化为平面问题,是解决立体几何问题的重要策略,关键是选择或添加适当的直线.而本题通过巧作平行线,利用“有困难,找中点”来证明线面平行是最有效的方法之一.‎ ‎2.作辅助面来解题 例2.如图所示,在棱长为1的正方体ABCD-‎ A1B1C1D1中,点E,F分别是棱BC,CC1的中 点,P是侧面BCC1B1内一点,若A1P∥平面AEF,则线段A1P长度的取值范围是(  )‎ 解:选B.取B1C1的中点M,BB1的中点N,连接A1M,A1N,MN,‎ 可以证明平面A1MN∥平面AEF,所以点P位于线段MN上.‎ 因为 MN=‎ 所以当点P位于M,N点时,A1P最大,当P位于MN中点O时,‎ A1P最小,此时A1O=所以 ≤|A1P|‎ ‎≤所以线段A1P长度的取值范围是 点评: 使用线面平行的性质定理,需要找出或作出过已知直线且与已知平面相交的平面,以便使用性质定理,因此常作辅助面.‎ ‎3.同时作辅助线与辅助面来解题 例3.如图,已知平面α∥平面β,AB,CD是夹在这两个平面之间的线段,且AE=EB,CG=GD,AB与CD不平行,求证:EG∥平面α,EG∥平面β.‎ 分析 有些综合性的题目需要同时作出辅助线与辅助面,通过面面之间的关系来解题.题目条件中出现了两个 中点,一般可直接取某线段的中点,也可通过连线所得交点间接地取中点,本题是直接找中点.‎ 证明 过点A作AH∥CD交平面β于点H,设F是AH的中点,连接EF,FG和BH,HD.‎ 因为E,F分别是AB,AH的中点,‎ 所以EF∥BH,且BH⊂平面β,EF⊄平面β,‎ 所以EF∥平面β.‎ 又F,G分别是AH,CD的中点,且AH∥CD,‎ 所以FG∥HD.‎ 又HD⊂平面β,FG⊄平面β,所以FG∥平面β.‎ 因为EF∩FG=F,EF,FG⊂平面EFG,‎ 所以平面EFG∥平面β,‎ 又平面α∥平面β,所以平面EFG∥平面α.‎ 因为EG⊂平面EFG,所以EG∥平面α,EG∥平面β.‎ 点评: 本题是通过先作辅助线AH,再作辅助面EFG,借助平面几何里三角形中位线的结论来解决问题的.‎ ‎【针对训练】‎ ‎1.如图,在正方体ABCD-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎中,M,N,P分别是C‎1‎D‎1‎‎,BC,‎A‎1‎D‎1‎的中点,则下列命题正确的是( )‎ A. MN//AP B. MN//BD‎1‎ C. MN//‎平面BB‎1‎D‎1‎D D. MN//‎平面BDP ‎【答案】C ‎【解析】‎ 取B‎1‎C‎1‎中点P,连接MP,NP,‎ 由三角形中位线定理可得MP//‎B‎1‎D‎1‎,‎ ‎∴MB‎1‎//‎面BB‎1‎D‎1‎D,由四边形BB‎1‎PN为平行四边形得NP//BB‎1‎,‎ ‎∴NP//‎面BB‎1‎D‎1‎D,‎∴‎平面MNP//‎平面BB‎1‎D‎1‎D,‎ MN⊂‎面MNP,‎∴MN//‎平面BB‎1‎D‎1‎D,故选C.‎ ‎2.棱长为2的正方体ABCD-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎中,E为棱AD中点,过点B‎1‎,且与平面A‎1‎BE平行的正方体的截面面积为( )‎ A. 5 B. ‎2‎‎5‎ C. ‎2‎‎6‎ D. 6‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 取BC中点M,取A‎1‎D‎1‎中点N,则四边形B‎1‎MDN即为所求的截面,‎ 根据正方体的性质,可以求得MN=2‎2‎,B‎1‎D=2‎‎3‎,‎ 根据各边长,可以断定四边形B‎1‎MDN为菱形,‎ 所以其面积S=‎1‎‎2‎×2‎2‎×2‎3‎=2‎‎6‎,故选C.‎ ‎3.如图,在正方体ABCD-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎中,M,N分别是BC‎1‎,CD‎1‎的中点,则下列说法错误的是( )‎ A. MN⊥CC‎1‎ B. MN⊥‎平面ACC‎1‎A‎1‎ C. MN//AB D. MN//‎平面ABCD ‎【答案】C ‎【解析】‎ 如图:连接C‎1‎D,BD,‎ 由三角形中位线定理可得MN//BD,∴MN与AB不可能平行,C错误;‎ 因为BD在平面ABCD内,由线面平行的判定定理可得,MN//‎平面ABCD ,D正确;‎ ‎∵CC‎1‎⊥‎平面ABCD,∴CC‎1‎⊥BD,∴MN与CC‎1‎垂直,A正确;‎ 因为BD⊥‎平面ACC‎1‎A‎1‎,所以,MN⊥‎平面ACC‎1‎A‎1‎ ,B正确,故选C.‎ ‎4.如图,DC⊥平面ABC,EB∥DC,EB=2DC,P,Q分别为AE,AB的中点.则直线DP与平面ABC的位置关系是________.‎ ‎【答案】平行 ‎【解析】连接CQ,在△ABE中,P,Q分别是AE,AB的中点,所以PQEB.又DCEB,所以PQDC,所以四边形DPQC为平行四边形,所以DP∥CQ.