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- 2021-06-17 发布
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课时跟踪检测(五十一) 抛物线
[A级 基础题——基稳才能楼高]
1.(2019·石家庄模拟)抛物线y=2x2的准线方程是( )
A.x= B.x=-
C.y= D.y=-
解析:选D 抛物线y=2x2的标准方程为x2=y,其准线方程为y=-.
2.已知抛物线C与双曲线x2-y2=1有相同的焦点,且顶点在原点,则抛物线C的方程是( )
A.y2=±2x B.y2=±2x
C.y2=±4x D.y2=±4x
解析:选D 由题意知双曲线的焦点为(-,0),(,0).设抛物线C的方程为y2=±2px(p>0),则=,所以p=2,所以抛物线C的方程为y2=±4x.故选D.
3.(2019·齐齐哈尔一模)若抛物线x2=4y上的点P(m,n)到其焦点的距离为5,则n=( )
A. B.
C.3 D.4
解析: 选D 抛物线x2=4y的准线方程为y=-1,根据抛物线的定义可知,5=n+1,得n=4,故选D.
4.(2019·衡水金卷高三联考)抛物线有如下光学性质:由焦点发出的光线,经抛物线上的一点反射后,反射光线平行于抛物线的对称轴;反之,平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线上的一点反射后,必经过抛物线的焦点.已知抛物线y2=4x的焦点为F,一平行于x轴的光线从点M(3,1)射入,经过抛物线上的点A反射后,再经抛物线上的另一点B射出,则直线AB的斜率为( )
A. B.-
C.± D.-
解析:选B 将y=1代入y2=4x可得x=,即A.由题可知,直线AB经过焦点F(1,0),所以直线AB的斜率k==-,故选B.
5.(2019·珠海模拟)已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,点P为抛物线上一点,且在第一象限,PA⊥l,垂足为A,|PF|=4,则直线AF的倾斜角等于( )
A. B.
C. D.
解析:选B 由抛物线y2=4x知焦点F的坐标为(1,0),准线l的方程为x=-1,由抛物线定义可知|PA|=|PF|=4,所以点P的坐标为(3,2),因此点A的坐标为(-1,2),所以kAF==-,所以直线AF的倾斜角等于,故选B.
6.(2019·江苏高邮模拟)抛物线y2=x的焦点坐标是________.
解析:由于抛物线y2=2px的焦点坐标为,因此抛物线y2=x的焦点坐标为.
答案:
[B级 保分题——准做快做达标]
1.(2019·武汉调研)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,且斜率为的直线交C于点M(M在x轴上方),l为C的准线,点N在l上且MN⊥l,若|NF|=4,则M到直线NF的距离为( )
A. B.2
C.3 D.2
解析:选B ∵直线MF的斜率为,MN⊥l,∴∠NMF=60°,又|MF|=|MN|,且|NF|=4,∴△NMF是边长为4的等边三角形,∴M到直线NF的距离为2.故选B.
2.(2019·长沙质检)设经过抛物线C的焦点的直线l与抛物线C交于A,B两点,那么抛物线C的准线与以AB为直径的圆的位置关系为( )
A.相离 B.相切
C.相交但不经过圆心 D.相交且经过圆心
解析:选B 设圆心为M,过点A,B,M分别作准线 l的垂线,垂足分别为A1,B1,M1,则|MM1|=(|AA1|+|BB1|).由抛物线定义可知|BF|=|BB1|,|AF|=|AA1|,∴|AB|=|BB1|+|AA1|,|MM1|=|AB|,即圆心M到准线l的距离等于圆的半径,故以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切.
3.(2019·河南中原名校质检)已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线与x轴的交点为M,N为抛物线上的一点,且满足|NF|=|MN|,则点F到MN的距离为( )
A. B.1
C. D.2
解析:选B 由题可知|MF|=2,设点N到准线的距离为d,由抛物线的定义可得d=|NF|,因为|NF|=|MN|,所以cos∠NMF===,所以sin∠NMF==,所以点F到MN的距离为|MF|sin∠NMF=2×=1,故选B.
