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  • 2021-06-17 发布

数学卷·2018届广东省清远一中高二下学期第一次月考数学试卷(文科) (解析版)

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‎2016-2017学年广东省清远一中高二(下)第一次月考数学试卷(文科)‎ ‎ ‎ 一、选择题(60分,每题5分)‎ ‎1.下列命题是全称命题的是(  )‎ A.存在x∈R,使x2﹣x+1<0 B.所有2的倍数都是偶数 C.有一个实数x,使|x|≤0 D.有的三角形是等边三角形 ‎2.抛物线y2=2x的准线方程是(  )‎ A.y= B.y=﹣ C.x= D.x=﹣‎ ‎3.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且S3=7a1,则数列{an}的公比q的值为(  )‎ A.2 B.3 C.2或﹣3 D.2或3‎ ‎4.在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则a2+a6+a10=(  )‎ A.12 B.16 C.20 D.24‎ ‎5.在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若∠C=120°,c=a,则(  )‎ A.a>b B.a<b C.a=b D.a与b的大小关系不能确定 ‎6.椭圆ax2+by2=1与直线y=1﹣x交于A、B两点,过原点与线段AB中点的直线的斜率为,则的值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.已知F为双曲线C:x2﹣my2=3m(m>0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为(  )‎ A. B.3 C. m D.3m ‎8.在△ABC中,B=60°,b2=ac,则△ABC一定是(  )‎ A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 ‎9.已知数列{an}:, +, ++,…, +++…+,…,若bn=‎ ‎,那么数列{bn}的前n项和Sn为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)=1,且f(x)的导函数f′(x)<,则f(x)<+的解集为(  )‎ A.{x|﹣1<x<1} B.{x|<﹣1} C.{x|x<﹣1或x>1} D.{x|x>1}‎ ‎11.正项等比数列{an}中,存在两项am、an使得=4a1,且a6=a5+2a4,则的最小值是(  )‎ A. B.2 C. D.‎ ‎12.设F1、F2分别为双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的左、右焦点,A为双曲线的左顶点,以F1F2为直径的圆交双曲线某条渐过线于M,N两点,且满足∠MAN=120°,则该双曲线的离心率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎ ‎ 二、填空题(20分,每题5分)‎ ‎13.若椭圆+=1的离心率为,则m的值为  .‎ ‎14.定义:称为n个正数p1,p2,…,pn的“均倒数”,若数列{an}的前n项的“均倒数”为,则数列{an}的通项公式为  .‎ ‎15.在△ABC中,a,b,c分别是角A、B、C的对边,若c=4,tanA=3,cosC=,求△ABC面积  .‎ ‎16.以下四个关于圆锥曲线的命题中 ‎①设A、B为两个定点,k为非零常数,||﹣||=k,则动点P的轨迹为双曲线;‎ ‎②设定圆C上一定点A作圆的动点弦AB,O为坐标原点,若=(+),则动点P的轨迹为椭圆;‎ ‎③方程2x2﹣5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;‎ ‎④双曲线﹣=1与椭圆+y2=1有相同的焦点.