数学（理）卷·2017届河北省武邑中学高三下学期第四次模拟考试（2017 10页

河北武邑中学2016-2017学年下学期高三第四次模拟考试 数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．集合，则中元素的个数为（ ）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎2．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．设向量，，则“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．某校高考数学成绩近似地服从正态分布，且，则的值为（ ）‎ A．0.49 B．0.48 C．0.47 D．0.46‎ ‎5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．设为中边上的中点，且为边上靠近点的三等分点，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎7．执行如图的程序框图，则输出的值是（ ）‎ A．2016 B．1024 C． D．‎ ‎8．已知是椭圆：上的一点，，是的两个焦点，若，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．在平行四边形中，，，，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）‎ A． B．27 C． D．‎ ‎11．已知点，分别为双曲线（，）的右焦点与右支上的一点，为坐标原点，若，，且，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．设函数，记，若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．已知正项等比数列中，，其前项和为（），且，则 ．‎ ‎14．设，将函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，则的最小值是 ．‎ ‎15．设，，，若以，，为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三角形有 个．‎ ‎16．直线与圆：相交于两点、.若，为圆上任意一点，则的取值范围是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17．已知数列的前项和为，且对一切正整数恒成立.‎ ‎（1）试求当为何值时，数列是等比数列，并求出它的通项公式；‎ ‎（2）在（1）的条件下，当为何值时，数列的前项和取得最大值.‎ ‎18．某种药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘，由于下雨会影响药材的收益，若基地收益如下表所示：已知下周一和下周二无雨的概率相同且为，两天是否下雨互不影响，若两天都下雨的概率为0.04.‎ ‎（1）求及基地的预期收益；‎ ‎（2）若该基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务，若周一无雨时收益为11万元，有雨时收益为6万元，且额外聘请工人的成本为5000元，问该基地是否应该额外聘请工人，请说明理由.‎ ‎19．在四棱锥中，，，是的中点，面面.‎ ‎（Ⅰ）证明：面；‎ ‎（Ⅱ）若，，求二面角的余弦值.‎ ‎20．已知圆：，定点，是圆上的一动点，线段的垂直平分线交半径于点.‎ ‎（Ⅰ）求点的轨迹的方程；‎ ‎（Ⅱ）四边形的四个顶点都在曲线上，且对角线，过原点，若，求证：四边形的面积为定值，并求出此定值.‎ ‎21．已知函数（，且）.‎ ‎（1）当，取一切非负实数时，若，求的范围；‎ ‎（2）若函数存在极大值，求的最小值.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 将圆（为参数）上的每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍，得到曲线.‎ ‎（1）求出的普通方程；‎ ‎（2）设直线：与的交点为，，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程.‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）解关于的不等式；‎ ‎（2）设，，试比较与的大小.‎ 数学（理）参考答案 一、选择题 ‎1-5:DABDC 6-10:ADDBD 11、12：DA 二、填空题 ‎13．180 14． 15．27个 16．‎ 三、解答题 ‎17．解：（1）由得：当时，，‎ 两式相减得：，‎ 因为数列的是等比数列，所以，‎ 又因为，所以解得：‎ 得：‎ ‎（2）易得数列是一个递减数列，‎ 所以 由此可知当时，数列的前项和取最大值.‎ ‎18．（1）两天都下雨的概率为，解得 该基地收益的可能取值为10，8，5.（单位：万元）则：‎ ‎，，‎ 所以该基地收益的分布列为：‎ 则该基地的预期收益（万元）‎ 所以，基地的预期收益为9.16万元 ‎（2）设基地额外聘请工人时的收益为万元，则其预期收益：‎ ‎（万元）‎ 此时，所以该基地应该外聘工人.‎ ‎19．解：（Ⅰ）证明：取的中点，连接，.‎ 因为是的中位线，所以.‎ 又，所以，所以四边形是平行四边形.‎ 所以，又面，面，所以面.‎ ‎（Ⅱ）取的中点，连接，则，所以四边形是平行四边形.‎ 所以，所以在以为直径的圆上.‎ 所以，可得.‎ 过做于，因为面面，且面面，‎ 所以面，所以.‎ 过做于，则面，连接，则，所以是二面角的平面角.‎ 在中，，连接，.‎ 在中，.‎ ‎，即二面角的余弦值.‎ ‎20．解：（Ⅰ）因为在线段的中垂线上，所以.‎ 所以，‎ 所以轨迹是以，为焦点的椭圆，且，，所以，‎ 故轨迹的方程.‎ ‎（Ⅱ）证明：不妨设点、位于轴的上方，则直线的斜率存在，设的方程为，，.‎ 联立，得，‎ 则，.①‎ 由，‎ 得.②‎ 由①、②，得.③‎ 设原点到直线的距离为，‎ ‎，‎ ‎④‎ 由③、④，得，故四边形的面积为定值，且定值为.‎ ‎21．解：（1）当时，，原题分离参数得恒成立，右边求导分析即可，问题背景实际是泰勒展开的前三项.答案：‎ ‎（2），‎ ‎①当时，，，所以，所以在上为单增函数，无极大值；‎ ‎②当时，设方程的根为，则有，即，所以在上为增函数，在上为减函数，所以的极大值为，即，因为，所以，令则，‎ 设，，则，令，得，所以在上为减函数，在上为增函数，所以得最小值为，即的最小值为，此时.‎ ‎22．解：（1）设为圆上的任意一点，在已知的变换下变为上的点，‎ 则有 ‎（为参数）（为参数）‎ ‎（2）解得：或 所以，，则线段的中点坐标为，所求直线的斜率，于是所求直线方程为，即.‎ 化为极坐标方程得：，即 ‎23．‎ 得或或，解得或或，‎ 所以不等式的解集为.‎ ‎（2）由（1）易知，所以，.由于 ‎.‎ 且，，所以，，即，‎ 所以.‎