专题03 导数（第02期）-备战2017高考高三数学（文）全国各地一模金卷分项解析版 33页

一、选择题 ‎【2017广东广雅、江西南昌二中联考】若直线：与曲线：没有公共点，则实数的最大值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意得方程 无实数解，所以 或无实数解，令则，所以 时 ； 时 ；因此 ，从而 ，综上实数的取值范围为 ，即实数的最大值为，选C.‎ ‎【点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．‎ ‎【2017内蒙呼和浩特一模】已知定义在上的函数，为其导函数，且恒成立，则（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎【答案】C ‎,所以选C.‎ ‎【点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等 ‎【2017贵州黔东南州模拟】设分别是函数的导数，且满足，.若中，是钝角，则 A. B. C. D. ‎【答案】C ‎.故选C.‎ ‎【点睛】解决本题的关键在于利用联想到导数的运算法则，进而构造函数.‎ ‎【2017陕西咸阳二模】已知定义在上的函数的导函数为，对任意满足，则下列结论正确的是（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】令 ，则，所以 即，选A.‎ ‎【点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等 ‎【2017福建莆田质检】设函数是定义在上的函数的导函数，.当时，，若，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设 在 为减函数， 关于对称， 。选A。‎ ‎【2017河北唐山一模】已知函数，若，，，则（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【点睛】数的大小比较主要考查了函数的单调性，尤其在给定函数的解析式的前提下。本题中函数的解析中含有对数式，一次式，分式，对其单调性的判断主要利用导数的方法来判断。利用导数来判断单调性时要注意函数的定义域。本题的另一个难点是利用函数的解析式将转化为。‎ ‎【2017福建泉州3月质检】函数在处取得最小值，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意得不等式对 恒成立 ，化简得对 恒成立 ，‎ 当时， ；当时， ；‎ 令 ，则 ，所以，综上实数的取值范围是，选C. 学*科网 ‎【点睛】本题实质是研究不等式恒成立时的参数范围问题，一般方法为把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.‎ ‎【2017江西七校联考】已知函数若存在实数k，使得函数的值域为-1，1]，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B 考点：1.分段函数；2.导数的应用；3.函数图像.‎ ‎【点睛】本题考察了分段函数的值域，综合了导数与函数图像的问题，属于综合性较强的难题，分段函数的值域是，那么两段函数的值域是的子集，而且并集是，根据复合函数的单调性可知是减函数，易得，根据导数分析第二段函数的单调性和极值，以及时的值，再结合函数的图像，可得区间需包含2，但不能大于，这样可得的取值范围是.‎ ‎【2017哈师大附中、东北师大附中、辽宁实验联考】已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【点睛】解答本题的关键是能观察和构造出函数，然后运用导数中的求导法则进行求导，进而借助题设条件进行判断其单调性，从而将已知不等式进行等价转化和化归，最后借助函数的单调性使得不等式获解。‎ ‎【2017广东广州一模】设函数，若曲线在点处的切线方程为，则点的坐标为 A. B. C. D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】由题可知 ，则有 ，又切点为可得 ，两式联立解得 ，则点的坐标可为或．故本题答案选．学&科网 ‎【点睛】曲线在点处的切线是指以点为切点的切线，若存在，只有一条，其方程为；而曲线过点的切线，其切点不一定是，且切线也不一定只有一条，此时无论点是否在曲线上，一般解法是先设切点为 ‎，切线方程为，再把点坐标代入切线方程解得，最后把解得的代入切线方程，化简即可求得所求的切线方程．‎ 二、填空题 ‎【2017山东日照一模】函数在处的切线方程是________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，，，即切点为，由点斜式，得处的切线方程为．‎ ‎【2017哈师大附中、东北师大附中、辽宁实验联考】若，，则函数存在极值的概率为__________．