数学理卷·2017届四川省成都外国语学校高三4月月考（2017 11页

成都外国语学校高2014级4月月考试题 理科数学 命题人：李 斌 审题人：刘 丹 一、 选择题 ‎1、已知集合，则（ ）D A. B. C. D. ‎ ‎2、已知复数满足为虚数单位），则（ ）C A. B. C. D. ‎ 甲 ‎0.8‎ ‎0.4‎ ‎1.99‎ 乙 x y O ‎3、甲、乙两类水果的质量（单位：）分别服从正态分布，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是（ ）A A. 乙类水果的质量服从的正态分布的参数 ‎ B. 甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均左右 C. 甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D. 甲类水果的平均质量 ‎4、将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则图象的一条对称轴是（ ）C A． B． C． D．‎ ‎5、已知的三个顶点及平面内一点满足，则点与的关系为（　　）D A．在内部 B．在外部 ‎ C．在边所在直线上 D．是边的一个三等分点 ‎6、如图，正方体的棱长为，以顶点A为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于( )A A． B． C． D．‎ ‎【解析】由题得, 圆弧在以B为圆心,半径为BG的圆上，而圆弧在以A为圆心,半径为AE=2的圆上.故=,由于 ‎,故,则,所以+=.故选A.‎ ‎7、执行如图的程序框图，若程序运行中输出的一组数是，则的值为（ ）B A. B. C. D. ‎ ‎8、已知是正实数，且，当时，下列不等式成立的是（ ）A A． B． ‎ C． D． ‎ ‎9、如果关于的不等式和的解集分别为和，那么称这两个不等式为对偶不等式，如果不等式与不等式为对偶不等式，且为钝角，那么等于（ ）C A． B． C． D． ‎ ‎10、已知分别为双曲线的左、右焦点，是双曲线的左支上的任意一点，当取得最小值时，双曲线的离心率为（ ）D A．2 B． C．3 D．5‎ ‎11、已知是数列的前项和，，若数列是以2为公比的等比数列，则的值为（ ）A A． B． C． D．‎ ‎12、若函数有个解，则称函数为“复合解”函数。已知函数（其中为自然对数的底数，），且函数为“复合5解”函数，则的取值范围为（ ）D A． B． C． D．‎ 一、 填空题 ‎13、若二直线与两坐标轴所围成的四边形有外接圆，则实数的取值集合为__________‎ 答案：‎ ‎14、当实数，满足不等式组时，恒有成立，则实数的取值范围是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】满足不等式组的平面区域如图所示，由于对任意的实数，不等式恒成立，根据图形，可得斜率或，解得，则实数的取值范围是．‎ ‎15、过双曲线的左焦点作圆的切线交双曲线的右支于点，切点为，的中点在第一象限，为坐标原点，则与的大小关系为_____________‎ 答案:‎ ‎16、设函数（为实常数）为奇函数，函数且）．当时，对所有的及恒成立，则实数的取值范围________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由得，∴．∵‎ ‎①当，即时，在上为增函数，最大值为．‎ ‎②当，即时，∴在上为减函数，‎ ‎∴最大值为．∴‎ 由（2）得在上的最大值为，‎ ‎∴即在上恒成立，令，‎ ‎ 即 所以．‎ 考点：（1）函数的奇函数．（2）指数函数的性质．（3）恒成立问题及函数思想．‎ 一、 解答题 ‎17、在中，所对的边分别为函数在处取得最大值．‎ ‎（1）当时，求函数的值域；（2）若且,求的面积．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）‎ 因为函数在处取得最大值，所以，得 所以 因为，所以，则函数值域为 ‎(2）因为 所以，则 所以，由余弦定理得 所以，又因为，，所以 则面积．‎ ‎18、近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重。大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病。为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机对头入院的50人进行问卷调查，得到了如下的列联表：‎ 患心肺疾病 不患心肺疾病 合计 男 ‎20‎ ‎5‎ ‎25‎ 女 ‎10‎ ‎15‎ ‎25‎ 合计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ （1） 用分层抽样的方法在患心肺疾病的人群中抽6人，其中男性抽多少人？‎ （2） 在上述抽取的6人中选2人，求恰好有1名女性的概率；‎ （3） 为了研究心肺疾病是否与性别有关，请计算出统计量，你有多大把握认为心肺疾病与性别有关？（结果保留三个有效数字）‎ 下面的临界值表供参考：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879 ‎ ‎10.828‎ 参考公式:，其中 解：（1）在患心肺疾病的人群中抽6人，其中男性抽4人；‎ （2） 设4男分为：；2女分为：，则6人中抽出2人的所有抽法：‎ AB、AC、AD、AM、AN、BC、BD、BM、BN、CD、CM、CN、DM、DN、MN共15种抽法，其中恰好有1个女生的抽法有8种 所以恰好有1个女生的概率为 （2） 由列联表得，查临界值表知：有把握认为心肺疾病与性别有关 ‎19、如图，在四棱锥中，平面平面．‎ ‎（Ⅰ）求棱锥的体积；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅲ）在线段上是否存在一点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（I）；（II）证明见解析；（III）存在，．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（I）在在中，，可得，由于平面，可的棱锥的高，利用体积公式求解几何体的体积；（II）由平面，可得，进而得到平面，即可证明平面平面；（III）在线段上存在一点，使得平面，，设F为线段DE上的一点，且，过F作，由线面垂直的性质可得，可得四边形ABMF是平行四边形，于是，即可证明平面．