专题10+平面向量与复数（二）-2019高考数学（文）二轮复习单元过关测试 9页

‎2019高考数学（文）二轮单元复习过关测试 单元测试10 平面向量与复数（二）‎ ‎(120分钟　150分)‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于(　　)‎ ‎ A．第一象限 B．第二象限 ‎ C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】C　‎ ‎【解析】∵z＝i(－2＋i)＝－1－2i，∴复数z＝－1－2i所对应的复平面内的点为Z(－1，－2)，位于第三象限．‎ ‎ 故选C．‎ ‎2．已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是 (　　)‎ A．a＋b＝0‎ B．a＝b C．a与b共线反向 ‎ D．存在正实数λ，使a＝λb ‎【答案】D　‎ ‎【解析】因为a， b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|.则a与b共线同向，故D正确．‎ ‎3．复数＝(　　)‎ ‎ A．i B．1＋i ‎ C．－i D．1－i ‎【答案】A ‎【解析】　法一：＝＝＝i.‎ ‎ 法二：＝＝＝i.‎ ‎4．若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为(　　) ‎ A．－1　　　　 B．1　　　　‎ C．　　　　 D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝0，所以|a＋b|2＝a2＋b2＋‎2a·b＝2，故|a＋b|＝.‎ 展开(a－c)·(b－c)≤0，得a·b－(a＋b)·c＋c2≤0，‎ 即0－(a＋b)·c＋1≤0，整理，得(a＋b)·c≥1.‎ 而|a＋b－c|2＝(a＋b)2－2(a＋b)·c＋c2＝3－2(a＋b)·c，‎ 所以3－2(a＋b)·c≤3－2×1＝1.‎ 所以|a＋b－c|2≤1，即|a＋b－c|≤1.‎ ‎5．已知A(－1，－1)，B(m，m＋2)，C(2,5)三点共线，则m的值为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ ‎【答案】A ‎【解析】　＝(m，m＋2)－(－1，－1)＝(m＋1，m＋3)，‎ ＝(2,5)－(－1，－1)＝(3,6)，‎ ‎∵A，B，C三点共线，∴∥，‎ ‎∴3(m＋3)－6(m＋1)＝0，‎ ‎∴m＝1．故选A．‎ ‎6．若z＝4＋3i，则＝(　　)‎ ‎ A．1　　　　　　　　　　 B．－1‎ ‎ C．＋i D．－i ‎【答案】D　‎ ‎【解析】　∵z＝4＋3i，∴＝4－3i，|z|＝＝5，‎ ‎ ∴＝＝－i. ‎ ‎7．设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】　若|a|＝|b|成立，则以a，b为邻边的平行四边形为菱形．a＋b，a－b表示的是该菱形的对角线，而菱形的两条对角线长度不一定相等，所以|a＋b|＝|a－b|不一定成立，从而不是充分条件；反之，若|a＋b|＝|a－b|成立，则以a，b为邻边的平行四边形为矩形，而矩形的邻边长度不一定相等，所以|a|＝|b|不一定成立，从而不是必要条件．故“|a ‎|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要条件．‎ ‎8．已知i为虚数单位，复数z＝的虚部为 (　　) ‎ ‎ A．－　　　 B．－　　　‎ ‎ C．　　　 D． ‎【答案】D　‎ ‎【解析】复数z＝＝＝＝＋i，则其虚部为，故选D．‎ ‎9．在平面直角坐标系中，已知O是坐标原点，A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)，若|＋|＝，α∈(0，π)，则与的夹角为(　　)‎ A． B． ‎ C．π D．π ‎【答案】A　‎ ‎【解析】由题意，得＋＝(3＋cos α，sin α)，‎ 所以|＋|＝ ‎＝＝，‎ 即cosα＝，‎ 因为α∈(0，π)，所以α＝，C.‎ 设与的夹角为θ，‎ 则cos θ＝＝＝.‎ 因为θ∈[0，π]，所以θ＝.‎ ‎10．已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，且AB＝，则·的值是 (　　)‎ A．－ B． C．－ D．0‎ ‎【答案】A ‎11已知＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z＝(　　) ‎ ‎ A．1＋i　　　　　　 B．1－i ‎ C．－1＋i D．－1－i ‎【答案】D　‎ ‎【解析】由＝1＋i，得z＝＝＝＝－1－i，故选D．‎ ‎12．已知向量a，b的夹角为60°，且|a|＝2，|b|＝3，设＝a，＝b，＝ma－2b，若△ABC是以BC为斜边的直角三角形，则m＝(　　)‎ ‎ ‎ A．－4 B．3 ‎ C．－11 D．10‎ ‎【答案】C　‎ ‎【解析】a·b＝2×3×cos 60°＝3，‎ ＝－＝b－a，＝－OA＝(m－1)a－2B．‎ ‎∵AB⊥AC，∴·＝0，‎ 即(b－a)·[(m－1)a－2b]＝0，‎ ‎∴(1－m)a2－2b2＋(m－1)a·b＋2a·b＝0，‎ 即4(1－m)－18＋3(m－1)＋6＝0，‎ 解得m＝－11.故选C．‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)‎ ‎13．已知两个平面向量a，b满足|a|＝1，|a－2b|＝，且a与b的夹角为120°，则|b|＝________. ‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】　由|a－2b|＝得a2－‎4a·b＋4b2＝21.‎ 即1＋2|b|＋4|b|2＝21，解得|b|＝2或|b|＝－(舍)．‎ ‎14．已知点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·＝________.‎ ‎【答案】－25　‎ ‎【解析】由||2＋||2＝||2得∠B＝90°，cos C＝，cos A＝，·＝0，·＝4×5×＝－16，·＝5×3×＝－9，所以·＋·＋·＝－25.‎ ‎15．