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- 2021-06-17 发布
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2019学年高二（下）第二次月考试卷
数学（理）
一、 选择题(本大题共12小题，共60.0分)
1、设复数z满足，则
A. B. C. D. 2
X
0
1
P
2、已知离散型随机变量X的分布列如图，则常数c为
A. B. C. 或 D.
3、现有两门选修课供甲、乙、丙三人随机选择，每人必须且只能选其中一门，则甲乙两人都选选修课的概率是（ ）
A. B. C. D.
4.只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项为
A. B. C. 7 D. 28
0
1
0.2
m
5、若随机变量的分布列为：
已知随机变量，
且，则与的值为( )
A． B． C． D．
6、今天为星期六，则今天后的第 天是 （ ）
A．星期六 B．星期日 C．星期五 D．星期四
7、某班班会准备从含甲、乙的7名学生中任选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，且若甲、乙同时参加,则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序种类为 （ ）
A. 720 B. 520 C. 360 D. 600
8、某高中数学老师从一张测试卷的12道选择题、4道填空题、6道解答题中任取3道题作分析，则在取到选择题条件下，解答题也取到的概率为
11
A. B.
C. D.
9、在的展开式中，含的项的系数是（ ）
Ａ． Ｂ．85 Ｃ． Ｄ．274
10、在一次反恐演习中，我方三架武装直升机分别从不同方位对同一目标发动攻击各发射一枚导弹，由于天气原因，三枚导弹命中目标的概率分别为，若至少有两枚导弹命中目标方可将其摧毁，则目标被摧毁的概率为
A. B. C. D.
11、设随机变量取值、、、、的概率均为，随机变量取值的概率也为若记、分别为、的方差，则
A. B. C. ．
D. 与的大小关系与、、、的取值有关．
12．设集合，那么集合中满足条件“”的元素个数为（ ）
A .60 B.90 C.120 D.130
二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)
13. 把4本不同的书全部分给3个学生，每个学生至少一本，不同的分发种数为______
用数字作答
14. 下列说法中错误的有
(1). 残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高.
(2). 两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好。
(3). 设随机变量X服从正态分布，若则
3
4
5
6
2.4
3.8
4.6
11
(4) . 根据右表提供的数据，求出关于的线性回归方程为，那么表中t=3.15
15.
16. 甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把乘以2后再减去12；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把除以2后再加上12，这样就可得到一个新的实数，对实数仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数，当时，甲获胜，否则乙获胜，若甲胜的概率为，则的取值范围是 ．
三、解答题(本大题共6小题，共72.0分)
17、（本题满分10分）在直角坐标系xOy中，点M是曲线C1上 的动点， C1参数方程为(t为参数)．在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinθ，曲线C3：θ＝(ρ>0)，A(2，0)．
(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；
(2)设C3分别交C1，C2于点P，Q，求△APQ的面积．
18、如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分.为了解网络外卖在市的普及情况，市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查，并从参与调查的网民中抽取了200人进行抽样分析，得到表格：（单位：人）
经常使用网络外卖
偶尔或不用网络外卖
合计
男性
50
50
100
女性
60
40
100
合计
110
90
200
（1）根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为市使用网络外卖的情况与性别有关？
（2）①现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，再从这5人中随机选出3人赠送外卖优惠券，求选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率；
11
②将频率视为概率，从市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人数为，求的数学期望和方差.
参考公式：，其中.
