2016届高考数学（理）大一轮复习达标训练试题：课时跟踪检测(三十二)　等比数列及其前n项和 8页

课时跟踪检测(三十二)　等比数列及其前n项和 ‎(分A、B卷，共2页)‎ A卷：夯基保分 一、选择题 ‎1．(2014·重庆高考)对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是(　　)‎ A．a1，a3，a9成等比数列　　　 B．a2，a3，a6成等比数列 C．a2，a4，a8成等比数列 D．a3，a6，a9成等比数列 ‎2．(2015·昆明、玉溪统考)等比数列{an}中，a1＝1，q＝2，则Tn＝＋＋…＋的结果可化为(　　)‎ A．1－ B．1－ C． D． ‎3．若正项数列{an}满足lg an＋1＝1＋lg an，且a2 001＋a2 002＋a2 003＋…＋a2 010＝2 014，则a2 011＋a2 012＋a2 013＋…＋a2 020的值为(　　)‎ A．2 014×1010 B．2 014×1011‎ C．2 015×1010 D．2 015×1011‎ ‎4．(2015·山西四校联考)等比数列{an}满足an＞0，n∈N*，且a3·a2n－3＝22n(n≥2)，则当n≥1时，log‎2a1＋log‎2a2＋…＋log‎2a2n－1＝(　　)‎ A．n(2n－1) B．(n＋1)2‎ C．n2 D．(n－1)2‎ ‎5．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在m∈N*，满足＝9，＝，则数列{an}的公比为(　　)‎ A．－2 B．2‎ C．－3 D．3‎ ‎6．设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai＋1的矩形的面积(i＝1,2，…)，则{An}为等比数列的充要条件是(　　)‎ A．{an}是等比数列 B．a1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列 C．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列 D．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同 二、填空题 ‎7．(2014·安徽高考)数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝________.‎ ‎8．(2015·兰州模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝m·2n－1－3，则m＝________.‎ ‎9．(2015·兰州、张掖联考)已知数列{an}的首项为1，数列{bn}为等比数列且bn＝，若b10·b11＝2，则a21＝________.‎ ‎10．若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积，则称该数列为“m积数列”．若各项均为正数的等比数列{an}是一个“2 014积数列”，且a1＞1，则当其前n项的乘积取最大值时n的值为________．‎ 三、解答题 ‎11．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)求a1＋a3＋…＋a2n＋1.‎ ‎12．(2014·重庆高考)已知{an}是首项为1，公差为2的等差数列，Sn表示{an}的前n项和．‎ ‎(1)求an及Sn；‎ ‎(2)设{bn}是首项为2的等比数列，公比q满足q2－(a4＋1)q＋S4＝0，求{bn}的通项公式及其前n项和Tn.‎ B卷：增分提能 ‎1．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S1,2S2,3S3成等差数列，且S4＝.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)求数列{an}的前n项和Sn.‎ ‎2．(2015·宝鸡模拟)已知数列{an}满足a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an－1(n≥2)．‎ ‎(1)求证：{an＋1＋2an}是等比数列；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式．‎ ‎3．已知等差数列{an}的前n项的和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，公比是q，且满足：a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝12，S2＝b2q.‎ ‎(1)求an与bn；‎ ‎(2)设cn＝3bn－λ·2，若数列{cn}是递增数列，求λ的取值范围．‎ 答案 A卷：夯基保分 ‎1．选D　由等比数列的性质得，a3·a9＝a≠0，因此a3，a6，a9一定成等比数列，选D.‎ ‎2．选C　依题意，an＝2n－1，＝＝＝×，所以Tn＝＝ ‎.‎ ‎3．选A　由条件知lg an＋1－lg an＝lg ＝1，即＝10，所以{an}是公比为10的等比数列．因为(a2 001＋…＋a2 010)·q10＝a2 011＋…＋a2 020，所以a2 011＋…＋a2 020＝2 014×1010，选A.‎ ‎4．选A　由等比数列的性质，得a3·a2n－3＝a＝22n，从而得an＝2n.