如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点(含边界)，则·的最大值为________．‎ ‎【答案】9　‎ ‎【解析】由平面向量的数量积的几何意义知，·等于与在方向上的投影之积，所以(·)max＝·＝·(＋)＝2＋2＋·＝9.‎ ‎16．已知a，b∈R，i是虚数单位，若(1＋i)(1－bi)＝a，则的值为________．‎ ‎【答案】2　‎ ‎【解析】∵(1＋i)(1－bi)＝1＋b＋(1－b)i＝a，又a，b∈R，∴1＋b＝a且1－b＝0，得a＝2，b＝1，∴＝2.‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(10分) 在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上，且＝m＋n(m，n∈R)．‎ ‎(1)若m＝n＝，求||；‎ ‎(2)用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．‎ ‎【答案】（1）||＝2；（2）1‎ 令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2,3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1. 12分 ‎18．(12分) 设向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈.‎ ‎(1)若|a|＝|b|，求x的值；‎ ‎(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．‎ ‎【答案】　（1）x＝；（2）f(x)的最大值为.‎ ‎【解析】(1)由|a|2＝(sin x)2＋(sin x)2＝4sin2x，‎ ‎|b|2＝(cos x)2＋(sin x)2＝1，‎ 及|a|＝|b|，得4sin2x＝1. 3分 又x∈，从而sin x＝，所以x＝. 5分 ‎(2)f(x)＝a·b＝sin x·cos x＋sin2x ‎＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋， 8分 当x＝∈时，sin取最大值1.‎ 所以f(x)的最大值为. 12分 ‎19．(12分) 复数z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(‎2a－5)i，若1＋z2是实数，求实数a的值．‎ ‎【答案】a＝3．‎ ‎20．(12分) 已知函数f(x)＝a·b，其中a＝(2cos x，－sin 2x)，b＝(cos x,1)，x∈R.‎ ‎(1)求函数y＝f(x)的单调递减区间；‎ ‎(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)＝－1， a＝，且向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，求边长b和c的值．‎ ‎【答案】　（1）f(x)的单调递减区间为(k∈Z)；‎ ‎ （2）b＝3，c＝2.‎ ‎【解析】(1)f(x)＝a·b＝2cos2x－sin 2x＝1＋cos 2x－sin 2x＝1＋2cos， 2分 令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)，‎ 解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，‎ ‎∴f(x)的单调递减区间为(k∈Z). 5分 ‎(2)∵f(A)＝1＋2cos＝－1，‎ ‎∴cos＝－1. 7分 又<2A＋<，∴2A＋＝π，即A＝. 9分 ‎∵a＝，‎ 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－3bc＝7. ①‎ ‎∵向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，‎ ‎∴2sin B＝3sin C．由正弦定理得2b＝3c， ②‎ 由①②可得b＝3，c＝2. 12分 ‎21．(12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝(cos A，cos B)，n＝(a,‎2c－b)，且m∥n.‎ ‎(1)求角A的大小．‎ ‎(2)若a＝4，求△ABC面积的最大值．‎ ‎【答案】（1）A＝；（2）△ABC面积的最大值为4.‎ ‎【解析】　(1)因为m∥n，‎ 所以acos B－(2c－b)cos A＝0，‎ 由正弦定理得 sin Acos B－(2sin C－sin B)cos A＝0，‎ 所以sin Acos B＋sin Bcos A＝2sin Ccos A，‎ 所以sin(A＋B)＝2sin Ccos A，‎ 因为A＋B＋C＝π，‎ 所以sin C＝2sin Ccos A，‎ 因为0＜C＜π，所以sin C＞0，‎ 所以cos A＝，‎ 因为0＜A＜π，所以A＝.‎ ‎(2)由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，‎ 所以16＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，‎ 因此bc≤16，‎ 当且仅当b＝c＝4时，等号成立；‎ 因此△ABC的面积S＝bcsin A≤4，‎ 因此△ABC面积的最大值为4.‎ ‎22．(12分)已知平面上的两个向量，满足||＝a，||＝b，且⊥，a2＋b2＝4.向量＝x ＋y(x，y∈R)，且a22＋b22＝1.‎ ‎(1)如果点M为线段AB的中点，求证：＝＋.‎ ‎(2)求||的最大值，并求出此时四边形OAPB面积的最大值．‎ ‎(2)设点M为线段AB的中点，则由⊥，知|M|＝||＝||＝||＝1.‎ 又由(1)及a22＋b22＝1，‎ 得||2＝|－|2‎ ‎＝22＋22‎ ‎＝a22＋b22＝1.‎ 所以||＝||＝||＝||＝||＝1，所以P，O，A，B四点都在以M为圆心，1为半径的圆上．所以当且仅当OP是直径时，||max＝2，这时四边形OAPB为矩形，则S四边形OAPB＝||·||＝ab≤＝2，当且仅当a＝b＝时，四边形OAPB的面积最大，最大值为2.‎