数学卷·2019届广西桂林、百色、梧州、崇左、北海五市高二上学期联合模拟考试数学（理）试题（解析版）x 20页

广西桂林、百色、梧州、崇左、北海五市联合模拟考试 数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 若集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】，，则.‎ 本题选择A选项.‎ ‎2. 下面是关于复数的四个命题:；；的共轭复数为；的虚部为，其中真命题为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为的虚部为，所以是真命题，则应选答案C。‎ ‎3. 在如图所示的矩形中，，为线段上的点，则的最小值为（ ）‎ A. 12 B. 15 C. 17 D. 16‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 建立如图所示的平面直角坐标系，则，，所以，应选答案B。‎ ‎4. 如图是2017年第一季度五省情况图，则下列陈述正确的是（ ）‎ ‎①2017年第一季度总量和增速均居同一位的省只有1个；‎ ‎②与去年同期相比，2017年第一季度五个省的总量均实现了增长；‎ ‎③去年同期的总量前三位是江苏、山东、浙江；‎ ‎④2016年同期浙江的总量也是第三位.‎ A. ①② B. ②③④ C. ②④ D. ①③④‎ ‎【答案】B ‎【解析】总量排序为：江苏，山东，浙江，河南，辽宁；‎ 增速排序为：江苏，辽宁，山东，河南，浙江；‎ 则总量和增速均居同一位的省有河南，江苏两省，说法①错误；‎ 与去年同期相比，2017年第一季度五个省的总量均实现了增长，说法②正确；‎ 去年同期的总量前三位是江苏、山东、浙江，说法③正确；‎ ‎2016年的GDP量计算为：‎ 浙江：，江苏：，‎ 河南：，山东：，‎ 辽宁：，‎ 据此可知，2016年同期浙江的总量也是第三位，说法④正确.‎ 本题选择B选项.‎ ‎5. 若函数在区间上的最大值为1，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由函数的解析式结合正弦函数的性质可知：，‎ 即：.‎ 本题选择C选项.‎ ‎6. 若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】，，，故选B.‎ ‎【 方法点睛】本题主要考查指数函数的性质、对数函数的性质及比较大小问题，属于中档题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.‎ ‎7. 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的（ ）‎ A. 15 B. 29 C. 31 D. 63‎ ‎【答案】D ‎【解析】流程图执行过程如下：初始条件：，‎ 第一次循环：；‎ 第二次循环：；‎ 第三次循环：；‎ 第四次循环：；‎ 此时跳出循环，输出B的值为63.‎ 本题选择D选项.‎ ‎8. 在中，角所对的边分别为，已知，为锐角，那么角的比值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由正弦定理：，B为锐角，则：，角的比值为 。‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．‎ ‎9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】如图所示，在长宽高分别为的长方体中，三棱柱为该三视图所对应的几何体，各个面的面积：‎ ‎，，,.‎ 该几何体的表面积为.‎ 本题选择A选项.‎ ‎10. 在三棱锥中，平面平面，与均为等腰直角三角形，且,,点是线段上的动点，若线段上存在点，使得异面直线与成的角，则线段的长度的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 设的中点为，连，因，故建立如图所示的空间直角坐标系，则，则，所以，，所以，即，也即，由此可得，结合可得，所以，则，即，应选答案B。‎ 点睛：解答本题的关键是建立空间直角坐标系，将题设中的异面直线所成角这一条件翻译出来，因为这是求解线段长度范围的先决条件与前提，也是解答本题是突破口。求解由于变量较多，因此运用消元思想和整体代换的数学思想，使得问题的求解有章可循，进而获得答案，本题对计算能力要求较高，具有一定的难度。‎ ‎11. 设为双曲线右支上一点，分别是圆和上的点，设的最大值和最小值分别为，则（ ）‎ A. 4 B. 5 C. 6 D. 7‎ ‎【答案】C ‎【解析】双曲线的两个焦点为为两个圆的圆心，半径分别为，，故的最大值为，同理的最小值为 ‎，，故选C.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查双曲线的定义、圆的几何性质及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法.‎ ‎12. 表示一个两位数，十位数和个位数分别用表示，记，如，则满足的两位数的个数为（ ）‎ A. 15 B. 13 C. 9 D. 7‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题设可得，即，取1,2,3,4,5,6,7,8,9，共九个，故应选答案C。‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 已知实数满足不等式组，则的最大值是__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】绘制不等式组表示的平面区域，目标函数表示点与点之间连线的斜率，观察可得，目标函数在点处取得最大值：，‎ 即的最大值是.‎ 点睛：本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．‎ ‎14. 已知，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 由，解得。‎ ‎∴。‎ 答案：。