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- 2021-06-17 发布
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§6.3 等比数列
基础篇固本夯基
【基础集训】
考点一 等比数列的有关概念及运算
1.Sn是正项等比数列{an}的前n项和,a3=18,S3=26,则a1=( )
A.2 B.3 C.1 D.6
答案 A
2.在数列{an}中,满足a1=2,an2=an-1·an+1(n≥2,n∈N*),Sn为{an}的前n项和,若a6=64,则S7的值为( )
A.126 B.256 C.255 D.254
答案 D
3.已知{an}是等比数列,若a1=1,a6=8a3,数列1an的前n项和为Tn,则T5=( )
A.3116 B.31 C.158 D.7
答案 A
4.已知正项等比数列{an}满足log2an+2-log2an=2,且a3=8,则数列{an}的前n项和Sn= .
答案 2n+1-2
5.设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2.
(1)设bn=an+1-2an,证明数列{bn}是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
解析 (1)证明:∵a1=1,Sn+1=4an+2,
∴a1+a2=4a1+2,a2=3a1+2,∴b1=a2-2a1=3,当n≥2时,Sn=4an-1+2,
∴Sn+1-Sn=4an-4an-1,∴an+1=4an-4an-1,
∴an+1-2an=2(an-2an-1).
又∵bn=an+1-2an,∴bn=2bn-1,n≥2,
∴{bn}是首项为3,公比为2的等比数列.
(2)由(1)知:bn=an+1-2an=3·2n-1,∴an+12n+1-an2n=34,
∴数列an2n是首项为12,公差为34的等差数列,
∴an2n=12+(n-1)×34=34n-14,∴an=(3n-1)·2n-2.
6.已知Sn为数列{an}的前n项和,且2Sn=3an-2(n∈N*).
(1)求an和Sn;
(2)若bn=log3(Sn+1),求数列{b2n}的前n项和Tn.
解析 (1)∵2Sn=3an-2,
∴当n=1时,2S1=3a1-2,解得a1=2;
当n≥2时,2Sn-1=3an-1-2,∴2Sn-2Sn-1=3an-3an-1,
∴2an=3an-3an-1,∴an=3an-1,
∴数列{an}是首项为2,公比为3的等比数列,
∴an=2·3n-1,Sn=2(1-3n)1-3=3n-1.
(2)由(1)知Sn=3n-1,
∴bn=log3(Sn+1)=log33n=n,∴b2n=2n,
∴Tn=2+4+6+…+2n=n(2+2n)2=n2+n.
7.已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+λ(λ为常数).
(1)试探究数列{an+λ}是不是等比数列,并求an;
(2)当λ=1时,求数列{n(an+λ)}的前n项和Tn.
解析 (1)因为an+1=2an+λ,所以an+1+λ=2(an+λ).
又a1=1,
所以当λ=-1时,a1+λ=0,数列{an+λ}不是等比数列,
此时an+λ=an-1=0,即an=1;
当λ≠-1时,a1+λ≠0,所以an+λ≠0,
所以数列{an+λ}是以1+λ为首项,2为公比的等比数列,
此时an+λ=(1+λ)2n-1,即an=(1+λ)2n-1-λ.
(2)当λ=1时,由(1)知an=2n-1,所以n(an+1)=n×2n,
Tn=2+2×22+3×23+…+n×2n①,
2Tn=22+2×23+3×24+…+n×2n+1②,
①-②得:-Tn=2+22+23+…+2n-n×2n+1=2(1-2n)1-2-n×2n+1=2n+1-2-n×2n+1=(1-n)2n+1-2.所以Tn=(n-1)2n+1+2.
