数学文·福建省福州市闽侯二中2017届高三上学期期中数学试卷（文科） Word版含解析 22页

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年福建省福州市闽侯二中高三（上）期中数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．在复平面内，复数对应的向量的模是（　　）‎ A． B．1 C．2 D．2‎ ‎2．设a，b∈R，集合{1，a}={0，a+b}，则b﹣a=（　　）‎ A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2‎ ‎3．已知函数f（x）=2ln（3x）+8x+1，则的值为（　　）‎ A．10 B．﹣10 C．﹣20 D．20‎ ‎4．下列命题中不正确命题的个数是（　　）‎ ‎①过空间任意一点有且仅有一个平面与已知平面垂直 ‎②过空间任意一条直线有且仅有一个平面与已知平面垂直 ‎③过空间任意一点有且仅有一个平面与已知的两条异面直线平行 ‎④过空间任意一点有且仅有一条直线与已知平面垂直．‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎5．已知双曲线=1右支上一点P到左、右焦点的距离之差为6，P到左准线的距离为，则P到右焦点的距离为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆，若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（　　）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎7．已知实数a、b、c成公差不为零的等差数列，那么下列不等式不成立的是（　　）‎ A． B．a3b+b3c+c3a≥a4+b4+c4‎ C．b2≥ac D．|b|﹣|a|≤|c|﹣|b|‎ ‎8．已知||=1，||=， •=0，点P在∠AOB内，且∠AOP=，设=m+n，则等于（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎9．北京2008年第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，看台上第一排和最后一排的距离 米（如图所示），旗杆底部与第一排在一个水平面上，已知国歌长度约为50秒，升旗手匀速升旗的速度为（　　）‎ A．（米/秒） B．（米/秒） C．（米/秒） D．（米/秒）‎ ‎10．三名篮球运动员甲、乙、丙进行传球训练，由丙开始传，经过5次传递后，球又被传回给丙，则不同的传球方式共有（　　）‎ A．4种 B．10种 C．12种 D．22种 ‎11．已知双曲线的方程为x2﹣=1，直线m的方程为x=，过双曲线的右焦点F（2，0）的直线l与双曲线右支相交于P，Q，以PQ为直径的圆与直线m相交于M，N，记劣弧MN的长度为n，则的值为（　　）‎ A． B．‎ C． D．与直线l的位置有关 ‎12．已知函数f（x）=．对于下列命题：‎ ‎①函数f（x）是周期函数；‎ ‎②函数f（x）有最大值；‎ ‎③函数f（x）的定义域是R，且其图象有对称轴；‎ ‎④方程f（x）=0在区间[﹣100，100]上的根的个数是201个；‎ 其中不正确的命题个数有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分 ‎13．设命题p：|4x﹣3|≤1；命题q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0．若￢p是￢q的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是　　．‎ ‎14．若函数f（x）=，则其最大值为　　．‎ ‎15．设m为实数，若，则m的取值范围为　　．‎ ‎16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，M是A1B1的中点，则下列四个命题：‎ ‎①直线BC与平面ABC1D1所成的角等于45°；‎ ‎②四面体ABCD1在正方体六个面内的投影图形面积的最小值为；‎ ‎③点M到平面ABC1D1的距离是；‎ ‎④BM与CD1所成的角为 其中真命题的序号是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．已知函数，其中a是大于0的常数．‎ ‎（1）求函数f（x）的定义域；‎ ‎（2）当a∈（1，4）时，求函数f（x）在[2，+∞）上的最小值．