‎ 其中真命题的序号为  (写出所有真命题的序号)‎ ‎ ‎ 三、解答题 ‎17.已知圆x2+y2=8内有一点P0(﹣1,2),AB为过点P0且倾斜角为α的弦.‎ ‎(1)当α=时,求AB的长;‎ ‎(2)当弦AB被点P0平分时,写出直线AB的方程.‎ ‎18.设命题p:∃x∈R,使x2+2ax+2﹣a=0;命题p:不等式ax2﹣ax+2>0对任意x∈R恒成立.若¬p为真,且p或q为真,求a的取值范围.‎ ‎19.已知直线l过点P(2,3),且被两条平行直线l1:3x+4y﹣7=0,l2:3x+4y+8=0截得的线段长为d.‎ ‎(1)求d的最小值;‎ ‎(2)当直线l与x轴平行,试求d的值.‎ ‎20.如图:Rt△ABC中,∠CAB=90°,AB=2,AC=,曲线E过C点,动点P在E上运动,且保持|PA|+|PB|的值不变.‎ ‎(1)建立适当的坐标系,求曲线E的标准方程;‎ ‎(2)过B点且倾斜角为120°的直线l交曲线E于M,N两点,求|MN|的长度.‎ ‎21.在平面直角坐标系xOy中,直线l与抛物线y2=2x相交于A、B两点.‎ ‎(1)求证:“如果直线l过点T(3,0),那么=3”是真命题;‎ ‎(2)写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ ‎22.如图,DP⊥x轴,点M在DP的延长线上,且|DM|=2|DP|.当点P在圆x2+y2=1上运动时.‎ ‎(Ⅰ)求点M的轨迹C的方程;‎ ‎(Ⅱ)过点T(0,t)作圆x2+y2=1的切线交曲线C于A,B两点,求△AOB面积S的最大值和相应的点T的坐标.‎ ‎ ‎ ‎2016-2017学年广东省清远一中高二(下)第一次月考数学试卷(文科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(60分,每题5分)‎ ‎1.下列命题是全称命题的是(  )‎ A.存在x∈R,使x2﹣x+1<0 B.所有2的倍数都是偶数 C.有一个实数x,使|x|≤0 D.有的三角形是等边三角形 ‎【考点】全称命题.‎ ‎【分析】含有特称量词“有些”,“至少”,“存在”的命题都是特称命题;含有全称量词“任意”的是全称命题.‎ ‎【解答】解:对于A,C,D中,分别含有特称量词“有一个”,“有的”,“存在”,故A,C,D都是特称命题;‎ 对于B,含有全称量词“所有”,故B是全称命题.‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎2.抛物线y2=2x的准线方程是(  )‎ A.y= B.y=﹣ C.x= D.x=﹣‎ ‎【考点】抛物线的简单性质.‎ ‎【分析】根据抛物线的方程可得2p=2,算出=,结合抛物线的基本概念即可算出此抛物线的准线方程.‎ ‎【解答】解:∵抛物线的方程为y2=2x,‎ ‎∴2p=2,得=,‎ 可得抛物线的焦点为F(,0),准线方程为x=﹣.‎ 故选:D ‎ ‎ ‎3.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且S3=7a1,则数列{an}的公比q的值为(  )‎ A.2 B.3 C.2或﹣3 D.2或3‎ ‎【考点】等比数列的性质.‎ ‎【分析】根据等比数列的通项公式表示出S3等于前三项相加,让其值等于7a1,根据a1不等于0,消去a1得到关于q的方程,求出方程的解即可得到q的值.‎ ‎【解答】解:由S3=7a1,‎ 则a1+a2+a3=7a1,即a1+a1q+a1q2=7a1,‎ 由a1≠0,化简得:1+q+q2=7,即q2+q﹣6=0,‎ 因式分解得:(q﹣2)(q+3)=0,‎ 解得q=2或q=﹣3,‎ 则数列{an}的公比q的值为2或﹣3.‎ 故选C ‎ ‎ ‎4.