考点二 等比数列的性质
8.已知数列{an}为等比数列,且a1a13+2a72=4π,则tan(a2a12)的值为( )
A.3 B.-3 C.±3 D.-33
答案 A
9.在等比数列{an}中,a2,a16是方程x2+6x+2=0的根,则a2a16a9的值为( )
A.2 B.-2 C.2 D.-2或2
答案 D
10.已知递增的等比数列{an}的公比为q,其前n项和Sn<0,则( )
A.a1<0,0
1 C.a1>0,00,q>1 答案 A 综合篇知能转换 【综合集训】 考法一 等比数列基本量运算的解题技巧 1.(2018湖北荆州一模,9)已知数列{an}是公差d不为0的等差数列,且a1,a3,a7为等比数列{bn}的连续三项,则b3+b4b4+b5的值为( ) A.12 B.4 C.2 D.2 答案 A 2.(2019湖北荆州3月联考,4)已知数列{an}为等差数列,且2a1,2,2a6成等比数列,则{an}的前6项的和为( ) A.15 B.212 C.6 D.3 答案 C 3.(2018河南开封一模,5)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且9S3=S6,a2=1,则a1=( ) A.12 B.22 C.2 D.2 答案 A 4.(2018陕西延安黄陵中学(重点班)第一次大检测,10)已知公比不为1的等比数列{an}的前n项和为Sn,且满足a2,2a5,3a8成等差数列,则3S3S6=( ) A.134 B.1312 C.94 D.1112 答案 C 考法二 等比数列的判定与证明 5.(2018山东实验中学诊断测试,7)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题:今有牛、马、羊食人苗,苗主责之粟五斗,羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之,问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说:“我的羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我的马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还,他们各应偿还多少?已知牛、马、羊的主人应偿还a升,b升,c升,1斗为10升,则下列判断正确的是( ) A.a,b,c依次成公比为2的等比数列,且a=507 B.a,b,c依次成公比为2的等比数列,且c=507 C.a,b,c依次成公比为12的等比数列,且a=507 D.a,b,c依次成公比为12的等比数列,且c=507 答案 D 6.(2019河南濮阳重点高中联考,17)设{an}是公比为q的等比数列. (1)推导{an}的前n项和公式; (2)设q≠1,证明数列{an+1}不是等比数列. 解析 (1)易知q≠0. 当q=1时,Sn=na1.当q≠1时,Sn=a1+a2+…+an, qSn=a1q+a2q+…+anq=a2+a3+…+an+anq, ∴(1-q)Sn=a1-anq, ∴Sn=a1-anq1-q=a1(1-qn)1-q. 综上,Sn=na1,q=1,a1-anq1-q=a1(1-qn)1-q,q≠1. (2)证明:假设q≠1时,数列{an+1}是等比数列. 则(a2+1)2=(a1+1)(a3+1), 即(a1q+1)2=(a1+1)(a1q2+1), 化为a1(q-1)2=0,易知a1≠0,解得q=1,与q≠1矛盾, 因此假设不成立,故原结论成立,即q≠1时,数列{an+1}不是等比数列. 【五年高考】 考点一 等比数列的有关概念及运算 1.(2019课标Ⅲ,5,5分)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=( ) A.16 B.8 C.4 D.2 答案 C 2.(2017课标Ⅱ,3,5分)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( ) A.1盏 B.3盏 C.5盏 D.9盏 答案 B 3.(2018北京,4,5分)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为( ) A.32f B.322f C.1225f D.1227f 答案 D 4.(2019课标Ⅰ,14,5分)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=13,a42=a6,则S5= . 答案 1213 5.(2017北京,10,5分)若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=-1,a4=b4=8,则a2b2= . 答案 1 6.(2017江苏,9,5分)等比数列{an}的各项均为实数,其前n项和为Sn.已知S3=74,S6=634,则a8= . 答案 32 7.(2015湖南,14,5分)设Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则an= . 答案 3n-1 8.