‎ ‎18．3名志愿者在10月1号至10月5号期间参加社区服务工作．‎ ‎（Ⅰ）若每名志愿者在这5天中任选一天参加社区服务工作，且各志愿者的选择互不影响，求3名志愿者恰好连续3天参加社区服务工作的概率；‎ ‎（Ⅱ）若每名志愿者在这5天中任选两天参加社区服务工作，且各志愿者的选择互不影响，记ξ表示这3名志愿者在10月1号参加社区服务工作的人数，求随机变量ξ的分布列．‎ ‎19．已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=1，BC=2，又PB⊥平面ABCD，且PB=1，点E在棱PD上，且DE=2PE．‎ ‎（Ⅰ）求异面直线PA与CD所成的角的大小；‎ ‎（Ⅱ）求证：BE⊥平面PCD；‎ ‎（Ⅲ）求二面角A﹣PD﹣B的大小．‎ ‎20．已知数列{an}满足a1=1，an2=（2an+1）an+1（n∈N*）．‎ ‎（1）求a2、a3的值；‎ ‎（2）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（3）求证：＜7．‎ ‎21．已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，短轴两个端点为A、B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若C、D分别是椭圆长的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P．证明：为定值．‎ ‎（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎22．已知函数，‎ ‎（1）若函数f（x）在[1，+∞）上是增函数，求正实数a的取值范围；‎ ‎（2）a=1时，求f（x）在上的最大值和最小值；‎ ‎（3）a=1时，求证：对大于1的正整数n，．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年福建省福州市闽侯二中高三（上）期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．在复平面内，复数对应的向量的模是（　　）‎ A． B．1 C．2 D．2‎ ‎【考点】复数求模．‎ ‎【分析】化简可得复数=1﹣i，由模长公式可得．‎ ‎【解答】解：化简可得 ‎=‎ ‎==1﹣i，‎ ‎∴对应向量的模为=‎ 故选：A ‎　‎ ‎2．设a，b∈R，集合{1，a}={0，a+b}，则b﹣a=（　　）‎ A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2‎ ‎【考点】集合的相等．‎ ‎【分析】根据集合的相等求出a，b的值，从而求出b﹣a即可．‎ ‎【解答】解：∵集合{1，a}={0，a+b}，‎ ‎∴a=0，a+b=1，‎ 故a=0，b=1，b﹣a=1，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．已知函数f（x）=2ln（3x）+8x+1，则的值为（　　）‎ A．10 B．﹣10 C．﹣20 D．20‎ ‎【考点】极限及其运算．‎ ‎【分析】=﹣2×=﹣2f′（1），再利用导数的运算法则即可得出．‎ ‎【解答】解：f（x）=2ln（3x）+8x+1，‎ ‎∴f′（x）=+8=+8．‎ ‎∴f′（1）=10．‎ 则=﹣2×=﹣2f′（1）=﹣2×10=﹣20．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．下列命题中不正确命题的个数是（　　）‎ ‎①过空间任意一点有且仅有一个平面与已知平面垂直 ‎②过空间任意一条直线有且仅有一个平面与已知平面垂直 ‎③过空间任意一点有且仅有一个平面与已知的两条异面直线平行 ‎④过空间任意一点有且仅有一条直线与已知平面垂直．‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】以正方体为载体，考查互相垂直的线和平面，能求出结果．‎ ‎【解答】解：考察正方体中互相垂直的线和平面．‎ 对于①：过空间任意一点不是有且仅有一个平面与已知平面垂直，‎ 如图中平面A1D和平面A1B与平面AC垂直；故①错；‎ 对于②：过空间任意一条直线有且仅有一个平面与已知平面垂直，这是正确的．‎ 如图中，已知平面A1D和平面A1B与平面AC垂直；故②正确；‎ 对于③：过空间任意一点不是有且仅有一个平面与已知的两条异面直线平行，‎ 如图中：过C1的与A1B1与AD都平行的平面就不存在；故③错；‎ 对于④：过空间任意一点有且仅有一条直线与已知平面垂直是正确的，故④正确．