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- 2021-06-17 发布
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理科数学试题
第
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机密
★
启用前
华大新高考联盟
2020
届高三
4
月教学质量测评
理科数学
命题:华中师范大学考试研究院
本试题卷共4页,23题(含选考题).全卷满分150分.考试用时120分钟.
★
祝考试顺利
★
注意事项:
1.
答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.
2.
选择题的作答:每小题选出答案后,用
2B
铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上
的非答题区域均无效.
3.
填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区
域均无效.
4.
选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用
2B
铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内.
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
5.
考试结束后,请将答题卡上交.
ઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋ
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数z=1+1
i
,则zŰ୵z=
A.0 B.1 C.2 D.2
2.设集合 A={x|x>3},B={x|log3(x-a)>0},则a=3
是B⊆A 的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
3.设等差数列{an }的前n 项和为Sn ,已知a3=5,a7+a9=30,则S10=
A.85 B.97 C.100 D.175
4.魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术,为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.所谓割圆术,就是以
圆内接正多边形的面积,来无限逼近圆面积.刘徽形容他的割圆术说:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以
至于不可割,则与圆合体,而无所失矣.”某学生在一圆盘内画一内接正十二边形,将
100
粒豆子随机撒入
圆盘内,发现只有
4
粒豆子不在正十二边形内.据此实验估计圆周率的近似值为
A.10
3 B.16
5 C.22
7 D.25
8
5.已知x=lg2,y=ln3,z=log23,则
A.x<z<y B.z<y<x
C.x<y<z D.z<x<y
6.执行如图所示程序框图,设输出数据构成集合 A,从集合 A 中任取一个
元素m,则事件“函数f(x)=x2
+mx 在[0,+∞)上是增函数”的概率为
A.1
4 B.1
2 C.3
4 D.3
5
理科数学试题
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7.设f(x),g(x)分别为定义在[-π,π]上的奇函数和偶函数,且f(x)+g(x)=2e
x
cosx(e
为自然对数的底
数),则函数y=f(x)-g(x)的图象大致为
8.某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒,计划改建十个实验室,每个实验室的改建费用分为装修费和设
备费,每个实验室的装修费都一样,设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列,已知第五实验室比第
二实验室的改建费用高
42
万元,第七实验室比第四实验室的改建费用高
168
万元,并要求每个实验室改
建费用不能超过
1700
万元.则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要
A.3233
万元
B.4706
万元
C.4709
万元
D.4808
万元
9.设点F 为抛物线y2
=16x 的焦点,A,B,C 三点在抛物线上,且四边形 ABCF 为平行四边形,若对角线
|BF|=5(点B 在第一象限),则对角线 AC 所在的直线方程为
A.8x-2y-11=0 B.4x-y-8=0
C.4x-2y-3=0 D.2x-y-3=0
10.设函数f(x)=2|sinx|+sinx+2cos2,给出下列四个结论:①f(2)>0;②f(x)在
-3π,-5π
2
æ
è
ç ö
ø
÷ 上单调递
增;③f(x)的值域为[-1+2cos2,3+2cos2];④f(x)在[0,2π]上的所有零点之和为
4π.则正确结论的序
号为
A.①② B.③④ C.①②④ D.①③④
11.设点F1,F2
分别为双曲线C:
x2
a2 -
y2
b2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点,点 A,B 分别在双曲线C 的左、右支
上,若F1
B→=6F1
A→,AF2→2
=AB→ŰAF2→,且
|AF2→|>|BF2→|,则双曲线C 的离心率为
A.17
5 B.13
5 C.85
5 D.65
5
12.在正方体 ABCDGA1
B1
C1
D1
中,点 M ,N,P 分别在AA1,A1
D1,D1
C1
上,M 为AA1
的中点,
A1
N
ND1 =
C1
P
PD1 =2,过点 A 作平面α,使得BC1⊥α,若α∩
平面 A1
B1
C1
D1=m,α∩
平面 MNP=n,则直线 m 与直
线n 所成的角的正切值为
A.3 2
7 B.6 2
7 C.2
7 D.2
2
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.在 x- 1
2x2
æ
è
ç
ö
ø
÷
6
的展开式中,常数项为 (用数字作答).
14.在等腰直角
△ABC 中,AB =2,∠BAC=90°,AD 为 斜 边BC 的 高,将
△ABC 沿 AD 折 叠,使 二 面 角
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BGADGC 为
60°,则三棱锥 AGBCD 的外接球的表面积为 .