(2018课标Ⅲ,17,12分)等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3. (1)求{an}的通项公式; (2)记Sn为{an}的前n项和.若Sm=63,求m. 解析 本题考查等比数列的概念及其运算. (1)设{an}的公比为q,由题设得an=qn-1. 由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去)或q=-2或q=2. 故an=(-2)n-1或an=2n-1. (2)若an=(-2)n-1,则Sn=1-(-2)n3. 由Sm=63得(-2)m=-188.此方程没有正整数解. 若an=2n-1,则Sn=2n-1.由Sm=63得2m=64,解得m=6. 综上,m=6. 解后反思 等比数列基本量运算问题的常见类型及解题策略 (1)求通项公式.求出等比数列的两个基本量a1和q后,通项公式便可求出. (2)求特定项.利用通项公式或者等比数列的性质求解. (3)求公比.利用等比数列的定义和性质建立方程(组)求解. (4)求前n项和.直接将基本量代入等比数列的前n项和公式求解或利用等比数列的性质求解. 9.(2016课标Ⅲ,17,12分)已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0. (1)证明{an}是等比数列,并求其通项公式; (2)若S5=3132,求λ. 解析 (1)由题意得a1=S1=1+λa1, 故λ≠1,a1=11-λ,a1≠0.(2分) 由Sn=1+λan,Sn+1=1+λan+1得an+1=λan+1-λan,即an+1(λ-1)=λan.由a1≠0,λ≠0得an≠0,所以an+1an=λλ-1. 因此{an}是首项为11-λ,公比为λλ-1的等比数列, 于是an=11-λλλ-1n-1.(6分) (2)由(1)得Sn=1-λλ-1n. 由S5=3132得1-λλ-15=3132,即λλ-15=132. 解得λ=-1.(12分) 方法指导 (1)利用an+1=Sn+1-Sn可得到an+1与an的关系式,要证数列{an}是等比数列,关键是得出an+1与an之比为常数,其中说明an≠0是非常重要的.(2)利用第(1)问的结论列方程即可求出λ. 考点二 等比数列的性质 10.(2016课标Ⅰ,15,5分)设等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为 . 答案 64 11.(2015安徽,14,5分)已知数列{an}是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,则数列{an}的前n项和等于 . 答案 2n-1 教师专用题组 考点一 等比数列的有关概念及运算 1.(2013课标Ⅱ,3,5分)等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=( ) A.13 B.-13 C.19 D.-19 答案 C 2.(2012课标,5,5分)已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10=( ) A.7 B.5 C.-5 D.-7 答案 D 3.(2014安徽,12,5分)数列{an}是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q= . 答案 1 4.(2016四川,19,12分)已知数列{an}的首项为1,Sn为数列{an}的前n项和,Sn+1=qSn+1,其中q>0,n∈N*. (1)若2a2,a3,a2+2成等差数列,求数列{an}的通项公式; (2)设双曲线x2-y2an2=1的离心率为en,且e2=53,证明:e1+e2+…+en>4n-3n3n-1. 解析 (1)由已知,Sn+1=qSn+1,Sn+2=qSn+1+1, 两式相减得到an+2=qan+1,n≥1. 又由S2=qS1+1得到a2=qa1, 故an+1=qan对所有n≥1都成立. 所以,数列{an}是首项为1,公比为q的等比数列. 从而an=qn-1.由2a2,a3,a2+2成等差数列,可得 2a3=3a2+2,即2q2=3q+2,则(2q+1)(q-2)=0, 由已知,q>0,故q=2.所以an=2n-1(n∈N*). (2)证明:由(1)可知,an=qn-1. 所以双曲线x2-y2an2=1的离心率en=1+an2=1+q2(n-1). 由e2=1+q2=53,解得q=43. 因为1+q2(k-1)>q2(k-1),所以1+q2(k-1)>qk-1(k∈N*).于是e1+e2+…+en>1+q+…+qn-1=qn-1q-1,故e1+e2+…+en>4n-3n3n-1. 5.(2015山东,18,12分)设数列{an}的前n项和为Sn.已知2Sn=3n+3. (1)求{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足anbn=log3an,求{bn}的前n项和Tn. 解析 (1)因为2Sn=3n+3,所以2a1=3+3,故a1=3, 当n>1时,2Sn-1=3n-1+3, 此时2an=2Sn-2Sn-1=3n-3n-1=2×3n-1,即an=3n-1, 所以an=3,n=1,3n-1,n>1. (2)因为anbn=log3an,所以b1=13, 当n>1时,bn=31-nlog33n-1=(n-1)·31-n. 