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5．已知双曲线=1右支上一点P到左、右焦点的距离之差为6，P到左准线的距离为，则P到右焦点的距离为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由题意可知：丨PF1丨﹣丨PF2丨=6，则a=3，由c==5，求得双曲线的准线方程为 x=±=±，点P到右准线的距离为﹣×2=，根据双曲线的第二定义，点P到右焦点的距离为d=e，即可求得P到右焦点的距离．‎ ‎【解答】解：由题意可知：双曲线=1焦点在x轴上，焦点为F1，F2，‎ 则丨PF1丨﹣丨PF2丨=6，即2a=6，则a=3，‎ 由c==5，双曲线的准线方程为 x=±=±，‎ 点P到右准线的距离为﹣×2=，‎ 由双曲线的第二定义，点P到右焦点的距离为d=e=×=，‎ 故P到右焦点的距离，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆，若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（　　）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎【考点】球的体积和表面积．‎ ‎【分析】求解本题，可以从三个圆心上找关系，构建矩形利用对角线相等即可求解出答案．‎ ‎【解答】解：设两圆的圆心分别为O1、O2，球心为O，公共弦为AB，其中点为E，则OO1EO2为矩形，‎ 于是对角线O1O2=OE，而OE==，‎ ‎∴O1O2=‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎7．已知实数a、b、c成公差不为零的等差数列，那么下列不等式不成立的是（　　）‎ A． B．a3b+b3c+c3a≥a4+b4+c4‎ C．b2≥ac D．|b|﹣|a|≤|c|﹣|b|‎ ‎【考点】不等式的基本性质．‎ ‎【分析】本题是选择题，可以采用特值法与排除法结合，不妨取a，b，c分别为1，2，3，不难选出答案B．‎ ‎【解答】解：对于选择题，可以用特值法与排除法 设a=1，b=2，c=3‎ ‎∴ab+bc+ca=11 a2+b2+c2=14‎ 所以B不成立，故选B．‎ 对于其他三个选项证明如下：‎ 设等差数列的公差为d≠0‎ ‎∴b﹣a=c﹣b=d∴|b﹣a+|=|d+|≥2，故A正确，‎ ‎∵a，b，c成等差数列 ‎∴2b=a+c≥2，‎ ‎∴b2≥ac，故C正确，‎ 又|2b|=|a+c|≤|a|+|c|‎ ‎∴|b|﹣|a|≤|c|﹣|b|，故D正确，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．已知||=1，||=， •=0，点P在∠AOB内，且∠AOP=，设=m+n，则等于（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【考点】平面向量的基本定理及其意义．‎ ‎【分析】通过建立直角坐标系，利用向量的坐标运算和数量积运算及其夹角公式即可得出．‎ ‎【解答】解：由题意： •=0，则OA⊥OB，建立直角坐标系：‎ A（1，0），B（0，），P（x，y）．‎ ‎∵=m+n，‎ ‎∴（x，y）=m（1，0）+n（0，）=（m， n），‎ ‎∴x=m，y=n．‎ ‎∵∠AOP=45°，∴cos45°===，‎ 解得：m2=2n2‎ ‎∴=，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎9．北京2008年第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，看台上第一排和最后一排的距离米（如图所示），旗杆底部与第一排在一个水平面上，已知国歌长度约为50秒，升旗手匀速升旗的速度为（　　）‎ A．（米/秒） B．（米/秒） C．（米/秒） D．（米/秒）‎ ‎【考点】解三角形的实际应用．‎ ‎【分析】先根据题意可知∠DAB，∠ABD和∠ADB，AB，然后在△ABD利用正弦定理求得BD，进而在Rt△BCD求得CD，最后利用路程除以时间求得旗手升旗的速度．‎ ‎【解答】解：由条件得△ABD中，∠DAB=45°，∠ABD=105°，∠ADB=30°，AB=10，‎ 由正弦定理得BD=•AB=20‎ 则在Rt△BCD中，CD=20×sin60°=30‎ 所以速度V==米/秒 故选A．