‎ ‎【答案】 ‎【点睛】本题将导数中的极值、二次方程的判别式、线性规划、几何概型的计算公式等知识有机地结合在一起，综合考查求导运算能力、转化化归能力、数形结合能力及分析问题解决问题的能力。求解过程中，如何将题设中的条件进行转化和利用是解答本题的关键，也是难点和突破口。‎ ‎【2017广东广雅、江西南昌二中联考】当时，函数的图像不在函数的下方，则实数的取值范围是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得 对恒成立，则 ，令 ，则 ，（易证 ） 即 ‎ ‎【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.‎ 三、解答题 ‎【2017北京海淀区零模】已知函数，．‎ ‎（Ⅰ）求函数在区间上的最小值；‎ ‎（Ⅱ）证明：对任意，，都有成立．‎ ‎【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）见解析.　‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由，当，，单调递增，所以函数在区间上单调递增，在区间上的最小值为．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知（）在时取得最小值，可知．由，可得，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减．‎ 所以函数（）在时取得最大值，又，可知，‎ 所以对任意，，都有成立．‎ 试题解析：（Ⅰ）解：由，可得．‎ 当，，单调递减；‎ 由，可得，‎ 所以当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减．‎ 所以函数（）在时取得最大值，‎ 又，可知，学#科网 所以对任意，，都有成立．　‎ ‎【2017辽宁大连双基测试】已知函数（）．‎ ‎（Ⅰ）若函数在区间上单调递增，求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若函数的图象与直线相切，求的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）．　‎ ‎【解析】（Ⅰ），‎ ‎∵函数在区间上单调递增，∴在上恒成立，‎ ‎∴，‎ 即在上恒成立，‎ ‎∵，取等号条件为当且仅当，‎ ‎∴．‎ ‎（Ⅱ）设切点为，则，，，‎ ‎∴ ① ‎ ‎【2017哈师大附中、东北师大附中、辽宁实验联考】已知函数．‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若存在，使得对任意的，不等式（其中是自然对数的底数）都成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（I）详见解析；（II）.‎ ‎【解析】试题分析：（I）运用求导法则求导，再分类分析探求；（II）先将不等式等价转化，再构造函数分析探求：‎ 试题解析：‎ 解：（Ⅰ）．‎ 令，．‎ ‎①当时，，∴，函数在上单调递增；‎ ‎②当时，，所以，函数在上单调递增；‎ ‎③当时，，‎ 令，得，‎ ‎；．‎ 所以，在和上单调递增，在单调递减．‎ 综上，当时，函数在上单调递增；学&科网 当时，在和上单调递增，在单调递减．‎ ‎（注：如果在每种情况中已说明函数在哪个区间上的单调性，不写综上不扣分；如果每种情况只解出不等式，最后没写综上扣1分）‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，时，函数在区间上单调递增，所以当时，函数的最大值是，对任意的，‎ ‎②当时，令得或，因为，所以.‎ ‎（ⅰ）当时，，当时，；‎ 当时，，∴，‎ 解得 ，∴． ‎ ‎（ⅱ）当时，因为，所以，所以，所以，则 在上单调递增，得，即，∴. ‎ 综上，的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题以含参数的函数解析式为背景，精心设置了两道综合运用导数知识的问题。在求解第一问时，直接运用导数的求导法则与分类整合思想，借助导数与函数的单调性之间的关系求出单调性与其单调区间；第二问的求解过程中先将不等式进行等价转化为“对任意的，不等式都成立”，再构造函数，运用导数的有关知识分析推证，最后求出参数的取值范围。‎ ‎【2017重庆一调】已知函数. ‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的单调性；‎ ‎（Ⅱ）当时，有恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析，（Ⅱ）‎ ‎【解析】试题分析：（1）先求出函数的导数，再分别讨论 的情况；（2）由 ‎ 转化为 ，令 ‎，导数可得，原不等式等价于，可得的值。‎ 解：（Ⅰ）的定义域为， ‎ 又学*科网 又的取值范围为.‎ ‎【2017江西七校联考】已知函数，其中．