在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则a2+a6+a10=(  )‎ A.12 B.16 C.20 D.24‎ ‎【考点】等差数列的通项公式.‎ ‎【分析】由等差数列通项公式得a6=8,a2+a6+a10=3a6,由此能求出结果.‎ ‎【解答】解:∵在等差数列{an}中,a4+a8=16,‎ ‎∴a4+a8=2a6=16,解得a6=8,‎ ‎∴a2+a6+a10=3a6=24.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎5.在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若∠C=120°,c=a,则(  )‎ A.a>b B.a<b C.a=b D.a与b的大小关系不能确定 ‎【考点】余弦定理;不等式的基本性质.‎ ‎【分析】由余弦定理可知c2=a2+b2﹣2abcosC,进而求得a﹣b=,根据 ‎>0判断出a>b.‎ ‎【解答】解:∵∠C=120°,c=a,‎ ‎∴由余弦定理可知c2=a2+b2﹣2abcosC,‎ ‎∴a2﹣b2=ab,a﹣b=,‎ ‎∵a>0,b>0,‎ ‎∴a﹣b=,‎ ‎∴a>b 故选A ‎ ‎ ‎6.椭圆ax2+by2=1与直线y=1﹣x交于A、B两点,过原点与线段AB中点的直线的斜率为,则的值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】椭圆的简单性质.‎ ‎【分析】联立椭圆方程与直线方程,得ax2+b(1﹣x)2=1,(a+b)x2﹣2bx+b﹣1=0,A(x1,y1),B(x2,y2),由韦达定理得AB中点坐标:(),AB中点与原点连线的斜率k===.‎ ‎【解答】解:联立椭圆方程与直线方程,得ax2+b(1﹣x)2=1,(a+b)x2﹣2bx+b﹣1=0,‎ A(x1,y1),B(x2,y2),‎ ‎,y1+y2=1﹣x1+1﹣x2=2﹣=,‎ AB中点坐标:(),AB中点与原点连线的斜率k===.‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎7.已知F为双曲线C:x2﹣my2=3m(m>0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为(  )‎ A. B.3 C. m D.3m ‎【考点】双曲线的简单性质.‎ ‎【分析】双曲线方程化为标准方程,求出焦点坐标,一条渐近线方程,利用点到直线的距离公式,可得结论.‎ ‎【解答】解:双曲线C:x2﹣my2=3m(m>0)可化为,‎ ‎∴一个焦点为(,0),一条渐近线方程为=0,‎ ‎∴点F到C的一条渐近线的距离为=.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎8.在△ABC中,B=60°,b2=ac,则△ABC一定是(  )‎ A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 ‎【考点】三角形的形状判断.‎ ‎【分析】由余弦定理且B=60°得b2=a2+c2﹣ac,再由b2=ac,得a2+c2﹣ac=ac,得a=c,得A=B=C=60°,得△ABC的形状是等边三角形 ‎【解答】解:由余弦定理得:b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac,又b2=ac,‎ ‎∴a2+c2﹣ac=ac,∴(a﹣c)2=0,∴a=c,∴A=B=C=60°,‎ ‎∴△ABC的形状是等边三角形.‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎9.已知数列{an}:, +, ++,…, +++…+,…,若bn=,那么数列{bn}的前n项和Sn为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】数列的求和.