‎ 法一：log‎2a1＋log‎2a2＋…＋log‎2a2n－1＝log2[(a‎1a2n－1)·(a‎2a2n－2)·…·(an－1an＋1)an]＝log22n(2n－1)＝n(2n－1)．‎ 法二：取n＝1，log‎2a1＝log22＝1，而(1＋1)2＝4，(1－1)2＝0，排除B，D；取n＝2，log‎2a1＋log‎2a2＋log‎2a3＝log22＋log24＋log28＝6，而22＝4，排除C，选A.‎ ‎5．选B　设公比为q，若q＝1，则＝2，与题中条件矛盾，故q≠1.∵＝＝qm＋1＝9，∴qm＝8.‎ ‎∴＝＝qm＝8＝，∴m＝3，∴q3＝8，‎ ‎∴q＝2.‎ ‎6．选D　∵Ai＝aiai＋1，若{An}为等比数列，则＝＝为常数，即＝，＝，….∴a1，a3，a5，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…成等比数列，且公比相等．反之，若奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相等，设为q，则＝＝q，从而{An}为等比数列．‎ ‎7．解析：法一：因为数列{an}是等差数列，所以a1＋1，a3＋3，a5＋5也成等差数列，又a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，所以a1＋1，a3＋3，a5＋5是常数列，故q＝1.‎ 法二：因为数列{an}是等差数列，所以可设a1＝t－d，a3＝t，a5＝t＋d，故由已知得(t＋3)2＝(t－d＋1)(t＋d＋5)，得d2＋4d＋4＝0，即d＝－2，所以a3＋3＝a1＋1，即q＝1.‎ 答案：1‎ ‎8．解析：a1＝S1＝m－3，‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝m·2n－2，‎ ‎∴a2＝m，a3＝‎2m，又a＝a‎1a3，‎ ‎∴m2＝(m－3)·‎2m，整理得m2－‎6m＝0，‎ 则m＝6或m＝0(舍去)．‎ 答案：6‎ ‎9．解析：∵b1＝＝a2，b2＝，∴a3＝b‎2a2＝b1b2，‎ ‎∵b3＝，∴a4＝b1b2b3，…，an＝b1b2b3·…·bn－1，‎ ‎∴a21＝b1b2b3·…·b20＝(b10b11)10＝210＝1 024.‎ 答案：1 024‎ ‎10．解析：由题可知a‎1a2a3·…·a2 014＝a2 014，‎ 故a‎1a2a3·…·a2 013＝1，‎ 由于{an}是各项均为正数的等比数列且a1＞1，‎ 所以a1 007＝1，公比0＜q＜1，‎ 所以a1 006＞1且0＜a1 008＜1，故当数列{an}的前n项的乘积取最大值时n的值为1 006或1 007.‎ 答案：1 006或1 007‎ ‎11．解：(1)∵S1＝a1＝1，‎ 且数列{Sn}是以2为公比的等比数列，‎ ‎∴Sn＝2n－1，‎ 又当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2(2－1)＝2n－2.‎ 当n＝1时a1＝1，不适合上式．‎ ‎∴an＝ ‎(2)a3，a5，…，a2n＋1是以2为首项，以4为公比的等比数列，‎ ‎∴a3＋a5＋…＋a2n＋1＝＝.‎ ‎∴a1＋a3＋…＋a2n＋1＝1＋＝.‎ ‎12．解：(1)因为{an}是首项a1＝1，公差d＝2的等差数列，所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.‎ 故Sn＝＝＝n2.‎ ‎(2)由(1)得a4＝7，S4＝16.‎ 因为q2－(a4＋1)q＋S4＝0，即q2－8q＋16＝0，‎ 所以(q－4)2＝0，从而q＝4.‎ 又因b1＝2，{bn}是公比q＝4的等比数列，所以 bn＝b1qn－1＝2·4n－1＝22n－1.‎ 从而{bn}的前n项和Tn＝＝(4n－1)．‎ B卷：增分提能 ‎1．解：(1)设等比数列{an}的公比为q.‎ ‎∵S1,2S2,3S3成等差数列，‎ ‎∴4S2＝S1＋3S3.‎ 即4(a1＋a2)＝a1＋3(a1＋a2＋a3)，‎ ‎∴a2＝‎3a3，∴q＝＝.‎ 又S4＝，即＝，‎ 解得a1＝1，∴an＝n－1.‎ ‎(2)由(1)得Sn＝＝＝.‎ ‎2．解：(1)证明：∵an＋1＝an＋6an－1(n≥2)，‎ ‎∴an＋1＋2an＝3an＋6an－1＝3(an＋2an－1)(n≥2)．‎ 又a1＝5，a2＝5，‎ ‎∴a2＋‎2a1＝15，‎ ‎∴an＋2an－1≠0(n≥2)，‎ ‎∴＝3(n≥2)，‎ ‎∴数列{an＋1＋2an}是以15为首项，3为公比的等比数列．‎ ‎(2)由(1)得an＋1＋2an＝15×3n－1＝5×3n，‎ 则an＋1＝－2an＋5×3n，‎ ‎∴an＋1－3n＋1＝－2(an－3n)．‎ 又∵a1－3＝2，∴an－3n≠0，‎ ‎∴{an－3n}是以2为首项，－2为公比的等比数列．‎ ‎∴an－3n＝2×(－2)n－1，‎ 即an＝2×(－2)n－1＋3n(n∈N*)．‎ ‎3．解：(1)由已知可得 所以q2＋q－12＝0，‎ 解得q＝3或q＝－4(舍)，从而a2＝6，‎ 所以an＝3n，bn＝3n－1.‎ ‎(2)由(1)知，cn＝3bn－λ·2＝3n－λ·2n.‎ 由题意，cn＋1＞cn对任意的n∈N*恒成立，‎ 即3n＋1－λ·2n＋1＞3n－λ·2n恒成立，‎ 亦即λ·2n＜2·3n恒成立，即λ＜2·n恒成立．‎ 由于函数y＝n是增函数，‎ 所以min＝2×＝3，‎ 故λ＜3，即λ的取值范围为(－∞，3)．‎