所以T1=b1=13; 当n>1时, Tn=b1+b2+b3+…+bn=13+[1×3-1+2×3-2+…+(n-1)×31-n], 所以3Tn=1+[1×30+2×3-1+…+(n-1)×32-n], 两式相减,得 2Tn=23+(30+3-1+3-2+…+32-n)-(n-1)×31-n =23+1-31-n1-3-1-(n-1)×31-n=136-6n+32×3n, 所以Tn=1312-6n+34×3n(n>1).经检验,n=1时也适合. 综上可得Tn=1312-6n+34×3n(n∈N*). 6.(2014课标Ⅱ,17,12分)已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1. (1)证明an+12是等比数列,并求{an}的通项公式; (2)证明1a1+1a2+…+1an<32. 解析 (1)由an+1=3an+1得an+1+12=3an+12. 又a1+12=32,所以an+12是首项为32,公比为3的等比数列. an+12=3n2,因此{an}的通项公式为an=3n-12. (2)证明:由(1)知1an=23n-1.因为当n≥1时,3n-1≥2×3n-1,所以13n-1≤12×3n-1. 于是1a1+1a2+…+1an≤1+13+…+13n-1=321-13n<32. 所以1a1+1a2+…+1an<32. 考点二 等比数列的性质 7.(2018浙江,10,4分)已知a1,a2,a3,a4成等比数列,且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3).若a1>1,则( ) A.a1a3,a2 a4 D.a1>a3,a2>a4 答案 B 8.(2014大纲全国,10,5分)等比数列{an}中,a4=2,a5=5,则数列{lg an}的前8项和等于( ) A.6 B.5 C.4 D.3 答案 C 【三年模拟】 一、单项选择题(每题5分,共45分) 1.(2019北京朝阳二模,5)已知等差数列{an}的首项为a1,公差d≠0,则“a1,a3,a9成等比数列”是“a1=d”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 C 2.(2020届天津杨村一中第一次月考,2)等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1+a2+a3=3,a4+a5+a6=6,则S12=( ) A.15 B.30 C.45 D.60 答案 C 3.(2020届山东济宁二中10月月考,11)《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题:“衰分”是按比例递减分配的意思,通常称递减的比例(百分比)为“衰分比”.如:甲、乙、丙、丁衰分得100,60,36,21.6个单位,递减的比例为40%.今共有粮m(m>0)石,按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”,已知丙衰分得80石,乙、丁衰分所得的和为164石,则“衰分比”与m的值分别为( ) A.20%;369 B.80%;369 C.40%;360 D.60%;365 答案 A 4.(2018河南新乡二模,6)在公比为q的正项等比数列{an}中,a4=4,则当2a2+a6取得最小值时,log2q=( ) A.14 B.-14 C.18 D.-18 答案 A 5.(2019湖南衡阳一模,8)在等比数列{an}中,a1a3=a4=4,则a6的所有可能值构成的集合是( ) A.{6} B.{-8,8} C.{-8} D.{8} 答案 D 6.(2019 5·3原创冲刺卷三,5)已知数列{an}为正项等比数列,a2=2,a3=2a1,则a1a2+a2a3+…+anan+1=( ) A.(2+2)[1-(2)n] B.(2+2)[(2)n-1] C.2(2n-1) D.2(1-2n) 答案 C 7.(2018福建厦门模拟,8)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2n+1+λ,则λ=( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 答案 A 8.(2019 5·3原创冲刺卷八,5)已知等比数列{an}满足a1+a2=12,a1-a3=6,则当a1·a2·…·an取到最大值时,n的值为( ) A.3 B.4 C.3或4 D.5 答案 C 9.(2019届安徽黄山11月“八校联考”,7)设Sn是等比数列{an}的前n项和,S4=5S2,则a52a3a8的值为( ) A.±12 B.±2 C.±2或-1 D.±12或-1 答案 D 二、多项选择题(每题5分,共10分) 10.(改编题)已知各项均为正数的等比数列{an},a1>1,0 2 019成立的n的最小值是 . 答案 11 四、解答题(共50分) 14.设数列{an}的前n项和为Sn,且an+1=2Sn+1,在下列两个条件:①a1=-1,②a2=3中选择一个,求数列{an}的通项公式并求其前n项和. 