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  • 2021-06-17 发布

2016届高考数学(理)大一轮复习达标训练试题:课时跟踪检测(三十二) 等比数列及其前n项和

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课时跟踪检测(三十二) 等比数列及其前n项和 ‎(分A、B卷,共2页)‎ A卷:夯基保分 一、选择题 ‎1.(2014·重庆高考)对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是(  )‎ A.a1,a3,a9成等比数列    B.a2,a3,a6成等比数列 C.a2,a4,a8成等比数列 D.a3,a6,a9成等比数列 ‎2.(2015·昆明、玉溪统考)等比数列{an}中,a1=1,q=2,则Tn=++…+的结果可化为(  )‎ A.1- B.1- C. D. ‎3.若正项数列{an}满足lg an+1=1+lg an,且a2 001+a2 002+a2 003+…+a2 010=2 014,则a2 011+a2 012+a2 013+…+a2 020的值为(  )‎ A.2 014×1010 B.2 014×1011‎ C.2 015×1010 D.2 015×1011‎ ‎4.(2015·山西四校联考)等比数列{an}满足an>0,n∈N*,且a3·a2n-3=22n(n≥2),则当n≥1时,log‎2a1+log‎2a2+…+log‎2a2n-1=(  )‎ A.n(2n-1) B.(n+1)2‎ C.n2 D.(n-1)2‎ ‎5.已知Sn是等比数列{an}的前n项和,若存在m∈N*,满足=9,=,则数列{an}的公比为(  )‎ A.-2 B.2‎ C.-3 D.3‎ ‎6.设{an}是各项为正数的无穷数列,Ai是边长为ai,ai+1的矩形的面积(i=1,2,…),则{An}为等比数列的充要条件是(  )‎ A.{an}是等比数列 B.a1,a3,…,a2n-1,…或a2,a4,…,a2n,…是等比数列 C.a1,a3,…,a2n-1,…和a2,a4,…,a2n,…均是等比数列 D.a1,a3,…,a2n-1,…和a2,a4,…,a2n,…均是等比数列,且公比相同 二、填空题 ‎7.(2014·安徽高考)数列{an}是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q=________.‎ ‎8.(2015·兰州模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=m·2n-1-3,则m=________.‎ ‎9.(2015·兰州、张掖联考)已知数列{an}的首项为1,数列{bn}为等比数列且bn=,若b10·b11=2,则a21=________.‎ ‎10.若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积,则称该数列为“m积数列”.若各项均为正数的等比数列{an}是一个“2 014积数列”,且a1>1,则当其前n项的乘积取最大值时n的值为________.‎ 三、解答题 ‎11.设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且数列{Sn}是以2为公比的等比数列.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)求a1+a3+…+a2n+1.‎ ‎12.(2014·重庆高考)已知{an}是首项为1,公差为2的等差数列,Sn表示{an}的前n项和.‎ ‎(1)求an及Sn;‎ ‎(2)设{bn}是首项为2的等比数列,公比q满足q2-(a4+1)q+S4=0,求{bn}的通项公式及其前n项和Tn.‎ B卷:增分提能 ‎1.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S1,2S2,3S3成等差数列,且S4=.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)求数列{an}的前n项和Sn.‎ ‎2.(2015·宝鸡模拟)已知数列{an}满足a1=5,a2=5,an+1=an+6an-1(n≥2).‎ ‎(1)求证:{an+1+2an}是等比数列;‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式.‎ ‎3.已知等差数列{an}的前n项的和为Sn,等比数列{bn}的各项均为正数,公比是q,且满足:a1=3,b1=1,b2+S2=12,S2=b2q.‎ ‎(1)求an与bn;‎ ‎(2)设cn=3bn-λ·2,若数列{cn}是递增数列,求λ的取值范围.‎ 答案 A卷:夯基保分 ‎1.选D 由等比数列的性质得,a3·a9=a≠0,因此a3,a6,a9一定成等比数列,选D.‎ ‎2.选C 依题意,an=2n-1,===×,所以Tn== ‎.‎ ‎3.选A 由条件知lg an+1-lg an=lg =1,即=10,所以{an}是公比为10的等比数列.因为(a2 001+…+a2 010)·q10=a2 011+…+a2 020,所以a2 011+…+a2 020=2 014×1010,选A.‎ ‎4.选A 由等比数列的性质,得a3·a2n-3=a=22n,从而得an=2n.