‎ ‎　‎ ‎10．三名篮球运动员甲、乙、丙进行传球训练，由丙开始传，经过5次传递后，球又被传回给丙，则不同的传球方式共有（　　）‎ A．4种 B．10种 C．12种 D．22种 ‎【考点】排列、组合及简单计数问题．‎ ‎【分析】根据题意，做出树状图，分析查找可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，做出树状图，‎ 注意第四次时球不能在甲的手中．‎ 分析可得，‎ 共有10种不同的传球方式；‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎11．已知双曲线的方程为x2﹣=1，直线m的方程为x=，过双曲线的右焦点F（2，0）的直线l与双曲线右支相交于P，Q，以PQ为直径的圆与直线m相交于M，N，记劣弧MN的长度为n，则的值为（　　）‎ A． B．‎ C． D．与直线l的位置有关 ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由直角梯形的中位线性质可得：d=，再利用双曲线的第二定义可得r=d1+d2，即可得到∠MEN=，即可根据弧长公式得到弧长，进而得到答案．‎ ‎【解答】解：双曲线的方程为x2﹣=1，则a=1，b=，c=2，‎ ‎∴双曲线的离心率e==2．‎ 直线m的方程为x=，即为右准线方程．‎ 设P、Q到右准线的距离分别等于d1、d2，‎ PQ的中点为E，E到右准线的距离等于d，并且圆的半径等于r=，‎ 由直角梯形的中位线性质可得：d=，‎ 再根据双曲线的第二定义可得： =e=2， =e=2，‎ ‎∴|PF|+|QF|=2（d1+d2）=2r，‎ ‎∴r=d1+d2，‎ 即可得到r=2d，‎ ‎∴∠MEN=，‎ 则有劣弧MN的长度为n=，‎ ‎∴=．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎12．已知函数f（x）=．对于下列命题：‎ ‎①函数f（x）是周期函数；‎ ‎②函数f（x）有最大值；‎ ‎③函数f（x）的定义域是R，且其图象有对称轴；‎ ‎④方程f（x）=0在区间[﹣100，100]上的根的个数是201个；‎ 其中不正确的命题个数有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【考点】函数的图象；函数的最值及其几何意义．‎ ‎【分析】①根据周期的定义即可判断．‎ ‎②根据二次函数的最值和不等式的基本性质，可以求出x2+1≥1；x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1≥1，注意等号成立的条件，从而求得＜1的范围，根据正弦函数的有界性，从而求得结论正确，‎ ‎③根据轴对称图形的定义，在函数f（x）图象上任取点P（x，y），求出点P关于直线x=的对称点是P′（1﹣x，y），验证点P′在函数的图象上即可；‎ ‎④方程f（x）=0在区间[﹣100，100]上的根，即为sinπx=0在区间[﹣100，100]上的根．‎ ‎【解答】解：①函数f（x）是周期函数不正确，因为分母随着自变量的远离原点，趋向于正穷大，‎ 所以函数图象无限靠近于X轴，故不是周期函数，故①错误；‎ ‎②∵x2+1≥1，当x=0时等号成立；x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1≥1，当x=1时等号成立，‎ ‎∴（x2+1）[（x﹣1）2+1]＞1，∴0＜＜1，‎ 而|sinπx|≤1，∴≤1，即|f（x）|≤1；故②正确；‎ ‎③在函数f（x）图象上任取点P（x，y），则点P关于直线x=的对称点是P′（1﹣x，y）‎ 而f（1﹣x）==．‎ ‎∴直线x=是函数f（x）图象的对称轴；故③正确，‎ ‎④方程f（x）=0，即sinπx=0，即πx=kπ，k∈Z，解得x=k，k∈Z，‎ 由于x∈[﹣100，100]，‎ ‎∴方程f（x）=0在区间[﹣100，100]上的根的个数是201个，故④正确，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分 ‎13．设命题p：|4x﹣3|≤1；命题q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0．若￢p是￢q的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是　[0，]　．‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法；绝对值不等式的解法．‎ ‎【分析】因为┐p是┐q的必要而不充分条件，其逆否命题（等价命题）是：q是p的必要不充分条件，命题p中变量的范围是命题q中变量的取值范围的真子集，画出数轴，考查区间端点的位置关系，可得答案．‎ ‎【解答】解：解|4x﹣3|≤1，得≤x≤1． 解x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0． 得a≤x≤a+1．‎ 因为┐p是┐q的必要而不充分条件，所以，q是p的必要不充分条件，‎ 即由命题p成立能推出命题q成立，但由命题q成立不推出命p成立．‎ ‎∴[，1]⊊[a，a+1]．‎ ‎∴a≤且a+1≥1，两个等号不能同时成立，解得0≤a≤．‎ ‎∴实数a的取值范围是：[0，]．‎ ‎　‎ ‎14．若函数f（x）=，则其最大值为　1024　．‎ ‎【考点】函数的最值及其几何意义．‎ ‎【分析】求出函数的导数f′（x）=10（1+sinx）9cosx﹣10（1﹣sinx）9cosx，利用函数单调性及奇偶性可求解．‎ ‎【解答】解：f′（x）=10（1+sinx）9cosx﹣10（1﹣sinx）9cosx，‎ 令f′（x）=0⇒（1+sinx=1﹣sinx或cosx=0⇒x=0或x=±，‎ 当x时，f′（x）＞0，‎ 函数f（x）为增函数，则其最大值f（）=210=1024，‎ 又因为函数f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，所以函数f（x）最大值1024．‎ 故答案为：1024‎ ‎　‎ ‎15．设m为实数，若，则m的取值范围为　（0，1]　．‎ ‎【考点】集合的表示法．‎ ‎【分析】利用不等式表示的平面区域得出区域与圆形区域的关系，把握好两个集合的包含关系是解决本题的关键，通过图形找准字母之间的不等关系是解决本题的突破口．‎ ‎【解答】解：由题意知，可行域应在圆内，‎ x=4代入（x﹣2）2+（y﹣2）2=8，可得y=0或4，‎ ‎（4，4）代入mx﹣y=0，可得m=1，‎ ‎∵{，‎ ‎∴0＜m≤1，‎ 故答案为：（0，1]．‎ ‎　‎ ‎16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，M是A1B1的中点，则下列四个命题：‎ ‎①直线BC与平面ABC1D1所成的角等于45°；‎ ‎②四面体ABCD1在正方体六个面内的投影图形面积的最小值为；‎ ‎③点M到平面ABC1D1的距离是；‎ ‎④BM与CD1所成的角为 其中真命题的序号是　①②④　．‎ ‎【考点】棱柱的结构特征．‎ ‎【分析】利用正方体的特征，依次考查和证明每一个选项：M到面ABC1D1的距离等于B1到面ABC1D1的距离B1C，BC与面ABC1D1所成的角即为∠CBC1=45°，在四个面上的投影或为正方形或为三角形．最小为三角形；BE与CD1所成的角即为BE与BA1所成的角．‎ ‎【解答】解：正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，M是A1B1的中点，‎ 对于①：BC与面ABC1D1所成的角即为∠CBC1=45°，∴正确．‎ 对于②：在四个面上的投影或为正方形或为三角形．最小为三角形，面积为，∴正确．‎ 对于③：M∈A1B1，A1B1∥面ABC1D1，∴M到面ABC1D1的距离等于B1到面ABC1D1的距离B1C=，∴不对．‎ 对于④：BM与CD1所成的角即为BM与BA1所成的角，即∠A1BM，A1M=，A1B=2，BM=，‎ 由余弦定理可得cos∠A1BE=，∴sin∠A1BM=，BM与CD1所成的角为，∴正确．‎ 故答案为：①②④．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．已知函数，其中a是大于0的常数．‎ ‎（1）求函数f（x）的定义域；‎ ‎（2）当a∈（1，4）时，求函数f（x）在[2，+∞）上的最小值．‎ ‎【考点】对数函数的定义域；复合函数的单调性．‎ ‎【分析】（1）求函数f（x）的定义域，就是求x+﹣2＞0的解集，可以通过对a分类讨论解解不等式求解；‎ ‎（2）可以构造函数g（x）=x+﹣2，当a∈（1，4）时通过导数法研究g（x）在[2，+∞）上的单调性，再利用复合函数的性质可以求得f（x）在[2，+∞）上的最小值．