解析 若选择条件①a1=-1,由于an+1=2Sn+1, ∴当n≥2时,an=2Sn-1+1, 两式相减得an+1-an=2an,即an+1=3an,又a2=2S1+1=-1, ∴数列a2,a3,…,an是首项为-1,公比为3的等比数列, 则an=a2·3n-2=-3n-2,n≥2,∴an=-1,n=1,-3n-2,n≥2, 又当n=1时,S1=a1=-1, ∴当n≥2时,Sn=a1+a2+a3+…+an=(-1)+(-1)+(-1)×3+…+(-1)×3n-2=(-1)+(-1)(1-3n-1)1-3=-1+1-3n-12=-12-3n-12,又当n=1时,S1=-12-302=-1也符合上式, 因此Sn=-12-3n-12,n∈N*.若选择条件②a2=3,∵a2=3,∴a2=2S1+1=3,∴S1=1,即a1=1. ∵an+1=2Sn+1,∴n≥2时,an=2Sn-1+1,∴an+1-an=2an, 即an+1=3an,又∵a2a1=31=3,∴数列{an}是首项为a1=1,公比为3的等比数列,∴an=a13n-1=3n-1, ∴Sn=1-3n1-3=12(3n-1)=12·3n-12. 15.(2020届山东济宁二中10月月考,20)已知{an}是递增的等差数列,且a2,a4是方程x2-5x+6=0的根,数列{bn}的前n项和为Sn,且Sn=2bn-2(n∈N*). (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)若cn=an·bn(n∈N*),求数列{cn}的前n项和Tn. 解析 (1)易得方程x2-5x+6=0的两根为2,3, 则由题意,得a2=2,a4=3.设等差数列{an}的公差为d, 则a4-a2=2d,∴d=12.从而a2=a1+d=2,∴a1=32. ∴数列{an}的通项公式为an=32+(n-1)×12=n2+1. ∵Sn=2bn-2,① ∴当n≥2时,Sn-1=2bn-1-2,② ①-②得,bn=Sn-Sn-1=(2bn-2)-(2bn-1-2)=2bn-2bn-1, ∴bn=2bn-1(n≥2).又b1=S1=2b1-2,∴b1=2.∴{bn}是以2为首项,2为公比的等比数列,∴bn=2×2n-1=2n. (2)由题意及(1)得cn=n2+1×2n=(n+2)×2n-1, ∴Tn=(1+2)×20+(2+2)×21+(3+2)×22+…+(n+1)×2n-2+(n+2)×2n-1, 即Tn=3×20+4×21+5×22+…+(n+1)×2n-2+(n+2)×2n-1,① ∴2Tn=3×21+4×22+5×23+…+(n+1)×2n-1+(n+2)×2n,② ①-②得-Tn=3+21+22+23+…+2n-2+2n-1-(n+2)×2n, ∴-Tn=3+2(1-2n-1)1-2-(n+2)×2n=1-(n+1)×2n, ∴Tn=(n+1)×2n-1. 16.(2019江西红色七校联考,17)已知数列{an}为等差数列,Sn为{an}的前n项和,2a2+a5=a8,S5=25.数列{bn}为等比数列,且bn>0,b1=a1,b22=a1a5. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)记cn=4(2log3bn+3)·an,其前n项和为Tn,求证:Tn≥43. 解析 (1)设数列{an}的公差为d,则由2a2+a5=a8,S5=25得2(a1+d)=3d,5a1+5×42×d=25,解得a1=1,d=2,所以an=2n-1, 所以a1=1,a5=9.设{bn}的公比为q, 因为b1=a1=1,b22=a1a5=q2,bn>0,所以q=3,则bn=3n-1. (2)证明:由(1)得cn=4(2log3bn+3) ·an=4(2n+1)(2n-1)=212n-1-12n+1, 所以Tn=21-13+13-15+…+12n-1-12n+1=21-12n+1, 易知Tn随着n的增大而增大,所以Tn≥T1=21-13=43. 17.(2019安徽六安3月联考,17)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an>0,Sn2=an+12-λSn+1,其中λ为常数. (1)证明:Sn+1=2Sn+λ; (2)是否存在实数λ,使得数列{an}为等比数列?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由. 解析 (1)证明:∵an+1=Sn+1-Sn,Sn2=an+12-λSn+1, ∴Sn2=(Sn+1-Sn)2-λSn+1,∴Sn+1(Sn+1-2Sn-λ)=0, ∵an>0,∴Sn+1>0,∴Sn+1-2Sn-λ=0,∴Sn+1=2Sn+λ. (2)存在.∵Sn+1=2Sn+λ,∴Sn=2Sn-1+λ(n≥2),相减得an+1=2an(n≥2),∴{an}从第二项起成等比数列, ∵S2=2S1+λ,即a2+a1=2a1+λ,∴a2=1+λ>0,得λ>-1, ∴an=1,n=1,(λ+1)2n-2,n≥2, 若使{an}是等比数列,则a1a3=a22, ∴2(λ+1)=(λ+1)2,∴λ=1,经检验,符合题意. 故存在实数λ,使得数列{an}为等比数列,λ的值为1.