参考数据：
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
19、 （本题满分12分）已知直线l：为参数，曲线：为参数．
Ⅰ设l与相交于两点，求；
Ⅱ若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线，设点P是曲线上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．
20．（本小题满分12分）已知四棱锥的底面是菱形，，，，
与交于点，，分别为，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
11
21．（本小题满分12分）经观测，某昆虫的产卵数y与温度x有关，现将收集到的温度xi和产卵数yi（i=1，2，…，10）的10组观测数据作了初步处理，得到如下图的散点图及一些统计量表．
275
731.1
21.7
150
2368.36
30
．
．
．
表中 ,
（1） 根据散点图判断， , 与 哪一个适宜作为y与x之间的回归方程模型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）的判断结果及表中数据．
①试求y关于x回归方程；
②已知用人工培养该昆虫的成本h（x）与温度x和产卵数y的关系为h（x）=x（lny﹣2.4）+170，当温度x（x取整数）为何值时，培养成本的预报值最小？
附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…（un，vn），其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为β=，α=﹣β．
22．（本小题满分12分）如图，椭圆和圆，已知圆将椭圆的长轴三等分，且圆的面积为．椭圆的下顶点为，过坐标原点且与坐标轴不重合的任意直线与圆
11
相交于点，直线与椭圆的另一个交点分别是点．
（1）求椭圆的方程；
（2）（Ⅰ）设的斜率为，直线斜率为，求的值；
（Ⅱ）求面积最大时直线的方程．
高二（下）数学第二次月试卷答案
C BACB BDCAD AD
13. 36 14.(1) (4) 15．125 16、
17.解析 (1)曲线C1的普通方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0，
所以C1的极坐标方程为ρ2－4ρcosθ＝0，即ρ＝4cosθ.
(2)方法一：依题意，设点P，Q的极坐标分别为(ρ1，)，(ρ2，)．
将θ＝代入ρ＝4cosθ，得ρ1＝2，
将θ＝代入ρ＝2sinθ，得ρ2＝1，
所以|PQ|＝|ρ1－ρ2|＝2－1，
点A(2，0)到曲线θ＝(ρ>0)的距离d＝|OA|sin＝1.
所以S△APQ＝|PQ|·d＝×(2－1)×1＝.
方法二：依题意，设点P，Q的极坐标分别为(ρ1，)，(ρ2，)．
将θ＝代入ρ＝4cosθ，得ρ1＝2，得|OP|＝2，
将θ＝代入ρ＝2sinθ，得ρ2＝1，即|OQ|＝1. 因为A(2，0)，所以∠POA＝，
所以S△APQ＝S△OPA－S△OQA
＝|OA|·|OP|·sin－|OA|·|OQ|·sin
＝×2×2×－×2×1×
＝－.
11
18.. （1）由列联表可知的观测值 ，
所以不能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用网络外卖情况与性别有关.
（2）①依题意，可知所抽取的5名女网民中，经常使用网络外卖的有（人），
偶尔或不用网络外卖的有（人）.
则选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率为.
②由列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的概率为，
将频率视为概率，即从市市民中任意抽取1人，恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为.
由题意得，∴；
.
19. 解：的普通方程为的普通方程为，
联立方程组，解得交点坐标为
所以；
11
曲线：为参数．
设所求的点为，
则P到直线l的距离
当时，d取得最小值．
19、解：（1）连接，如图所示，
因为，所以．
在菱形中，．
又因为，所以平面．
又平面，所以．
在中，，，所以．
又，为的中点，所以．
又因为，所以平面． （4分）
（2）过点作，所以平面．
如图，以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系．
11
可得，，，，，．
所以，，．
设是平面的一个法向量，则，即，
令，则．
设直线与平面所成的角为，可得．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
21. 解：（1）根据散点图判断，看出样本点分布在一条指数函数的周围，所以适宜作为y与x之间的回归方程模型； ……2分
（2）① ……3分
……5分
……6分
……7分 ……8分
11
② ……10分
时，培养成本的预报值最小． ……12分
22. （1）依题意,则.椭圆方程为.
（2）（Ⅰ）由题意知直线的斜率存在且不为0, ,不妨设直线的斜率为 ,则: .
由得或,.
用代替,得,则.
由得或, ,则.
（Ⅱ）法一: ； ,
11
设,则,当且仅当时取等号． .
则直线: ,所以所求的直线的方程为.
法二:直线的方程: ,即.
可设直线: .由消去得.
, 到直线的距离.
设,则
11
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