15.在
△ABC 中,AB=5,AC=4,BC=3,已知 MN 为
△ABC 内切圆的一条直径,点 P 在
△ABC 的外接圆
上,则PM→ŰPN→的最大值为 .
16.用符号[x]表示不超过x 的最大整数,例如:[0.6]=0;[2.3]=2;[5]=5.设函数f(x)=ax2
-2ln
2
(2x)
+(2-ax2
)ln(2x)有三个零点x1,x2,x3(x1<x2<x3),且[x1]+[x2]+[x3]=3,则a 的取值范围是
.
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都
必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共60分.
17.(12
分)
在
△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为a,b,c,且b2
+2 3acsinB=(a+c)2
,△ABC 的面积为
2 3.
(1)求角B;
(2)设λ,b,|a-c|
成等比数列,求λ 的最小值.
18.(12
分)
如图所示,在三棱柱ABCGA1
B1
C1
中,侧面ACC1
A1
为菱形,∠A1
AC=60°,AC=2,
侧面CBB1
C1
为正方形,平面 ACC1
A1⊥
平面 ABC.点 N 为线段AC 的中点,点 M 在
线段AB 上,且AM
MB =2.
(1)证明:平面BB1
C1
C⊥
平面 ACC1
A1;
(2)求直线BB1
与平面B1
MN 所成角的正弦值.
19.(12
分)
设以
△ABC 的边AB 为长轴且过点C 的椭圆Γ 的方程为x2
a2 +
y2
b2 =1(a>b>0),椭圆Γ 的离心率e=
1
2
,△ABC 面积的最大值为
2 3,AC 和BC 所在的直线分别与直线l:x=4
相交于点 M ,N.
(1)求椭圆Γ 的方程;
(2)设
△ABC 与
△CMN 的外接圆的面积分别为S1,S2,求S2
S1
的最小值.
20.(12
分)
2020
年寒假期间新冠肺炎肆虐,全国人民众志成城抗击疫情.某市要求全体市民在家隔离,同时决定全
市所有学校推迟开学.某区教育局为了让学生“停课不停学”,要求学校各科老师每天在网上授课,每天共
280
分钟,请学生自主学习.区教育局为了了解高三学生网上学习情况,上课几天后在全区高三学生中采取
随机抽样的方法抽取了
100
名学生进行问卷调查,为了方便表述把学习时间在(0,120]分钟的学生称为 A
类,把学习时间在(120,200]分钟的学生称为B 类,把学习时间在(200,280]分钟的学生称为C 类,随机调查
的
100
名学生学习时间的人数频率分布直方图如图所示:
理科数学试题
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以频率估计概率回答下列问题:
(1)求
100
名学生中 A,B,C 三类学生分别有多少人?
(2)在 A,B,C 三类学生中,按分层抽样的方法从上述
100
个学生中抽取
10
人,并在这
10
人中任意邀
请
3
人电话访谈,求邀请的
3
人中是C 类的学生人数的分布列和数学期望;
(3)某校高三(1)班有
50
名学生,某天语文和数学老师计划分别在
19:00—19:40
和
20:00—20:40
在线
上与学生交流,由于受校园网络平台的限制,每次只能
30
个人同时在线学习交流.假设这两个时间段高三
(1)班都有
30
名学生相互独立地随机登录参加学习交流.设ξ 表示参加语文或数学学习交流的人数,当ξ 为
多少时,其概率最大.
21.(12
分)
已知函数f(x)=4ax-sinx+2axcosx,(a∈R).
(1)若a=1
4
,当x∈(0,π)时,证明:f(x)<π
2
;
(2)若当x∈[0,+∞)时,f(x)≥0,求a 的取值范围.
(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多选,则按所做的第一题计分.
22.[选修
4—4:坐标系与参数方程](10
分)
在直角坐标系xOy 中,曲线C1
的参数方程为
x= 21
3 cosθ,
y=2+ 21
3 sinθ
ì
î
í
ï
ïï
ï
ïï
(θ 为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴
的非负半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2
的极坐标方程为ρ2
= 8
5-3cos2α,点P 在曲线C1
上,点 Q 在曲线
C2
上.
(1)求曲线C1
的一般方程和曲线C2
的直角坐标方程;
(2)求
|PQ|
的最大值.
23.[选修
4—5:不等式选讲](10
分)
设a,b,c 都是正数,且a+b+c=1.
(1)求 1a+b+1c
的最小值;
(2)证明:a4
+b4
+c4
≥abc.