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  • 2021-06-17 发布

理数试卷--华大新高考联盟2020届高三4月教学质量测评

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理科数学试题   第 1     页(共 4 页) 机密 ★ 启用前 华大新高考联盟 2020 届高三 4 月教学质量测评 理科数学 命题:华中师范大学考试研究院 本试题卷共4页,23题(含选考题).全卷满分150分.考试用时120分钟. ★ 祝考试顺利 ★ 注意事项: 1. 答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置. 2. 选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上 的非答题区域均无效. 3. 填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区 域均无效. 4. 选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内. 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 5. 考试结束后,请将答题卡上交. ઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋ 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数z=1+1 i ,则zŰ୵z= A.0 B.1 C.2 D.2 2.设集合 A={x|x>3},B={x|log3(x-a)>0},则a=3 是B⊆A 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3.设等差数列{an }的前n 项和为Sn ,已知a3=5,a7+a9=30,则S10= A.85 B.97 C.100 D.175 4.魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术,为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.所谓割圆术,就是以 圆内接正多边形的面积,来无限逼近圆面积.刘徽形容他的割圆术说:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以 至于不可割,则与圆合体,而无所失矣.”某学生在一圆盘内画一内接正十二边形,将 100 粒豆子随机撒入 圆盘内,发现只有 4 粒豆子不在正十二边形内.据此实验估计圆周率的近似值为 A.10 3      B.16 5      C.22 7      D.25 8 5.已知x=lg2,y=ln3,z=log23,则 A.x<z<y B.z<y<x C.x<y<z D.z<x<y 6.执行如图所示程序框图,设输出数据构成集合 A,从集合 A 中任取一个 元素m,则事件“函数f(x)=x2 +mx 在[0,+∞)上是增函数”的概率为 A.1 4       B.1 2      C.3 4      D.3 5 理科数学试题   第 2     页(共 4 页) 7.设f(x),g(x)分别为定义在[-π,π]上的奇函数和偶函数,且f(x)+g(x)=2e x cosx(e 为自然对数的底 数),则函数y=f(x)-g(x)的图象大致为 8.某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒,计划改建十个实验室,每个实验室的改建费用分为装修费和设 备费,每个实验室的装修费都一样,设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列,已知第五实验室比第 二实验室的改建费用高 42 万元,第七实验室比第四实验室的改建费用高 168 万元,并要求每个实验室改 建费用不能超过 1700 万元.则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要 A.3233 万元 B.4706 万元 C.4709 万元 D.4808 万元 9.设点F 为抛物线y2 =16x 的焦点,A,B,C 三点在抛物线上,且四边形 ABCF 为平行四边形,若对角线 |BF|=5(点B 在第一象限),则对角线 AC 所在的直线方程为 A.8x-2y-11=0 B.4x-y-8=0 C.4x-2y-3=0 D.2x-y-3=0 10.设函数f(x)=2|sinx|+sinx+2cos2,给出下列四个结论:①f(2)>0;②f(x)在 -3π,-5π 2 æ è ç ö ø ÷ 上单调递 增;③f(x)的值域为[-1+2cos2,3+2cos2];④f(x)在[0,2π]上的所有零点之和为 4π.则正确结论的序 号为 A.①② B.③④ C.①②④ D.①③④ 11.设点F1,F2 分别为双曲线C: x2 a2 - y2 b2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点,点 A,B 分别在双曲线C 的左、右支 上,若F1 B→=6F1 A→,AF2→2 =AB→ŰAF2→,且 |AF2→|>|BF2→|,则双曲线C 的离心率为 A.17 5 B.13 5 C.85 5 D.65 5 12.