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- 2021-06-17 发布
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衡水独家秘籍之2019高中期末复习
专题七辅助线,辅助面,证明平行巧转换
【方法综述】
空间几何平面化中所体现的核心素养是,以学习的线面平行为基础,将线面问题经过严密的逻辑推理,转化为线线平行的问题,从而实现了空间问题平面化的想法.
在证明线与线、线与面、面与面的平行关系时,从“看到结论想判定定理,看到条件想性质定理”来分析题意和寻求证明思路,往往要根据定理的条件,通过构造辅助线或辅助面来实施转化、解决问题.下面举例说明添加辅助线(面)的妙用.
1.作辅助线来解题
例1.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱BC,C1D1的中点,求证:EF∥平面BB1D1D.
证明:如图,取D1B1的中点O,连接OF,OB.
因为OF∥B1C1且OF=B1C1,BE∥B1C1且BE=B1C1,
所以OF∥BE,且OF=BE,
即四边形OFEB为平行四边形.所以EF∥BO.
又EF⊄平面BB1D1D,BO⊂平面BB1D1D,
所以EF∥平面BB1D1D.
点评: 将空间问题转化为平面问题,是解决立体几何问题的重要策略,关键是选择或添加适当的直线.而本题通过巧作平行线,利用“有困难,找中点”来证明线面平行是最有效的方法之一.
2.作辅助面来解题
例2.如图所示,在棱长为1的正方体ABCD-
A1B1C1D1中,点E,F分别是棱BC,CC1的中
点,P是侧面BCC1B1内一点,若A1P∥平面AEF,则线段A1P长度的取值范围是( )
解:选B.取B1C1的中点M,BB1的中点N,连接A1M,A1N,MN,
可以证明平面A1MN∥平面AEF,所以点P位于线段MN上.
因为
MN=
所以当点P位于M,N点时,A1P最大,当P位于MN中点O时,
A1P最小,此时A1O=所以 ≤|A1P|
≤所以线段A1P长度的取值范围是
点评: 使用线面平行的性质定理,需要找出或作出过已知直线且与已知平面相交的平面,以便使用性质定理,因此常作辅助面.
3.同时作辅助线与辅助面来解题
例3.如图,已知平面α∥平面β,AB,CD是夹在这两个平面之间的线段,且AE=EB,CG=GD,AB与CD不平行,求证:EG∥平面α,EG∥平面β.
分析 有些综合性的题目需要同时作出辅助线与辅助面,通过面面之间的关系来解题.题目条件中出现了两个
中点,一般可直接取某线段的中点,也可通过连线所得交点间接地取中点,本题是直接找中点.
证明 过点A作AH∥CD交平面β于点H,设F是AH的中点,连接EF,FG和BH,HD.
因为E,F分别是AB,AH的中点,
所以EF∥BH,且BH⊂平面β,EF⊄平面β,
所以EF∥平面β.
又F,G分别是AH,CD的中点,且AH∥CD,
所以FG∥HD.
又HD⊂平面β,FG⊄平面β,所以FG∥平面β.
因为EF∩FG=F,EF,FG⊂平面EFG,
所以平面EFG∥平面β,
又平面α∥平面β,所以平面EFG∥平面α.
因为EG⊂平面EFG,所以EG∥平面α,EG∥平面β.
点评: 本题是通过先作辅助线AH,再作辅助面EFG,借助平面几何里三角形中位线的结论来解决问题的.
【针对训练】
1.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是C1D1,BC,A1D1的中点,则下列命题正确的是( )
A. MN//AP B. MN//BD1 C. MN//平面BB1D1D D. MN//平面BDP
【答案】C
【解析】
取B1C1中点P,连接MP,NP,
由三角形中位线定理可得MP//B1D1,
∴MB1//面BB1D1D,由四边形BB1PN为平行四边形得NP//BB1,
∴NP//面BB1D1D,∴平面MNP//平面BB1D1D,
MN⊂面MNP,∴MN//平面BB1D1D,故选C.
2.棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱AD中点,过点B1,且与平面A1BE平行的正方体的截面面积为( )
A. 5 B. 25 C. 26 D. 6
【答案】C
【解析】
取BC中点M,取A1D1中点N,则四边形B1MDN即为所求的截面,
根据正方体的性质,可以求得MN=22,B1D=23,
根据各边长,可以断定四边形B1MDN为菱形,
所以其面积S=12×22×23=26,故选C.
3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列说法错误的是( )
A. MN⊥CC1 B. MN⊥平面ACC1A1 C. MN//AB D. MN//平面ABCD
【答案】C
【解析】
如图:连接C1D,BD,
由三角形中位线定理可得MN//BD,∴MN与AB不可能平行,C错误;
因为BD在平面ABCD内,由线面平行的判定定理可得,MN//平面ABCD ,D正确;
∵CC1⊥平面ABCD,∴CC1⊥BD,∴MN与CC1垂直,A正确;
因为BD⊥平面ACC1A1,所以,MN⊥平面ACC1A1 ,B正确,故选C.