‎ ‎【分析】先确定数列{an}的通项,再确定数列{bn}的通项,利用裂项法可求数列的和.‎ ‎【解答】解:由题意,数列{an}的通项为an==,‎ ‎∴bn==4(﹣)‎ ‎∴Sn=4(1﹣+﹣+…+﹣)=4(1﹣)=‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎10.已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)=1,且f(x)的导函数f′(x)<,则f(x)<+的解集为(  )‎ A.{x|﹣1<x<1} B.{x|<﹣1} C.{x|x<﹣1或x>1} D.{x|x>1}‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性.‎ ‎【分析】根据条件,构造函数g(x)=f(x)﹣﹣,求函数的导数,利用函数的单调性即可得到结论.‎ ‎【解答】解:设g(x)=f(x)﹣﹣,则函数的g(x)的导数g′(x)=f′(x)﹣,‎ ‎∵f(x)的导函数f′(x)<,‎ ‎∴g′(x)=f′(x)﹣<0,‎ 则函数g(x)单调递减,‎ ‎∵f(1)=1,‎ ‎∴g(1)=f(1)﹣﹣=1﹣1=0,‎ 则不等式f(x)<+,等价为g(x)<0,‎ 即g(x)<g(1),‎ 则x>1,‎ 即f(x)<+的解集{x|x>1},‎ 故选:D ‎ ‎ ‎11.正项等比数列{an}中,存在两项am、an使得=4a1‎ ‎,且a6=a5+2a4,则的最小值是(  )‎ A. B.2 C. D.‎ ‎【考点】基本不等式在最值问题中的应用;等比数列的性质.‎ ‎【分析】由a6=a5+2a4,求出公比q,由=4a1,确定m,n的关系,然后利用基本不等式即可求出则的最小值.‎ ‎【解答】解:在等比数列中,∵a6=a5+2a4,‎ ‎∴,‎ 即q2﹣q﹣2=0,‎ 解得q=2或q=﹣1(舍去),‎ ‎∵=4a1,‎ ‎∴,‎ 即2m+n﹣2=16=24,‎ ‎∴m+n﹣2=4,即m+n=6,‎ ‎∴,‎ ‎∴=()=,‎ 当且仅当,即n=2m时取等号.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎12.设F1、F2分别为双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的左、右焦点,A为双曲线的左顶点,以F1F2为直径的圆交双曲线某条渐过线于M,N两点,且满足∠MAN=120°,则该双曲线的离心率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】双曲线的简单性质.‎ ‎【分析】先求出M,N的坐标,再利用余弦定理,求出a,c之间的关系,即可得出双曲线的离心率.‎ ‎【解答】解:不妨设圆与y=x相交且点M的坐标为(x0,y0)(x0>0),则N点的坐标为(﹣x0,﹣y0),‎ 联立y0=x0,得M(a,b),N(﹣a,﹣b),‎ 又A(﹣a,0)且∠MAN=120°,所以由余弦定理得4c2=(a+a)2+b2+b2﹣2•bcos 120°,‎ 化简得7a2=3c2,求得e=.‎ 故选A.‎ ‎ ‎ 二、填空题(20分,每题5分)‎ ‎13.若椭圆+=1的离心率为,则m的值为 或18 .‎ ‎【考点】椭圆的简单性质.‎ ‎【分析】分当椭圆焦点在x轴上或焦点在y轴上进行讨论,根据椭圆的标准方程算出a、b、c值,由离心率为建立关于m的方程,解之即可得到实数m之值.‎ ‎【解答】解:∵椭圆方程为+=1,‎ ‎∴①当椭圆焦点在x轴上时,a2=16,b2=m,‎ 可得c==,‎ 离心率e=,化简得1﹣=,解得m=‎ ‎②当椭圆焦点在y轴上时,a2=m,b2=16,‎ 可得c==‎ 离心率e=,化简得1﹣=,解得m=18.‎ 综上所述m=或m=18‎ 故答案为:或18‎ ‎ ‎ ‎14.