又DP⊄平面ABC,CQ⊂平面ABC,所以DP∥平面ABC.‎ ‎5.在正四棱柱中,为底面的中心,是的中点,若存在实数 使得时,平面平面,则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.‎ 理由如下:‎ ‎ 当Q为CC1的中点时,∵Q为CC1的中点,P为DD1的中点,∴QB∥PA.‎ ‎∵P、O为DD1、DB的中点,∴D1B∥PO.又PO∩PA=P,D1B∩QB=B,‎ D1B∥平面PAO,QB∥平面PAO,∴平面D1BQ∥平面PAO.‎ ‎6.如图,已知四棱锥P–ABCD,△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,,CD⊥AD,PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点.‎ ‎(Ⅰ)证明:平面PAB;‎ ‎【答案】(Ⅰ)见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎7.如图,ABCD与ADEF为平行四如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥CD,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,.‎ ‎(I)在平面PAD内找一点M,使得直线CM∥平面PAB,并说明理由; ‎ ‎【答案】(Ⅰ)取棱AD的中点M,证明详见解析;(Ⅱ)证明详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎(I)取棱AD的中点M(M∈平面PAD),点M即为所求的一个点.理由如下:‎ 因为AD‖BC,BC=AD,所以BC‖AM, 且BC=AM.‎ 所以四边形AMCB是平行四边形,从而CM‖AB.‎ 又AB 平面PAB,CM 平面PAB,‎ 所以CM∥平面PAB.‎ ‎(说明:取棱PD的中点N,则所找的点可以是直线MN上任意一点)‎ ‎8.如图,已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点,M、N分别是AB、PC的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:MN∥平面PAD;‎ ‎(Ⅱ)在PB上确定一个点Q,使平面MNQ∥平面PAD.‎ ‎【答案】(Ⅰ))证明:见解析;(Ⅱ)Q点是PB的中点.‎ ‎【解析】(Ⅰ)如图,取PD的中点H,连接AH、NH,由N是PC的中点,知NHDC.‎ 由M是AB的中点,知AMDC.‎ ‎∴NH綊AM,即AMNH为平行四边形.‎ ‎∴MN∥AH.‎ 由MN⊄平面PAD,AH⊂平面PAD,知MN∥平面PAD.‎ ‎(Ⅱ)若平面MNQ∥平面PAD,则应有MQ∥PA,‎ ‎∵M是AB中点,∴Q点是PB的中点.‎ ‎9.如图,在四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,AB=BC=12AD,E,F,H分别为线段AD,PC,CD的中点,AC与BE交于O点,G是线段OF上一点.‎ ‎ (1)求证:AP∥平面BEF;‎ ‎ (2)求证:GH∥平面PAD.‎ ‎【答案】见解析.‎ ‎【解析】(1)连接EC,∵AD∥BC,BC=AD,‎ ‎∴BC AE,∴四边形ABCE是平行四边形,‎ ‎∴O为AC的中点,又∵F是PC的中点,∴FO∥AP,‎ FO⊂平面BEF,AP⊄平面BEF,∴AP∥平面BEF.‎ ‎(2)连接FH,OH,∵F,H分别是PC,CD的中点,∴FH∥PD,又PD⊂平面PAD,FH⊄平面PAD,‎ ‎∴FH∥平面PAD.又∵O是BE的中点,‎ H是CD的中点,∴OH∥AD,又∵AD⊂平面PAD,OH⊄平面PAD,∴OH∥平面PAD.‎ 又FH∩OH=H,∴平面OHF∥平面PAD.‎ 又∵GH⊂平面OHF,∴GH∥平面PAD.‎ ‎10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,S是B1D1的中点,E,F,G分别是BC,DC,SC的中点,求证:‎ ‎ (1)直线EG∥平面BDD1B1;‎ ‎ (2)平面EFG∥平面BDD1B1.‎ ‎【答案】见解析.‎ ‎【解析】 (1)如图,连接SB,‎ ‎∵E,G分别是BC,SC的中点,‎ ‎∴EG∥SB.又∵SB⊂平面BDD1B1,‎ EG⊄平面BDD1B1,‎ ‎∴直线EG∥平面BDD1B1.‎ ‎(2)连接SD,∵F,G分别是DC,SC的中点,‎ ‎∴FG∥SD.‎ 又∵SD⊂平面BDD1B1,FG⊄平面BDD1B1,‎ ‎∴FG∥平面BDD1B1,且EG⊂平面EFG,‎ FG⊂平面EFG,EG∩FG=G,∴平面EFG∥平面BDD1B1.‎

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