数学理卷·2018届福建省百所重点校高三上学期12月联合考试（2017 10页

福建省百所重点校2018届高三年上学期联合考试 高三数学试卷（理科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设，为虚数单位，且，则（ ）‎ A．-1 B．1 C．-2 D．2‎ ‎2．设集合，，则中整数元素的个数为（ ）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎3．已知向量，，则“”是“与反向”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还升，升，升，1斗为10升，则下列判断正确的是（ ）‎ A．依次成公比为2的等比数列，且 B．依次成公比为2的等比数列，且 C．依次成公比为的等比数列，且 D．依次成公比为的等比数列，且 ‎5．若函数在上递减，则取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．某几何的三视图如图所示，其中每个视图中的四个小正方形的边长都相等，若该几何体的体积为，则该几何体的表面积为（ ）‎ A．36 B．42 C．48 D．64‎ ‎7．定义在上的奇函数的一个零点所在区间为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．设变量满足约束条件，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．在四棱锥中，已知异面直线与所成的角为60°，给出下面三个命题：‎ ‎：若，则此四棱锥的侧面积为；‎ ‎：若分别为的中点，则平面；‎ ‎：若都在球的表面上，则球的表面积是四边形面积的倍．‎ 在下列命题中，为真命题的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．设，定义运算：，则（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎11．设为数列的前项和，，且．记 为数列的前项和，若，，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．1‎ ‎12．当时，恒成立，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．设向量满足，，则 ．‎ ‎14．函数的值域为 ．‎ ‎15．若函数的图象相邻的两个对称中心为，，将的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到的图象，则 ．‎ ‎16．如图，在四棱锥中，底面，，底面为矩形，为线段的中点，，，，与底面所成角为45°，则四棱锥与三棱锥的公共部分的体积为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17．在中，角的对边分别为，已知，．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求．‎ ‎18．设为数列的前项和，，数列满足，．‎ ‎（1）求及；‎ ‎（2）记表示的个位数字，如，求数列的前20项和．‎ ‎19．已知向量，，函数．‎ ‎（1）若，，求；‎ ‎（2）求在上的值域；‎ ‎（3）将的图象向左平移个单位得到的图象，设，判断的图象是否关于直线对称，请说明理由．‎ ‎20．如图，在三棱锥中，，底面，，，，且．‎ ‎（1）若为上一点，且，证明：平面平面．‎ ‎（2）求二面角的余弦值．‎ ‎21．已知函数的图象与轴相切，且切点在轴的正半轴上．‎ ‎（1）求曲线与轴，直线及轴围成图形的面积；‎ ‎（2）若函数在上的极小值不大于，求的取值范围．‎ ‎22．已知函数，．‎ ‎（1）当时，比较与的大小；‎ ‎（2）设，若函数在上的最小值为，求的值．‎ 高三数学试卷参考答案（理科）‎ 一、选择题 ‎1-5：BBCDB 6-10：CCDAB 11、12：AA 二、填空题 ‎13． 14． 15． 16．‎ 三、解答题 ‎17．解：（1）∵，∴，‎ ‎∴．‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，从而．‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴为锐角，，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎18．解：（1）当时，，‎ 由于也满足，则．‎ ‎∵，，∴，‎ ‎∴是首项为3，公差为2的等差数列，∴．‎ ‎（2）∵，∴的前5项依次为1，3，5，7，9．‎ ‎∵，∴的前5项依次为3，5，7，9，1．‎ 易知，数列与的周期均为5，‎ ‎∴的前20项和为 ‎．‎ ‎19．解：（1）∵，‎ ‎∴，．‎ 又，‎ ‎∴或．‎ ‎（2）‎ ‎．‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，‎ 故在上的值域为．‎ ‎（3）∵，‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴的图象关于直线对称．‎ ‎20．（1）证明：由底面，得．‎ 又，，故平面．‎ ‎∵平面，‎ ‎∴平面平面．‎ ‎（2）解：∵，‎ ‎∴，则 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则，，，，‎ ‎，，．‎ 设是平面的法向量，‎ 则，即 令，得 设是平面的法向量，‎ 则，即 令，得．‎ ‎∴，‎ 由图可知，二面角为钝角，故二面角的余弦值为．‎ ‎21．解：（1）∵，∴令得，‎ 由题意可得，解得．‎ 故，．‎ ‎（2），‎ ‎，‎ 当时，无极值；‎ 当，即时，令得；‎ 令得或．‎ ‎∴在处取得极小值，‎ 当，即，在上无极小值，‎ 故当时，在上有极小值 且极小值为，‎ 即．‎ ‎∵，∴，∴．‎ 又，故．‎ ‎22．解：（1），‎ 构造函数，，‎ 当时，，∴在上单调递减．‎ ‎∴，‎ 故当时，，‎ 即，即．‎ ‎（2）由题可得，‎ 则，‎ 由得到，‎ 设，．‎ 当时，；当时，．‎ 从而在上递减，在上递增．‎ ‎∴．‎ 当时，，即 ‎（或，设，证明亦可得到）．‎ 在上，，，递减；‎ 在上，，，递增．‎ ‎∴，‎ ‎∴，解得． ‎