4.如图,DC⊥平面ABC,EB∥DC,EB=2DC,P,Q分别为AE,AB的中点.则直线DP与平面ABC的位置关系是________.
【答案】平行
【解析】连接CQ,在△ABE中,P,Q分别是AE,AB的中点,所以PQEB.又DCEB,所以PQDC,所以四边形DPQC为平行四边形,所以DP∥CQ.又DP⊄平面ABC,CQ⊂平面ABC,所以DP∥平面ABC.
5.在正四棱柱中,为底面的中心,是的中点,若存在实数 使得时,平面平面,则__________.
【答案】
【解析】
当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.
理由如下:
当Q为CC1的中点时,∵Q为CC1的中点,P为DD1的中点,∴QB∥PA.
∵P、O为DD1、DB的中点,∴D1B∥PO.又PO∩PA=P,D1B∩QB=B,
D1B∥平面PAO,QB∥平面PAO,∴平面D1BQ∥平面PAO.
6.如图,已知四棱锥P–ABCD,△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,,CD⊥AD,PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点.
(Ⅰ)证明:平面PAB;
【答案】(Ⅰ)见解析.
【解析】
7.如图,ABCD与ADEF为平行四如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥CD,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,.
(I)在平面PAD内找一点M,使得直线CM∥平面PAB,并说明理由;
【答案】(Ⅰ)取棱AD的中点M,证明详见解析;(Ⅱ)证明详见解析.
【解析】
(I)取棱AD的中点M(M∈平面PAD),点M即为所求的一个点.理由如下:
因为AD‖BC,BC=AD,所以BC‖AM, 且BC=AM.
所以四边形AMCB是平行四边形,从而CM‖AB.
又AB 平面PAB,CM 平面PAB,
所以CM∥平面PAB.
(说明:取棱PD的中点N,则所找的点可以是直线MN上任意一点)
8.如图,已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点,M、N分别是AB、PC的中点.
(Ⅰ)求证:MN∥平面PAD;
(Ⅱ)在PB上确定一个点Q,使平面MNQ∥平面PAD.
【答案】(Ⅰ))证明:见解析;(Ⅱ)Q点是PB的中点.
【解析】(Ⅰ)如图,取PD的中点H,连接AH、NH,由N是PC的中点,知NHDC.
由M是AB的中点,知AMDC.
∴NH綊AM,即AMNH为平行四边形.
∴MN∥AH.
由MN⊄平面PAD,AH⊂平面PAD,知MN∥平面PAD.
(Ⅱ)若平面MNQ∥平面PAD,则应有MQ∥PA,
∵M是AB中点,∴Q点是PB的中点.
9.如图,在四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,AB=BC=12AD,E,F,H分别为线段AD,PC,CD的中点,AC与BE交于O点,G是线段OF上一点.
(1)求证:AP∥平面BEF;
(2)求证:GH∥平面PAD.
【答案】见解析.
【解析】(1)连接EC,∵AD∥BC,BC=AD,
∴BC AE,∴四边形ABCE是平行四边形,
∴O为AC的中点,又∵F是PC的中点,∴FO∥AP,
FO⊂平面BEF,AP⊄平面BEF,∴AP∥平面BEF.
(2)连接FH,OH,∵F,H分别是PC,CD的中点,∴FH∥PD,又PD⊂平面PAD,FH⊄平面PAD,
∴FH∥平面PAD.又∵O是BE的中点,
H是CD的中点,∴OH∥AD,又∵AD⊂平面PAD,OH⊄平面PAD,∴OH∥平面PAD.
又FH∩OH=H,∴平面OHF∥平面PAD.
又∵GH⊂平面OHF,∴GH∥平面PAD.
10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,S是B1D1的中点,E,F,G分别是BC,DC,SC的中点,求证:
(1)直线EG∥平面BDD1B1;
(2)平面EFG∥平面BDD1B1.
【答案】见解析.
【解析】 (1)如图,连接SB,
∵E,G分别是BC,SC的中点,
∴EG∥SB.又∵SB⊂平面BDD1B1,
EG⊄平面BDD1B1,
∴直线EG∥平面BDD1B1.
(2)连接SD,∵F,G分别是DC,SC的中点,
∴FG∥SD.
又∵SD⊂平面BDD1B1,FG⊄平面BDD1B1,
∴FG∥平面BDD1B1,且EG⊂平面EFG,
FG⊂平面EFG,EG∩FG=G,∴平面EFG∥平面BDD1B1.