‎ ‎【解答】解：（1）由x+﹣2＞0得，＞0‎ 即＞0‎ ‎∵（x﹣1）2≥0‎ ‎∴a＞1时，定义域为（0，+∞）‎ a=1时，定义域为{x|x＞0且x≠1}，‎ ‎0＜a＜1时，定义域为{x|0＜x＜1﹣或x＞1+}‎ ‎（2）设g（x）=x+﹣2，当a∈（1，4），x∈[2，+∞）时，‎ g'（x）=1﹣=＞0恒成立，‎ ‎∴g（x）=x+﹣2在[2，+∞）上是增函数，‎ ‎∴f（x）=lg（x+﹣2）在[2，+∞）上是增函数，‎ ‎∴f（x）=lg（x+﹣2）在[2，+∞）上的最小值为f（2）=lg ‎　‎ ‎18．3名志愿者在10月1号至10月5号期间参加社区服务工作．‎ ‎（Ⅰ）若每名志愿者在这5天中任选一天参加社区服务工作，且各志愿者的选择互不影响，求3名志愿者恰好连续3天参加社区服务工作的概率；‎ ‎（Ⅱ）若每名志愿者在这5天中任选两天参加社区服务工作，且各志愿者的选择互不影响，记ξ表示这3名志愿者在10月1号参加社区服务工作的人数，求随机变量ξ的分布列．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由题意知3名志愿者每人任选一天参加社区服务，共有53种不同的结果，这些结果出现的可能性都相等．满足条件的事件是3名志愿者恰好连续3天参加社区服务工作共包括3A33不同的结果．根据概率公式做出概率．‎ ‎（II）ξ表示这3名志愿者在10月1号参加社区服务工作的人数，随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，类似于第一问的做法，写出变量的分布列，或者不同可以先判断变量服从二项分布，利用二项分布的公式，得到要求的结果．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）3名志愿者每人任选一天参加社区服务，共有53种不同的结果，这些结果出现的可能性都相等．‎ 设“3名志愿者恰好连续3天参加社区服务工作”为事件A则该事件共包括3A33不同的结果．‎ 所以．‎ 即3名志愿者恰好连续3天参加社区服务工作的概率为．‎ ‎（Ⅱ）解法1：随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3．‎ ‎，‎ ‎．‎ 随机变量ξ的分布列为：‎ ξ ‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 解法2：日参加社区服务的概率均为．‎ 则三名志愿者在10月1日参加社区服务的人数．‎ ‎，i=0，1，2，3‎ ‎∴分布列为：‎ ξ ‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎　‎ ‎19．已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=1，BC=2，又PB⊥平面ABCD，且PB=1，点E在棱PD上，且DE=2PE．‎ ‎（Ⅰ）求异面直线PA与CD所成的角的大小；‎ ‎（Ⅱ）求证：BE⊥平面PCD；‎ ‎（Ⅲ）求二面角A﹣PD﹣B的大小．‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．‎ ‎【分析】（1）由于直线PA与CD不在同一平面内，要把两条异面直线移到同一平面内，做AF∥CD，异面直线PA与CD所成的角与AF与PA所成的角相等．‎ ‎（2）由三角形中等比例关系可得BE⊥PD，由于CD=BD=得，BC=2，可知三角形BCD为直角三角形，即CD⊥DB．同时利用勾股定理也可得CD⊥PD，即可得CD⊥平面PDB．即CD⊥BE，即可得证．‎ ‎（3）连接AF，交BD于点O，则AO⊥BD．过点O作OH⊥PD于点H，连接AH，则AH⊥PD，则∠AHO为二面角A﹣PD﹣B的平面角．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）取BC中点F，连接AF，则CF=AD，且CF∥AD，‎ ‎∴四边形ADCF是平行四边形，∴AF∥CD，‎ ‎∴∠PAF（或其补角）为异面直线PA与CD所成的角 ‎∵PB⊥平面ABCD，∴PB⊥BA，PB⊥BF．‎ ‎∵PB=AB=BF=1，∴AB⊥BC，∴PA=PF=AF=． ‎ ‎∴△PAF是正三角形，∠PAF=60°‎ 即异面直线PA与CD所成的角等于60°． ‎ ‎（Ⅱ）在Rt△PBD中，PB=1，BD=，∴PD=‎ ‎∵DE=2PE，∴PE=‎ 则，∴△PBE∽△PDB，∴BE⊥PD、‎ 由（Ⅰ）知，CF=BF=DF，∴∠CDB=90°．