定义:称为n个正数p1,p2,…,pn的“均倒数”,若数列{an}的前n项的“均倒数”为,则数列{an}的通项公式为 4n﹣3 .‎ ‎【考点】数列的函数特性.‎ ‎【分析】设数列{an}的前n项和为Sn.由题意可得: =,即Sn=2n2﹣n,利用递推关系即可得出.‎ ‎【解答】解:设数列{an}的前n项和为Sn.‎ 由题意可得: =,‎ ‎∴Sn=2n2﹣n,‎ ‎∴n=1时,a1=S1=1;‎ n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=2n2﹣n﹣[2(n﹣1)2﹣(n﹣1)]=4n﹣3,‎ n=1时上式也成立,‎ ‎∴an=4n﹣3.‎ 故答案为:4n﹣3.‎ ‎ ‎ ‎15.在△ABC中,a,b,c分别是角A、B、C的对边,若c=4,tanA=3,cosC=,求△ABC面积 6 .‎ ‎【考点】正弦定理.‎ ‎【分析】根据cosC可求得sinC和tanC,根据tanB=﹣tan(A+C),可求得tanB,进而求得B.由正弦定理可求得b,根据sinA=sin(B+C)求得sinA,进而根据三角形的面积公式求得面积.‎ ‎【解答】解:∵cosC=,‎ ‎∴sinC=,tanC=2,‎ ‎∵tanB=﹣tan(A+C)=﹣=1,‎ 又0<B<π,‎ ‎∴B=,‎ ‎∴由正弦定理可得b==,‎ ‎∴由sinA=sin(B+C)=sin(+C)得,sinA=,‎ ‎∴△ABC面积为: bcsinA=6.‎ 故答案为:6.‎ ‎ ‎ ‎16.以下四个关于圆锥曲线的命题中 ‎①设A、B为两个定点,k为非零常数,||﹣||=k,则动点P的轨迹为双曲线;‎ ‎②设定圆C上一定点A作圆的动点弦AB,O为坐标原点,若=(+),则动点P的轨迹为椭圆;‎ ‎③方程2x2﹣5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;‎ ‎④双曲线﹣=1与椭圆+y2=1有相同的焦点.‎ 其中真命题的序号为 ③④ (写出所有真命题的序号)‎ ‎【考点】轨迹方程;椭圆的定义;双曲线的定义;双曲线的简单性质.‎ ‎【分析】①不正确.若动点P的轨迹为双曲线,则|k|要小于A、B为两个定点间的距离;②不正确.根据平行四边形法则,易得P是AB的中点.由此可知P点的轨迹是一个圆;③正确.方程2x2﹣5x+2=0的两根和2可分别作为椭圆和双曲线的离心率;④正确.双曲线﹣=1与椭圆+y2=1焦点坐标都是(,0).‎ ‎【解答】解:①不正确.若动点P的轨迹为双曲线,则|k|要小于A、B为两个定点间的距离.‎ 当点P在顶点AB的延长线上时,K=|AB|,显然这种曲线是射线,而非双曲线;‎ ‎②不正确.根据平行四边形法则,易得P是AB的中点.根据垂径定理,‎ 圆心与弦的中点连线垂直于这条弦设圆心为C,‎ 那么有CP⊥AB即∠CPB恒为直角.由于CA是圆的半径,是定长,‎ 而∠CPB恒为直角.也就是说,P在以CP为直径的圆上运动,‎ ‎∠CPB为直径所对的圆周角.所以P点的轨迹是一个圆,如图.‎ ‎③正确.方程2x2﹣5x+2=0的两根分别为和2,和2可分别作为椭圆和双曲线的离心率.‎ ‎④正确.双曲线﹣=1与椭圆+y2=1焦点坐标都是(,0).‎ 故答案为:③④.‎ ‎ ‎ 三、解答题 ‎17.已知圆x2+y2=8内有一点P0(﹣1,2),AB为过点P0且倾斜角为α的弦.‎ ‎(1)当α=时,求AB的长;‎ ‎(2)当弦AB被点P0平分时,写出直线AB的方程.‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系.‎ ‎【分析】(1)当α=时,求出直线AB的方程,圆心到直线AB的距离,即可求AB的长;‎ ‎(2)当弦AB被点P0平分时,OP0⊥AB,求出直线AB的斜率,即可写出直线AB的方程.‎ ‎【解答】解:(1)当时,直线AB的方程为:y﹣2=﹣(x+1)⇒x+y﹣1=0,‎ 设圆心到直线AB的距离为d,则,‎ ‎∴…,‎ ‎(2)当弦AB被点P0平分时,OP0⊥AB,‎ ‎∵,∴,‎ 故直线AB的方程为:即x﹣2y+5=0…‎ ‎ ‎ ‎18.