4.(2019·辽宁五校协作体模考)抛物线x2=4y的焦点为F,过点F作斜率为的直线l与抛物线在y轴右侧的部分相交于点A,过点A作抛物线准线的垂线,垂足为H,则△AHF的面积是( )
A.4 B.3
C.4 D.8
解析:选C 由抛物线的定义可得|AF|=|AH|,∵直线AF的斜率为,∴直线AF的倾斜角为30°,∵AH垂直于准线,∴∠FAH= 60°,故△AHF为等边三角形.设A,m>0,由|AF|=|AH|,得-1=·,解得m=2,故等边△AHF的边长|AH|=4,∴△AHF的面积是×4×4sin 60°=4.故选C.
5.(2019·邯郸质检)已知抛物线y2=2px(p>0)过点A,其准线与x轴交于点B,直线AB与抛物线的另一个交点为M,若=λ,则实数λ为( )
A. B.
C.2 D.3
解析:选C 把点A代入抛物线的方程得2=2p×,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x,则B(-1,0),设M,则=,=,由
eq o(MB,sup7(―→))=λ,得解得λ=2或λ=1(舍去),故选C.
6.(2019·辽宁葫芦岛期中)已知直线l:x-y-a=0与抛物线x2=4y交于P,Q两点,过P,Q分别作l的垂线与y轴交于M,N两点,若|MN|=,则a=( )
A.-1 B.1
C.-2 D.2
解析:选D ∵直线l的方程为x-y-a=0,∴直线l的倾斜角为60°,∵直线l与抛物线x2=4y交于P,Q两点,过P,Q分别作l的垂线与y轴交于M,N两点,且|MN|=,∴|PQ|=sin 60°=8.设P(x1,y1),Q(x2,y2),联立方程,得得x2-4x+4a=0,由Δ>0得a<3,∴x1+x2=4,x1x2=4a,∴|PQ|=·=8,即48-16a=16,∴a=2,故选D.
7.(2019·华大新高考质检)已知抛物线C:y2=4x,点D(2,0),E(4,0),M是抛物线C上异于原点O的动点,连接ME并延长交抛物线C于点N,连接MD,ND并分别延长交抛物线C 于点P,Q,连接PQ,若直线MN,PQ的斜率存在且分别为k1,k2,则=( )
A.4 B.3
C.2 D.1
解析:选C 设M(x1,y1),N(x2,y2),P(x3,y3),Q(x4,y4),则直线MD的方程为x=y+2,代入抛物线C:y2=4x,整理得y2-y-8=0,所以y1y3=-8,即y3=-,从而x3=,故P,同理可得Q,因为M,E,N三点共线,所以=,得y1y2=-16,所以k2==,k1===,所以=2.故选C.
8.(2019·辽宁五校联考)抛物线C:y2=4x的焦点为F,N为准线l上一点,M为y轴上一点,∠MNF为直角,若线段MF的中点E在抛物线C上,则△MNF的面积为( )
A. B.
C. D.3
解析:选C 如图所示,不妨设点N在第二象限,连接EN,易知F(1,0),因为∠MNF为直角,点E为线段MF的中点,所以|EM|=|EF|=|EN|,又E在抛物线C上,所以EN⊥l,E,所以N(-1,),M(0,2),所以|NF|=,|NM|=,所以△MNF的面积为,故选C.
9.(2019·河南百校联考)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在抛物线C上,且|MO|=|MF|=(O为坐标原点),则·=( )
A.- B.
C. D.-
解析:选A 不妨设M(m,)(m>0),易知抛物线C的焦点F的坐标为,因为|MO|=|MF|=,所以解得m=,p=2,所以=,=,所以·=-2=-.故选A.
10.(2019·石家庄毕业班摸底)若抛物线y2=4x上有一条长度为10的动弦AB,则AB的中点到y轴的最短距离为________.