‎ 试题解析：（Ⅰ）在中，‎ 因为平面，‎ 所以棱锥的体积为．‎ ‎（Ⅱ）证明：因为 平面，平面，‎ 所以．又因为，，‎ 所以平面．又因为平面，‎ 所以平面平面．‎ ‎（Ⅲ）结论：在线段上存在一点，且，使平面．‎ 解：设为线段上一点， 且，过点作交于，‎ 则．因为平面，平面，所以．‎ 又因为所以，，所以四边形是平行四边形，‎ 则．又因为平面，平面，所以平面．‎ 20、 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点是椭圆 的一个顶点，过点且斜率为的直线交椭圆于另一点，交抛物线于两点，线段的中点为，直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，满足。‎ ‎（1）求椭圆的方程；（2）记的面积为，的面积为，设，求实数的最大值及取得最大值时直线的方程。‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）由题意设出直线l的方程为y=kx+1，与椭圆方程联立，求出D的坐标，利用中点坐标公式求得M的坐标，得到OM的斜率结合已知求得a值，则椭圆方程可求；‎ ‎（2）由（1），知点D的坐标为（），又F（0，1），可得|DF|．由，利用弦长公式求得|AB|．求出直线OM的方程为y=﹣．‎ 由，求得P、Q的坐标，由点到直线的距离公式求得点P到直线kx﹣y+1=0的距离，点Q到直线kx﹣y+1=0的距离．代入三角形面积公式，整理后利用基本不等式求得实数λ的最大值及取得最大值时直线l的方程．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可设直线l的方程为y=kx+1，‎ 联立，得（1+a2k2）x2+2a2kx=0．解得：，．‎ ‎∴M（，），则k′=，‎ 由，得．∴a2=4．‎ 则椭圆C的方程为；‎ ‎（2）由（1），知点D的坐标为（），又F（0，1），‎ ‎∴|DF|=．‎ 由，得x2﹣4kx﹣4=0．△=16k2+16＞0恒成立．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4k，x1x2=﹣4．‎ 因此=．‎ 由题意，直线OM的方程为y=﹣．‎ 由，得（1+4k2）x2﹣16k2=0．‎ 显然，△=﹣4（1+4k2）（﹣16k2）＞0恒成立，且x=．‎ 不妨设，则．‎ ‎∴点P的坐标为（），而点Q的坐标为（）．‎ 点P到直线kx﹣y+1=0的距离，‎ 点Q到直线kx﹣y+1=0的距离．‎ ‎∴=．‎ ‎==．‎ ‎∴S1S2=。=．‎ ‎∵，‎ ‎∴==．‎ 当且仅当3k2=k2+1，即k=时，等号成立．‎ ‎∴实数λ的最大值为，λ取最大值时的直线方程为．‎ ‎21．已知函数在处的切线与直线垂直。‎ ‎（1）求函数的导函数）的单调递增区间；‎ ‎（2）记函数，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值。‎ 解：（1）由题意可得：，可得：；‎ 而，则，所以；‎ 当时，单调递增；‎ 当时，单调递减；故函数的单调增区间为.‎ ‎（2），‎ 因为是的两个极值点，故是方程的两个根，由韦达定理可知：，，可知，则 令，可证在递减，由，从而可证.‎ 所以 令 所以在上单调减，故，‎ 所以，即.‎ 请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分．‎ ‎22、（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程 已知曲线C的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线l：与曲线相交于A、B两点，设线段AB的中点为M，求的最大值．‎ 解：（I）曲线C的普通方程为，-------------------------------------2分 由，得；---------------------------------------5分 ‎（II）解法1：联立和，‎ 得，-----------------------------------------------------------------6分 设、，则，---------8分 由， 得，--------------------------------9分 当时，|OM|取最大值．----------------------------------------------------------------10分 ‎【解法2：由（I）知曲线C是以点P为圆心，以2为半径的圆，在直角坐标系中，直线的方程为，则，-----------------------------------------------------6分 ‎∵，---------------------------------8分 当时，，，，当且仅当，即时取等号，‎ ‎∴,即的最大值为．------------------------------------------------------------10分】‎ ‎23、（本小题满分10分）选修45：不等式选讲 设函数．（Ⅰ）当时，解不等式；‎ ‎（Ⅱ）设，当时，求证：．‎ 解：（I）当时，不等式即 ‎ 当时，得，∴-----------------------------------------1分 当时，得，∴------------------------------2分 当时，得，与矛盾，--------------------------------------3分 综上得原不等式的解集为=-------------------------5分 ‎（II）-----------------------------------------------6分 ‎∵，‎ ‎∴--------------------------------------------------7分 ‎，------------------------------------------------------9分 当时取“=”，得证． ------------------------------------------------------------------------10分