设命题p:∃x∈R,使x2+2ax+2﹣a=0;命题p:不等式ax2﹣ax+2>0对任意x∈R恒成立.若¬p为真,且p或q为真,求a的取值范围.‎ ‎【考点】复合命题的真假.‎ ‎【分析】先求出命题p,q成立的等价条件,利用若¬p为真,且p或q为真,即可求a的取值范围.‎ ‎【解答】解:若:∃x∈R,使x2+2ax+2﹣a=0成立,则△≥0,‎ 即△=4a2﹣4(2﹣a)≥0,‎ 得a≤﹣2或a≥1,即p:a≤﹣2或a≥1,‎ 若x∈R,恒成立,‎ 当a=0时,2>0恒成立,满足条件.‎ 当a≠0,要使不等式恒成立,‎ 则,‎ 解得0<a<4,‎ 综上0≤a<4.即q:0≤a<4.‎ 若¬p为真,则p为假,‎ 又p或q为真,∴q为真,‎ ‎,‎ ‎∴a的取值范围为[0,1).‎ ‎ ‎ ‎19.已知直线l过点P(2,3),且被两条平行直线l1:3x+4y﹣7=0,l2:3x+4y+8=0截得的线段长为d.‎ ‎(1)求d的最小值;‎ ‎(2)当直线l与x轴平行,试求d的值.‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系.‎ ‎【分析】(1)由两平行线间的距离计算可得;(2)可得直线l的方程为y=3,分别可得与两直线的交点,可得d值.‎ ‎【解答】解:(1)当直线l与两平行线垂直时d最小,‎ 此时d即为两平行线间的距离,‎ ‎∴d==3‎ ‎(2)当直线l与x轴平行时,直线l的方程为y=3,‎ 把y=3代入l1:3x+4y﹣7=0可得x=,‎ 把y=3代入l2:3x+4y+8=0可得x=,‎ ‎∴d=|﹣()|=5.‎ ‎ ‎ ‎20.如图:Rt△ABC中,∠CAB=90°,AB=2,AC=,曲线E过C点,动点P在E上运动,且保持|PA|+|PB|的值不变.‎ ‎(1)建立适当的坐标系,求曲线E的标准方程;‎ ‎(2)过B点且倾斜角为120°的直线l交曲线E于M,N两点,求|MN|的长度.‎ ‎【考点】直线与椭圆的位置关系;轨迹方程.‎ ‎【分析】(1)由题意可知:|PA|+|PB|=|CA|+|CB|=2,动点的轨迹是以为A,B焦点椭圆,即2a=2,a=,2c=2,b2=a2﹣c2=1,即可求得椭圆的方程;‎ ‎(2)直线l得方程为y=﹣(x﹣1),代入椭圆方程,利用韦达定理及弦长公式即可求得|MN|的长度.‎ ‎【解答】‎ 解:(1)以AB、OD所在的直线分别为x轴、y轴,O为原点建立直角坐标系….‎ ‎∵|PA|+|PB|=|CA|+|CB|=+=2,‎ 动点的轨迹是以为A,B焦点椭圆….‎ 设其长、短半轴的长分别为a、b,半焦距为c,则a=,c=1,b=1,‎ ‎∴曲线E的方程为: +y2=1.…‎ ‎(2)直线l得方程为y=﹣(x﹣1)且M(x1,y1),N(x2,y2)….‎ 由方程组,得方程7x2﹣12x+4=0‎ x1+x2=,x1•x2= …‎ ‎==,‎ 故…..‎ ‎ ‎ ‎21.在平面直角坐标系xOy中,直线l与抛物线y2=2x相交于A、B两点.‎ ‎(1)求证:“如果直线l过点T(3,0),那么=3”是真命题;‎ ‎(2)写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由.‎ ‎【考点】四种命题的真假关系;抛物线的简单性质.‎ ‎【分析】(1)设出A,B两点的坐标根据向量的点乘运算求证即可,‎ ‎(2)把(1)中题设和结论变换位置然后设出A,B两点的坐标根据向量运算求证即可.‎ ‎【解答】解:(1)设过点T(3,0)的直线l交抛物线y2=2x于点A(x1,y1)、B(x2,y2).‎ 当直线l的钭率不存在时,直线l的方程为x=3,‎ 此时,直线l与抛物线相交于点A(3,)、B(3,﹣).