‎ ‎（1）若曲线与曲线在点处有相同的切线，试讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若，函数在上为增函数，求证：．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1)根据求得 ，再求 ，导数的两个零点分别是和 ，分 三种情况讨论函数的单调区间；（2）首先求函数的导数，，将问题转化为 ，当 ，即 ，当时，将问题转化为恒成立问题，求所设函数的最值，即可求得结果.‎ 试题解析：解：（1）由题意可得， ‎ 则 ，即 ‎∵，∴，即对恒成立，‎ ‎∴，即对恒成立， ‎ 设，， ‎ 则，‎ ‎∴在上递增，‎ ‎∴，∴． ‎ 又，∴．‎ ‎【点睛】讨论函数的单调性是导数这道题比较常见的类型，一般求导后，判断函数的类型，有没有恒成立的类型，求函数的极值点，讨论函数的极值点和定义域的关系，得到不同情况下的单调区间，导数的第二问，对于恒成立的类型也比较常见，可通过参变分离后，将问题转化为最值问题求解.‎ ‎【2017河北唐山一模】已知函数．‎ ‎（1）若曲线与轴相切于原点，求的值；‎ ‎（2）若时，成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由 可解得的值；（2）令 ，则 ，通过讨论的范围求出函数的单调性，从而进一步确定的范围即可。‎ 试题解析：‎ ‎（1），‎ 由得．‎ ‎（2），．学@科网 因为，，所以，故存在，，即不能恒成立，所以不合题意．综上所述，的取值范围是．‎ ‎【2017福建莆田质检】已知函数 ‎（Ⅰ）设函数当 时，讨论零点的个数；‎ ‎（Ⅱ）若过点恰有三条直线与曲线相切，求的取值范围．‎ ‎【答案】(Ⅰ) 当时，有一个零点；当时，有两个零点; （Ⅱ）或.‎ ‎【解析】试题分析：（1）当 时，讨论方程的根的个数有一个；当时，由 得在为减函数，其最大为 ，分三种情况： ，讨论零点个数即可；（2）可设切点为 ，由切线方程 代入即可得关于 的一元二次方程，因为有三条切线，即有三个不同的解，讨论的解的个数，进而求得参数 的取值范围。‎ ‎（Ⅰ）令，解得，得，，‎ 所以是的零点，‎ 又因为，‎ ‎（Ⅱ）设切点 ，‎ 因为，所以切线的斜率为，‎ 切线方程，‎ 又因为切线过点，故 ，‎ 整理得，（*）‎ 又因为曲线恰有三条切线，即方程（*）有三个不同解，‎ 令，得，‎ 由，解得，.‎ ‎（1）当时，在定义域内单调递增，不可能有两个零点，‎ 方程（*）不可能有两个解，不满足题意.‎ ‎(2)当时，‎ ‎（ⅰ）当时，在，上，，‎ 单调递增，在上，，单调递减，‎ 的极大值为，的极小值为，‎ ‎（ⅱ）当时，在上，，‎ 单调递增，在上，单调递减，‎ 的极大值为，的极小值为，‎ 要使方程（*）有三个不同解，则，‎ 即 ，‎ 也即 ‎ ‎，解得或.‎ ‎【2017广东汕头一模】已知函数，，.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）当时，记函数，设是方程的两个根，是的等差中项. 为函数的导函数，求证：.‎ ‎【答案】（1）当时，在上为减函数；当时，在上是增函数；在上是减函数；（2）见解析.‎ 即证.‎ 令,根据函数的单调性即可证明结果.‎ 试题解析：‎ ‎（1）函数的定义域为,‎ 又 ,‎ 当时；在上为减函数；‎ 当时；得：或（舍）.‎ 在上，是增函数；在上，是减函数；‎ ‎（2）∵，∴.‎ 又,学&科网 ‎.‎ 两式相减得：,‎ 令,∴.‎ 当时，，为增函数，‎ ‎∴.‎ ‎∴成立，所以原不等式成立.‎ ‎【点睛】对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值的方法, 一般通过变量分离，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，然后再构造辅助函数，利用恒成立；恒成立，即可求出参数范围.‎ ‎【2017河北张家口期末】已知函数，，曲线在处的切线方程为．‎ ‎（Ⅰ）求的解析式；‎ ‎（Ⅱ）若对，恒有成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）求出导数，利用导数的几何意义，求出 即可求的解析式；（Ⅱ）对，恒有成立，等价于 ，即可求的取值范围．‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）∵，∴，∴．‎ 令，代入切线方程得切点坐标为，代入函数，得．‎ ‎∴．‎ ‎（Ⅱ）∵，令，得或（舍）．‎ 列表得：‎ 极大值 ‎∴．‎ ‎∵，令，则，‎ 列表得：‎ 极小值 ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎【点晴】解决本题的关键是确定两个函数的关系，此题中不等式的变量是无关的，所以在找最值时可以淡化一个，只考虑一个就行,对于，要求任意的都要满足不等式，故转化成求在的最小值满足不等式即可，而对于是要求满足不等式，故转化为满足不等式即可，即得.