在正方体 ABCDGA1 B1 C1 D1 中,点 M ,N,P 分别在AA1,A1 D1,D1 C1 上,M 为AA1 的中点, A1 N ND1 = C1 P PD1 =2,过点 A 作平面α,使得BC1⊥α,若α∩ 平面 A1 B1 C1 D1=m,α∩ 平面 MNP=n,则直线 m 与直 线n 所成的角的正切值为 A.3 2 7 B.6 2 7 C.2 7 D.2 2 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分. 13.在 x- 1 2x2 æ è ç ö ø ÷ 6 的展开式中,常数项为 (用数字作答). 14.在等腰直角 △ABC 中,AB =2,∠BAC=90°,AD 为 斜 边BC 的 高,将 △ABC 沿 AD 折 叠,使 二 面 角 理科数学试题 第 3 页(共 4 页) BGADGC 为 60°,则三棱锥 AGBCD 的外接球的表面积为 . 15.在 △ABC 中,AB=5,AC=4,BC=3,已知 MN 为 △ABC 内切圆的一条直径,点 P 在 △ABC 的外接圆 上,则PM→ŰPN→的最大值为 . 16.用符号[x]表示不超过x 的最大整数,例如:[0.6]=0;[2.3]=2;[5]=5.设函数f(x)=ax2 -2ln 2 (2x) +(2-ax2 )ln(2x)有三个零点x1,x2,x3(x1<x2<x3),且[x1]+[x2]+[x3]=3,则a 的取值范围是 . 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都 必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分. 17.(12 分) 在 △ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为a,b,c,且b2 +2 3acsinB=(a+c)2 ,△ABC 的面积为 2 3. (1)求角B; (2)设λ,b,|a-c| 成等比数列,求λ 的最小值. 18.(12 分) 如图所示,在三棱柱ABCGA1 B1 C1 中,侧面ACC1 A1 为菱形,∠A1 AC=60°,AC=2, 侧面CBB1 C1 为正方形,平面 ACC1 A1⊥ 平面 ABC.点 N 为线段AC 的中点,点 M 在 线段AB 上,且AM MB =2. (1)证明:平面BB1 C1 C⊥ 平面 ACC1 A1; (2)求直线BB1 与平面B1 MN 所成角的正弦值. 19.(12 分) 设以 △ABC 的边AB 为长轴且过点C 的椭圆Γ 的方程为x2 a2 + y2 b2 =1(a>b>0),椭圆Γ 的离心率e= 1 2 ,△ABC 面积的最大值为 2 3,AC 和BC 所在的直线分别与直线l:x=4 相交于点 M ,N. (1)求椭圆Γ 的方程; (2)设 △ABC 与 △CMN 的外接圆的面积分别为S1,S2,求S2 S1 的最小值. 20.(12 分) 2020 年寒假期间新冠肺炎肆虐,全国人民众志成城抗击疫情.某市要求全体市民在家隔离,同时决定全 市所有学校推迟开学.某区教育局为了让学生“停课不停学”,要求学校各科老师每天在网上授课,每天共 280 分钟,请学生自主学习.区教育局为了了解高三学生网上学习情况,上课几天后在全区高三学生中采取 随机抽样的方法抽取了 100 名学生进行问卷调查,为了方便表述把学习时间在(0,120]分钟的学生称为 A 类,把学习时间在(120,200]分钟的学生称为B 类,把学习时间在(200,280]分钟的学生称为C 类,随机调查 的 100 名学生学习时间的人数频率分布直方图如图所示: 理科数学试题   第 4     页(共 4 页) 以频率估计概率回答下列问题: (1)求 100 名学生中 A,B,C 三类学生分别有多少人? (2)在 A,B,C 三类学生中,按分层抽样的方法从上述 100 个学生中抽取 10 人,并在这 10 人中任意邀 请 3 人电话访谈,求邀请的 3 人中是C 类的学生人数的分布列和数学期望; (3)某校高三(1)班有 50 名学生,某天语文和数学老师计划分别在 19:00—19:40 和 20:00—20:40 在线 上与学生交流,由于受校园网络平台的限制,每次只能 30 个人同时在线学习交流.假设这两个时间段高三 (1)班都有 30 名学生相互独立地随机登录参加学习交流.设ξ 表示参加语文或数学学习交流的人数,当ξ 为 多少时,其概率最大. 21.(12 分) 已知函数f(x)=4ax-sinx+2axcosx,(a∈R). (1)若a=1 4 ,当x∈(0,π)时,证明:f(x)<π 2 ; (2)若当x∈[0,+∞)时,f(x)≥0,求a 的取值范围. (二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多选,则按所做的第一题计分. 22.[选修 4—4:坐标系与参数方程](10 分) 在直角坐标系xOy 中,曲线C1 的参数方程为 x= 21 3 cosθ, y=2+ 21 3 sinθ ì î í ï ïï ï ïï (θ 为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴 的非负半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2 的极坐标方程为ρ2 = 8 5-3cos2α,点P 在曲线C1 上,点 Q 在曲线 C2 上. (1)求曲线C1 的一般方程和曲线C2 的直角坐标方程; (2)求 |PQ| 的最大值. 23.[选修 4—5:不等式选讲](10 分) 设a,b,c 都是正数,且a+b+c=1. (1)求 1a+b+1c 的最小值; (2)证明:a4 +b4 +c4 ≥abc.