‎ ‎∴=3;‎ 当直线l的钭率存在时,设直线l的方程为y=k(x﹣3),其中k≠0,‎ 由得ky2﹣2y﹣6k=0⇒y1y2=﹣6‎ 又∵,‎ ‎∴,‎ 综上所述,命题“如果直线l过点T(3,0),那么=3”是真命题;‎ ‎(2)逆命题是:设直线l交抛物线y2=2x于A、B两点,‎ 如果=3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题.‎ 例如:取抛物线上的点A(2,2),B(,1),‎ 此时=3,‎ 直线AB的方程为:,而T(3,0)不在直线AB上;‎ 说明:由抛物线y2=2x上的点A(x1,y1)、B(x2,y2)满足=3,可得y1y2=﹣6,‎ 或y1y2=2,如果y1y2=﹣6,可证得直线AB过点(3,0);如果y1y2=2,可证得直线 AB过点(﹣1,0),而不过点(3,0).‎ ‎ ‎ ‎[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ ‎22.如图,DP⊥x轴,点M在DP的延长线上,且|DM|=2|DP|.当点P在圆x2+y2=1上运动时.‎ ‎(Ⅰ)求点M的轨迹C的方程;‎ ‎(Ⅱ)过点T(0,t)作圆x2+y2=1的切线交曲线C于A,B两点,求△AOB面积S的最大值和相应的点T的坐标.‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;轨迹方程;直线与圆相交的性质.‎ ‎【分析】(I)设出M的坐标为(x,y),点P的坐标为(x0,y0),由题意DP⊥x轴,点M在DP的延长线上,且|DM|=2|DP|,找出x0与x的关系及y0与y的关系,记作①,根据P在圆上,将P的坐标代入圆的方程,记作②,将①代入②,即可得到点M的轨迹方程;‎ ‎(Ⅱ)由过点T(0,t)作圆x2+y2=1的切线l交曲线C于A,B两点,得到|t|大于等于圆的半径1,分两种情况考虑:(i)当t=1时,确定出切线l为x=1,将x=1代入M得轨迹方程中,求出A和B的坐标,确定出此时|AB|的长,当t=﹣1时,同理得到|AB|的长;(ii)当|t|大于1时,设切线l方程为y=kx+t,将切线l的方程与圆方程联立,消去y得到关于x的一元二次方程,设A和B的坐标,利用根与系数的关系表示出两点横坐标之和与之积,再由切线l与圆相切,得到圆心到切线的距离d=r,利用点到直线的距离公式列出关系式,整理后得到k与t的关系式,然后利用两点间的距离公式表示出|AB|,将表示出的两根之和与两根之积,以及k与t的关系式代入,得到关于t的关系,利用基本不等式变形,得到|AB|的最大值,以及此时t的取值,而三角形AOB的面积等于AB与半径r乘积的一半来求,表示出三角形AOB的面积,将|AB|的最大值代入求出三角形AOB面积的最大值,以及此时T的坐标即可.‎ ‎【解答】(本小题满分13分)‎ 解:(I)设点M的坐标为(x,y),点P的坐标为(x0,y0),‎ 则x=x0,y=2y0,所以x0=x,y0=,①‎ 因为P(x0,y0)在圆x2+y2=1上,所以x02+y02=1②,‎ 将①代入②,得点M的轨迹方程C的方程为x2+=1;…‎ ‎(Ⅱ)由题意知,|t|≥1,‎ ‎(i)当t=1时,切线l的方程为y=1,点A、B的坐标分别为(﹣,1),(,1),‎ 此时|AB|=,当t=﹣1时,同理可得|AB|=;‎ ‎(ii)当|t|>1时,设切线l的方程为y=kx+t,k∈R,‎ 由,‎ 得(4+k2)x2+2ktx+t2﹣4=0③,‎ 设A、B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),‎ 由③得:x1+x2=﹣,x1x2=,‎ 又直线l与圆x2+y2=1相切,得=1,即t2=k2+1,‎ ‎∴|AB|===,‎ 又|AB|==≤2,且当t=±时,|AB|=2,‎ 综上,|AB|的最大值为2,‎ 依题意,圆心O到直线AB的距离为圆x2+y2=1的半径,‎ ‎∴△AOB面积S=|AB|×1≤1,‎ 当且仅当t=±时,△AOB面积S的最大值为1,相应的T的坐标为(0,﹣)或(0,).…‎