‎ ‎【2017山东淄博3月模拟】设.‎ ‎（Ⅰ）令，求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）当时，证明：.‎ ‎【答案】（I）详见解析；（II）详见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）求得函数的解析式，求其导数，对参数分为和两种情形进行讨论，得其单调区间；（Ⅱ）要证成立，即证，由（Ⅰ）得，利用导数判断函数的单调性，求出最大值即可.‎ 试题解析：‎ 减区间为.‎ ‎（Ⅱ）只要证明对任意，.‎ 由（Ⅰ）知，在取得最大值，‎ 且.‎ 令，，‎ 则在上单调递增，.‎ 所以当时，即.‎ ‎【2017福建泉州3月质检】函数．‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）当在上单调递增时，证明：对任意且．‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）详见解析 ‎【解析】试题分析：（1）先求函数导数，确定导函数零点，根据两个零点大小关系分类讨论导函数符号变化规律，进而确定函数单调区间，（2）利用导数证明不等式，关键是构造恰当的目标函数，因此先利用分析法探求目标函数：第一步，根据（1）得，第二步，同除以，将二元问题转化为一元（关于），第三步，利用导数研究函数单调性（单调递增），第四步，根据单调性，得不等关系，根据等价性得原不等式成立.‎ 试题分析：解：（1），‎ ‎，‎ 当时，在上单调递增，‎ 当时，在上单调递减，在上单调递增.‎ ‎（2）由（1）知，当在上单调递增时，，故.‎ 不妨设，则要证，‎ 只需证，‎ 即证，‎ 只需证，‎ 令，‎ 则，不等式可化为.‎ 下面证明：对任意，‎ 又，‎ 所以当时，，‎ 故对任意，，‎ 所以对任意且，.‎ ‎【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.‎ ‎【2017甘肃兰州一诊】已知函数，．‎ ‎(Ⅰ)若在上的最大值为，求实数的值．‎ ‎(Ⅱ)若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(Ⅰ)由,得 ,令,得或.由此列表讨论能求出 ‎. (Ⅱ)由,得 .由已知得.由此利用构造法和导数性质能求出.‎ 试题解析：‎ ‎(Ⅰ) ，令，得或．‎ 当时，，函数为减函数；‎ 当时，，函数为增函数；‎ 当时，，函数为减函数；‎ ‎∵， ，∴．‎ 即最大值为， ‎ 所以．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数导数与不等式，恒成立问题.常用的方法有两个：‎ ‎（1）直接讨论找函数的最值，一般难度较大；‎ ‎（2）变量分离：可以转化为 恒成立，构造函数，然后利用导数研究这个函数的单调性、极值和最值，图像与性质，进而求解得结果.‎ ‎【2017陕西咸阳二模】已知函数．‎ ‎（1）当时，求曲线在处的切线方程；‎ ‎（2）求证：当时，．‎ ‎【答案】(1) ;(2)详见解析.‎ ‎【解析】试题分析：(1)根据导数几何意义得斜率为 ，再根据点斜式写出切线方程，(2)实际就是证明，即需证明，构造函数，利用导数求其最小值为，即可得证.‎ 试题解析：（I）解:∵ ∴ 得,切点为,斜率为,所求切，即在上是减函数，在是增函数，，所以,即.综上知, 当时，. ‎ ‎【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.‎ ‎【2017贵州黔东南州模拟】已知函数在处的切线为.‎ ‎(1)求的解析式.‎ ‎(2)若对任意，有成立，求实数的取值范围.‎ ‎(3)证明：对任意成立.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）求导，利用导数的几何意义进行求解；（2）先讨论和两种特殊情况，再对于时，作差构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值；（3）借助（2）的结论，合理构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值进行求解.‎ 试题解析：（1）由得，所以切线为y=ex，…………………2分 由切点为（1，e+b）在切线y=ex上， b=0,所以…………………4分 ‎（2）当时，对于，显然不恒成立…………………5分 当时，显然成立…………………6分 当时，若要恒成立，必有 设则 易知在上单调递减，在上单调递增,则 若恒成立，即，得 综上得………………………………8分 令 令所以在（0，+）递增，‎ 由于 ‎ 所以存在有，则，‎ 即得得 所以 所以成立，即成立 即对任意成立…………………………………12分 ‎【2017山东日照一模】设(e为自然对数的底数)，．‎ ‎(I)记.