‎ 法一:log‎2a1+log‎2a2+…+log‎2a2n-1=log2[(a‎1a2n-1)·(a‎2a2n-2)·…·(an-1an+1)an]=log22n(2n-1)=n(2n-1).‎ 法二:取n=1,log‎2a1=log22=1,而(1+1)2=4,(1-1)2=0,排除B,D;取n=2,log‎2a1+log‎2a2+log‎2a3=log22+log24+log28=6,而22=4,排除C,选A.‎ ‎5.选B 设公比为q,若q=1,则=2,与题中条件矛盾,故q≠1.∵==qm+1=9,∴qm=8.‎ ‎∴==qm=8=,∴m=3,∴q3=8,‎ ‎∴q=2.‎ ‎6.选D ∵Ai=aiai+1,若{An}为等比数列,则==为常数,即=,=,….∴a1,a3,a5,…,a2n-1,…和a2,a4,…,a2n,…成等比数列,且公比相等.反之,若奇数项和偶数项分别成等比数列,且公比相等,设为q,则==q,从而{An}为等比数列.‎ ‎7.解析:法一:因为数列{an}是等差数列,所以a1+1,a3+3,a5+5也成等差数列,又a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,所以a1+1,a3+3,a5+5是常数列,故q=1.‎ 法二:因为数列{an}是等差数列,所以可设a1=t-d,a3=t,a5=t+d,故由已知得(t+3)2=(t-d+1)(t+d+5),得d2+4d+4=0,即d=-2,所以a3+3=a1+1,即q=1.‎ 答案:1‎ ‎8.解析:a1=S1=m-3,‎ 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=m·2n-2,‎ ‎∴a2=m,a3=‎2m,又a=a‎1a3,‎ ‎∴m2=(m-3)·‎2m,整理得m2-‎6m=0,‎ 则m=6或m=0(舍去).‎ 答案:6‎ ‎9.解析:∵b1==a2,b2=,∴a3=b‎2a2=b1b2,‎ ‎∵b3=,∴a4=b1b2b3,…,an=b1b2b3·…·bn-1,‎ ‎∴a21=b1b2b3·…·b20=(b10b11)10=210=1 024.‎ 答案:1 024‎ ‎10.解析:由题可知a‎1a2a3·…·a2 014=a2 014,‎ 故a‎1a2a3·…·a2 013=1,‎ 由于{an}是各项均为正数的等比数列且a1>1,‎ 所以a1 007=1,公比0<q<1,‎ 所以a1 006>1且0<a1 008<1,故当数列{an}的前n项的乘积取最大值时n的值为1 006或1 007.‎ 答案:1 006或1 007‎ ‎11.解:(1)∵S1=a1=1,‎ 且数列{Sn}是以2为公比的等比数列,‎ ‎∴Sn=2n-1,‎ 又当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-2(2-1)=2n-2.‎ 当n=1时a1=1,不适合上式.‎ ‎∴an= ‎(2)a3,a5,…,a2n+1是以2为首项,以4为公比的等比数列,‎ ‎∴a3+a5+…+a2n+1==.‎ ‎∴a1+a3+…+a2n+1=1+=.‎ ‎12.解:(1)因为{an}是首项a1=1,公差d=2的等差数列,所以an=a1+(n-1)d=2n-1.‎ 故Sn===n2.‎ ‎(2)由(1)得a4=7,S4=16.‎ 因为q2-(a4+1)q+S4=0,即q2-8q+16=0,‎ 所以(q-4)2=0,从而q=4.‎ 又因b1=2,{bn}是公比q=4的等比数列,所以 bn=b1qn-1=2·4n-1=22n-1.‎ 从而{bn}的前n项和Tn==(4n-1).‎ B卷:增分提能 ‎1.解:(1)设等比数列{an}的公比为q.‎ ‎∵S1,2S2,3S3成等差数列,‎ ‎∴4S2=S1+3S3.‎ 即4(a1+a2)=a1+3(a1+a2+a3),‎ ‎∴a2=‎3a3,∴q==.‎ 又S4=,即=,‎ 解得a1=1,∴an=n-1.‎ ‎(2)由(1)得Sn===.‎ ‎2.解:(1)证明:∵an+1=an+6an-1(n≥2),‎ ‎∴an+1+2an=3an+6an-1=3(an+2an-1)(n≥2).‎ 又a1=5,a2=5,‎ ‎∴a2+‎2a1=15,‎ ‎∴an+2an-1≠0(n≥2),‎ ‎∴=3(n≥2),‎ ‎∴数列{an+1+2an}是以15为首项,3为公比的等比数列.‎ ‎(2)由(1)得an+1+2an=15×3n-1=5×3n,‎ 则an+1=-2an+5×3n,‎ ‎∴an+1-3n+1=-2(an-3n).‎ 又∵a1-3=2,∴an-3n≠0,‎ ‎∴{an-3n}是以2为首项,-2为公比的等比数列.‎ ‎∴an-3n=2×(-2)n-1,‎ 即an=2×(-2)n-1+3n(n∈N*).‎ ‎3.解:(1)由已知可得 所以q2+q-12=0,‎ 解得q=3或q=-4(舍),从而a2=6,‎ 所以an=3n,bn=3n-1.‎ ‎(2)由(1)知,cn=3bn-λ·2=3n-λ·2n.‎ 由题意,cn+1>cn对任意的n∈N*恒成立,‎ 即3n+1-λ·2n+1>3n-λ·2n恒成立,‎ 亦即λ·2n<2·3n恒成立,即λ<2·n恒成立.‎ 由于函数y=n是增函数,‎ 所以min=2×=3,‎ 故λ<3,即λ的取值范围为(-∞,3).‎

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