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- 2021-06-17 发布
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第34练 平面向量的线性运算及坐标表示
[基础保分练]
1.下列说法正确的是( )
A.若|a|>|b|,则a>b
B.若|a|=|b|,则a=b
C.若a=b,则a∥b
D.若a≠b,则a与b不是共线向量
2.(2019·金丽衢十二校联考)向量e1=(1,2),e2=(3,4)且x,y∈R,xe1+ye2=(5,6),则x-y等于( )
A.3B.-3C.1D.-1
3.(2019·杭州二中模拟)已知向量a=(m,2),b=(3,-6),若|a+b|=|a-b|,则实数m的值是( )
A.-4B.-1C.1D.4
4.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2),若表示向量4a,4b-2c,2(a-c),d的有向线段首尾相连能构成四边形,则向量d等于( )
A.(2,6) B.(-2,6)
C.(2,-6) D.(-2,-6)
5.已知向量a=(1,1),b=(2,x),若a∥(a-b),则实数x的值为( )
A.-2B.0C.1D.2
6.(2019·湖州模拟)在△ABC中,点D在边AB上,且=,设=a,=b,则等于( )
A.a+b B.a+b
C.a+b D.a+b
7.在△OAB中,若点C满足=2,=λ+μ,则+等于( )
A.B.C.D.
8.如图所示,在正方形ABCD中,E为BC的中点,F为AE的中点,则等于( )
A.-+
B.+
C.-
D.-
9.已知a,b是两个不共线的非零向量,且a与b起点相同.若a,tb,(a+b)三向量的终点在同一直线上,则t=________.
10.已知向量a=(2,1),b=(x,y),若x∈{-1,0,1,2},y∈{-1,0,1},则向量a∥b的概率为________.
[能力提升练]
1.如图,已知△ABC与△AMN有一个公共顶点A,且MN与BC的交点O平分BC,若=m,=n,则+的最小值为( )
A.4 B.
C.+ D.6
2.如图,O在△ABC的内部,D为AB的中点,且++2=0,则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为( )
A.3B.4C.5D.6
3.(2019·绍兴一中模拟)如图,在△ABC中,N为线段AC上靠近点A的三等分点,点P在线段BN上且=+,则实数m的值为( )
A.1B.C.D.
4.庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征.正五角星是一个非常优美的几何图形,且与黄金分割有着密切的联系:在如图所示的正五角星中,以A,B,C,D,E
为顶点的多边形为正五边形,且=.下列关系中正确的是( )
A.-= B.+=
C.-= D.+=
5.如图,将45°直角三角板和30°直角三角板拼在一起,其中45°直角三角板的斜边与30°直角三角板的30°角所对的直角边重合,若=x+y,x>0,y>0,则x+y=________.
6.已知向量,是两个不共线向量,向量=s+t,(s>0,t>0),满足s+t=k(1≤k≤2)的点P表示的区域为X,满足s+2t=l(1≤l≤3)的点P表示的区域为Y,则=__________.
答案精析
基础保分练
1.C 2.B 3.D 4.D 5.D 6.B 7.D 8.D 9. 10.
能力提升练
1.C [∵=(+),
又=m,=n,
∴=+,
又M,O,N三点共线,
∴+=1,即得m+n=2,易知m>0,n>0,
∴+=·=+++1=+≥+2=+,当且仅当
即时取等号,故选C.]
2.B [∵D为AB的中点,
∴+=2,
∵++2=0,∴=-,
∴O是CD的中点,∴S△AOC=S△ACD=S△ABC,故选B.]
3.D [=+
=+(-)
=m+,
设=λ(0≤λ≤1),
则=+λ
=+λ(-)
=(1-λ)+λ,
因为=,
所以=(1-λ)+λ,
则解得故选D.]
4.A [在如图所示的正五角星中,以A,B,C,D,E为顶点的多边形为正五边形,且=.
在A中,-=-==,故A正确;
在B中,+=+=
=,故B错误;
在C中,-=-=,故C错误;
在D中,+=+,==-,若+=,则=0,不合题意,故D错误.故选A.]
5.1+2
解析 由题意得,若设AD=DC=1,则AC=,AB=2,BC=,
由题意知,=x+y,△BCD中,由余弦定理得DB2=DC2+CB2-2DC·CB·
cos(45°+90°)=1+6+2×1××=7+2,
∵=x+y,x>0,y>0,∠ADC=90°,
∴2=x2+y2,
∴x2+y2=7+2,①
如图,作=x,
=y,
则=+,CC′=x-1,C′B=y,
Rt△CC′B中,由勾股定理得
BC2=CC′2+C′B2,
即6=(x-1)2+y2,②
由①②可得x=1+,y=,
∴x+y=1+2.
6.
解析 可用特殊值法,
令=(1,0),=(0,1),
则=(s,t),若s+t=k(1≤k≤2),
则所表示区域面积为×2×2-×1×1=.
若s+2t=l(1≤l≤3),
则所表示区域面积为×3×-××1=2,
则==.