解析:设抛物线的焦点为F,准线为l:x=-1,弦AB的中点为M,则点M到准线l的距离d=≥,所以点M到准线l的距离的最小值为5,所以点M到y轴的最短距离为5-1=4.
答案:4
11.(2018·北京高考)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴,若l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4,则抛物线的焦点坐标为________.
解析:由题知直线l的方程为x=1,则直线与抛物线的交点为(1,±2)(a>0).又直线被抛物线截得的线段长为4,所以4=4,即a=1.所以抛物线的焦点坐标为(1,0).
答案:(1,0)
12.(2019·广州海珠区一模)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F与双曲线-y2=1的右焦点重合,若A为抛物线在第一象限上的一点,且|AF|=3,则直线AF的斜率为________.
解析:∵双曲线-y2=1的右焦点为(2,0),∴抛物线方程为y2=8x,∵|AF|=3,∴xA+2=3,得xA=1,代入抛物线方程可得yA=±2.∵点A在第一象限,∴A(1,2),∴直线AF的斜率为=-2.
答案:-2
13.(2019·唐山五校摸底)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作直线交抛物线于A,B两点,若|AF|=2|BF|=6,则p=________.
解析:法一:设直线AB的倾斜角为α,分别过A,B作准线l的垂线AA′,BB′,垂足分别为A′,B′,则|AA′|=6,|BB′|=3,过点B作AA′的垂线BC,垂足为C,则|AC|=3,|BC|=6,∠BAC=α,所以sin α==,所以|AB|==9,解得p=4.
法二:设直线AB的倾斜角为α,不妨设A在x轴上方,B在x轴下方,则|AF|=,|BF|=,则有=2×,解得cos α=,又|AF|==6,所以p=4.
法三:由结论+=,得+=,解得p=4.
答案:4
14.(2019·武汉调研)已知抛物线C:x2=2py(p>0)和定点M(0,1),设过点M的动直线交抛物线C于A,B两点,抛物线C在A,B处的切线的交点为N.
(1)若N在以AB为直径的圆上,求p的值;
(2)若△ABN的面积的最小值为4,求抛物线C的方程.
解:由题意知,直线AB的斜率一定存在,∴设直线AB:y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),
将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x2-2pkx-2p=0,则x1+x2=2pk,x1x2=-2p.①
(1)由x2=2py得y′=,则A,B处的切线斜率的乘积为=-,
∵点N在以AB为直径的圆上,
∴AN⊥BN,∴-=-1,∴p=2.
(2)易得直线AN:y-y1=(x-x1),直线BN:y-y2=(x-x2),
联立,得结合①式,解得即N(pk,-1).
|AB|=|x2-x1|==,
点N到直线AB的距离d==,
则S△ABN=·|AB|·d=≥2,当k=0时,取等号,
∵△ABN的面积的最小值为4,
∴2=4,∴p=2,故抛物线C的方程为x2=4y.
15.(2019·贵阳摸底)过抛物线C:y2=4x的焦点F且斜率为k的直线l交抛物线C于A,B两点,且|AB|=8.
(1)求直线l的方程;
(2)若A关于x轴的对称点为D,抛物线的准线与x轴的交点为E,求证:B,D,E三点共线.
解:(1)F的坐标为(1,0),则l的方程为y=k(x-1),代入抛物线方程y2=4x得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
由题意知k≠0,且[-(2k2+4)]2-4k2·k2=16(k2+1)>0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),∴x1+x2=,x1x2=1,
由抛物线的定义知|AB|=x1+x2+2=8,
∴=6,∴k2=1,即k=±1,
∴直线l的方程为y=±(x-1).
(2)证明:由抛物线的对称性知,D点的坐标为(x1,-y1),
又E(-1,0),
∴kEB-kED=-=,
y2(x1+1)+y1(x2+1)=y2+y1
=(y1+y2)+(y1+y2)=(y1+y2).
由(1)知x1x2=1,∴(y1y2)2=16x1x2=16,
又y1与y2异号,
∴y1y2=-4,即+1=0,∴kEB=kED,
又ED与EB有公共点E,∴B,D,E三点共线.