‎ ‎(i)讨论函数单调性；‎ ‎(ii)证明当时，恒成立 ‎(II)令，设函数G(x)有两个零点，求参数a的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（i）当时， 单调减；当时， 单调增;（ii）见解析;‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）(1)由函数求出它的导函数,根据其导函数的正负,即可得到函数单调区间即可. (2)构造函数,对进行讨论，证明其最小值大于0.‎ ‎（Ⅱ）,,通过对分类讨论研究 令，，‎ ‎， ‎ 所以，又，所以 时，恒成立，即 当时，恒成立． ‎ ‎（Ⅱ）由已知，，‎ ‎．‎ 当时，，有唯一零点； ‎ ‎②当时，，所以 当时，，单调减；‎ 当时，，单调增．‎ 所以，‎ 因，所以当时有唯一零点；‎ 当时，，，所以，‎ 所以，‎ 因为，‎ 所以，，且，当，或时，使，‎ 取，则，从而可知 当时，有唯一零点，‎ 即当时，函数有两个零点． ‎ ‎③当时，，由，得，或．‎ ‎ 若，即时，，所以是单调减函数，至多有一个零点；‎ 若，即时，，注意到，都是增函数，所以 ‎ 若，即时，同理可得 当时，，是单调减函数；‎ 当时，，是单调增函数；‎ 当时，，是单调减函数．‎ 所以，至多有一个零点．‎ 综上，若函数有两个零点，则参数的取值范围是．‎ ‎【2017广东广州一模】已知函数.‎ ‎(Ⅰ) 若函数有零点， 求实数的取值范围;‎ ‎(Ⅱ) 证明: 当时， .‎ ‎【答案】（I）；（II）详见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（I）对函数求导，可得函数单调性，并求得函数的最小值，若函数有零点，函数最小值小于零且在定义域范围有函数值大于零，解不等式可得的范围；(Ⅱ)将代入不等式化简为，可构造函数 利用导数判断单调性可知在 条件下 最小值为 ，最大值为．可证命题．‎ 试题解析：‎ 所以实数的取值范围为. ‎ 法2：函数的定义域为.‎ 由, 得. ‎ 令，则.‎ 当时, ; 当时, .‎ 所以函数在上单调递增, 在上单调递减. ‎ 故时, 函数取得最大值. ‎ 因而函数有零点, 则. ‎ 所以实数的取值范围为. ‎ ‎ (Ⅱ) 要证明当时, ,‎ ‎ 即证明当时, , 即. ‎ ‎ 令, 则.‎ ‎ 当时, . ‎ ‎ 于是, 当时, ② ‎ ‎ 显然, 不等式①、②中的等号不能同时成立. ‎ ‎ 故当时, .‎ ‎【2017内蒙呼和浩特一模】已知函数．‎ ‎（1）求函数的图象在点处的切线方程；‎ ‎（2）当时，求证：；‎ ‎（3）若对任意的恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析；（3）.‎ ‎【解析】试题分析: （1）先由导数几何意义得切线斜率，再根据点斜式求切线方程，（2）构造差函数：，再利用导数求其最小值，即得证，（3）先变量分离，将不等式恒成立问题转化为求对应函数最值问题：，其中，再利用导数求其最小值，可得实数的取值范围．‎ 试题解析:（1），，‎ ‎∴，‎ 又切点坐标为，故所求切线方程为 ‎（2）令，‎ 令，得，‎ ‎∴当时，，单调递减；‎ 当时， ，单调递增 ‎∴，从而.‎ ‎（3）对任意的恒成立对任意的恒成立 点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.‎ ‎【2017广东广雅、江西南昌二中联考】已知函数（）．‎ ‎（Ⅰ）若曲线上点处的切线过点，求函数的单调减区间；‎ ‎（Ⅱ）若函数在上无零点，求的最小值．　‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由导数几何意义得切线斜率，再由点斜式得切线方程，代入点可解得，再根据函数导函数小于零，解得单调减区间；（Ⅱ）先由题意得，恒成立，再变量分离转化为对应函数最值：‎ 的最大值，最后利用导数求函数，最大值，经过二次求导可得在区间内为增函数，，因此.‎ 试题解析：（Ⅰ）因为，所以，‎ 所以，又，所以，得，‎ 由，得，所以函数的单调减区间为．‎ ‎∴．‎ 于是在区间内为增函数，所以，‎ 所以要使恒成立，只要．‎ 综上，若函数在区间内无零点，则实数的最小值为．‎ 点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.‎ ‎【2017湖北黄冈3月质检】已知函数，.‎ ‎（1）试判断函数的零点个数；‎ ‎（2）若函数在上为增函数，求整数的最大值.‎ ‎（可能要用的数据：，；）‎ ‎【答案】（Ⅰ）函数在上有唯一零点（Ⅱ）6.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）求其导数判断函数在上为增函数，，，则函数在上有唯一零点；（Ⅱ）函数单调递增等价于恒成立 的最小值，利用导数求其最值.‎ ‎，的最小值，‎ 由（Ⅰ）可知：在上为增函数，故在上有唯一零点，‎ ‎，，‎ 则，，‎ 则在为减函数，在为增函数，‎ 故时，有最小值.‎ 令，则最小值有，‎ 因，则的最小值大约在之间，故整数的最大值为6.‎