‎ ‎∴CD⊥BD、又PB⊥平面PBD，∴PB⊥CD、‎ ‎∵PB∩BD=B，∴CD⊥平面PBD，∴CD⊥BE ‎ ‎∵CD∩PD=D，∴BE⊥平面PCD、‎ ‎（Ⅲ）连接AF，交BD于点O，则AO⊥BD、‎ ‎∵PB⊥平面ABCD，∴平面PBD⊥平面ABD，∴AO⊥平面PBD、‎ 过点O作OH⊥PD于点H，连接AH，则AH⊥PD、‎ ‎∴∠AHO为二面角A﹣PD﹣B的平面角． ‎ 在Rt△ABD中，AO=．‎ 在Rt△PAD中，AH=． ‎ 在Rt△AOH中，sin∠AHO=．‎ ‎∴∠AHO=60°．‎ 即二面角A﹣PD﹣B的大小为60°． ‎ ‎　‎ ‎20．已知数列{an}满足a1=1，an2=（2an+1）an+1（n∈N*）．‎ ‎（1）求a2、a3的值；‎ ‎（2）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（3）求证：＜7．‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】（1）利用递推关系，取n=1，2即可得出．‎ ‎（2）an2=（2an+1）an+1（n∈N*），两边取倒数可得： =，取对数利用等比数列的通项公式即可得出．‎ ‎（3）由（2）得，利用二项式定理进行放缩，再利用函数的单调性与数列的单调性即可得出．‎ ‎【解答】（1）解：由已知得，．‎ ‎（2）解：由已知得an＞0，∴==﹣1，∴=，‎ 取对数可得：，‎ 数列是首项为，公比为2的等比数列，‎ 因此．‎ ‎（3）证明：由（2）得，‎ 因此，‎ 由于，当n≥4时，，‎ 当n≥4时，， =，所以．‎ 不难验证当n=1，2，3时，不等式也成立，‎ 综上所述，．‎ ‎　‎ ‎21．已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，短轴两个端点为A、B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若C、D分别是椭圆长的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P．证明：为定值．‎ ‎（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】（1）由题意知a=2，b=c，b2=2，由此可知椭圆方程为．‎ ‎（2）设M（2，y0），P（x1，y1），，直线CM：，代入椭圆方程x2+2y2=4，得，然后利用根与系数的关系能够推导出为定值．‎ ‎（3）设存在Q（m，0）满足条件，则MQ⊥DP．，再由，由此可知存在Q（0，0）满足条件．‎ ‎【解答】解：（1）a=2，b=c，a2=b2+c2，∴b2=2；‎ ‎∴椭圆方程为 ‎（2）C（﹣2，0），D（2，0），设M（2，y0），P（x1，y1），‎ 直线CM：，代入椭圆方程x2+2y2=4，‎ 得 ‎∵x1=﹣，∴，∴，∴‎ ‎∴（定值）‎ ‎（3）设存在Q（m，0）满足条件，则MQ⊥DP 则由，从而得m=0‎ ‎∴存在Q（0，0）满足条件 ‎　‎ ‎22．已知函数，‎ ‎（1）若函数f（x）在[1，+∞）上是增函数，求正实数a的取值范围；‎ ‎（2）a=1时，求f（x）在上的最大值和最小值；‎ ‎（3）a=1时，求证：对大于1的正整数n，．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎【分析】（1）若函数f（x）在[1，+∞）上是增函数，则[1，+∞）是函数增区间的子区间，求函数的导数，令导数大于0，求出函数的单调增区间，再让[1，+∞）的区间端点与函数增区间的区间端点比较即可．‎ ‎（2）a=1时，求f（x）的导数，再令导数等于0，得到的x的值为函数的极值点，在借助函数在的单调性，判断函数当x为何值时有最大值，何时有最小值．‎ ‎（3）借助（2）中判断的函数在的单调性，把证明转化为比较函数值大小的问题．‎ ‎【解答】解：（1）由已知：，‎ 依题意：对x∈[1，+∞）成立，‎ ‎∴ax﹣1≥0，对x∈[1，+∞）恒成立，即，对x∈[1，+∞）恒成立，‎ ‎∴，即a≥1． ‎ ‎（2）当a=1时，，‎ 若，则f'（x）＜0，‎ 若x∈（1，2]，则f'（x）＞0，‎ 故x=1是函数f（x）在区间上唯一的极小值点，也就是最小值点，‎ 故f（x）min=f（1）=0． ‎ 又，‎ ‎∵e3＞2.73=19.683＞16，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴f（x）在上最大值是=1﹣ln2，‎ ‎∴f（x）在最大1﹣ln2，最小0． ‎ ‎（3）当a=1时，由（1）知，在[1，+∞）是增函数．‎ 当n＞1时，令，则x＞1，∴f（x）＞f（1）=0，‎ 即，‎ 即．‎ ‎　‎ ‎2016年12月15日