‎ 点睛：‎ ‎（1）对于这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可求，转化的公式为；‎ ‎（2）利用平方关系求三角函数值时，要根据角所在的象限或范围先判断函数值的符号，再经过两边开方正确取舍得到所求的值．‎ ‎15. 直线分别与曲线交于两点，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】当是，由题意可得：，‎ 令，则：，‎ 当时，，函数单调递增，‎ 当时，，函数单调递减，‎ 函数的最大值为，‎ 据此可知的最小值为2.‎ ‎16. 设圆满足：①截轴所得弦长为2；②被轴分成两段圆弧，其弧长的比为；③圆心到直线的距离为.当最小时，圆的面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 如图，设圆心坐标，则，所以圆心到直线的距离，故，由于，故（当且仅当取等号），此时，故圆的面积，应填答案。‎ 点睛：解答本题的关键是充分依据题设条件建立圆心坐标与半径之间的关系，再求的最小值。求解最值时，巧妙借助基本不等式从而使得问题简捷、巧妙获解。‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知各项均为正数的等差数列满足：，且成等比数列，设的前项和为.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设数列的前项和为，求证：.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎，然后再运用错位相减求和法进行求出，最后运用放缩法进行推证：‎ ‎（Ⅰ）解：根据题意，等差数列中，设公差为，，且，，成等比数列，，‎ 即解得，，‎ 所以数列的通项公式为．‎ ‎（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，则，‎ ‎∴．‎ ‎∴，（*）‎ ‎，（**）‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎18. 某公司为了准确地把握市场，做好产品生产计划，对过去四年的数据进行整理得到了第年与年销量（单位：万件）之间的关系如下表：‎ ‎（1）在图中画出表中数据的散点图；‎ ‎（2）根据（1）中的散点图拟合与的回归模型，并用相关系数加以说明；‎ ‎（3）建立关于的回归方程，预测第5年的销售量约为多少？‎ 附注：参考数据： ‎ 参考公式：相关系数.‎ 回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：‎ ‎，.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）可以用线性回归模型拟合与的关系.（3）第5年的销售量约为71万件.‎ ‎【解析】【试题分析】（1）依据题设条件中的表格中的数据作为坐标在平面直角坐标系中将点画出即为散点图；（2）先借助问题（1）中的散点图推断这些点位于一条直线的周围，再运用平均数公式求纵横坐标的平均数，进而运用公式求相关系数；（3）先借助（2）的结论求出线性回归方程中的，得到回归方程，再运用回归方程进行分析求解：‎ 解：（Ⅰ）作出散点图如图：‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）散点图可知，各点大致分布在一条直线附近，由题中所给表格及参考数据 得：‎ ‎，，，，，，，‎ ‎．‎ ‎∵与的相关系数近似为0.9996，说明与的线性相关程度相当大，‎ ‎∴可以用线性回归模型拟合与的关系．‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知：，，，，，‎ ‎，，‎ 故关于的回归直线方程为，‎ 当时，，‎ 所以第5年的销售量约为71万件．‎ ‎19. 如图，在正三棱柱中，点分别是棱上的点，且.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若，求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】【试题分析】（1）先运用面面垂直的性质定理证明平面，再运用面面垂直的判定定理进行分析推证平面 平面；（2）建立空间直角坐标系，借助空间向量的坐标形式的运算及空间向量的数量积公式求两个半平面的法向量，再运用向量的数量积公式进行求解：‎ ‎（Ⅰ）证明：取线段的中点，取线段的中点，连接，，，则，‎ 又，‎ ‎∴是平行四边形，故．‎ ‎∵，平面平面，平面平面 ，‎ ‎∴平面，而，‎ ‎∴平面，‎ ‎∵平面，‎ ‎∴平面 平面．‎ ‎（Ⅱ）以、、为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，‎ 设平面的一个法向量，‎ 则有即 令，则，‎ 设平面的一个法向量，‎ 则有即 令，则，‎ 设二面角的平面角，‎ 则．‎ 点睛：立体几何是高中数学中的重要内容，也是高考重点考查的考点与热点。这类问题的设置一般有线面位置关系的证明与角度距离的计算等两类问题。解答第一类问题时一般要借助线面平行与垂直的判定定理进行；解答第二类问题时先建立空间直角坐标系，运用空间向量的坐标形式及数量积公式进行求解。‎ ‎20. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点 的四边形的周长为8，面积为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若点为椭圆上一点，直线的方程为：，求证：直线与椭圆有且只有一个交点.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)利用题意求得，，椭圆的方程为．‎ ‎(2)首先讨论当的情况，否则联立直线与椭圆的方程，结合直线的特点整理可得直线与椭圆有且只有一个交点．‎ 试题解析：（Ⅰ）依题意，设椭圆的方程为，焦距为，‎ 由题设条件知，，，‎ ‎，，‎ 所以，，或，（经检验不合题意舍去），‎ 故椭圆的方程为．‎ ‎（Ⅱ）当时，由，可得，‎ 当，时，直线的方程为，直线与曲线有且只有一个交点．‎ 当，时，直线的方程为，直线与曲线有且只有一个交点．‎ 当时，直线的方程为，联立方程组 消去，得．①‎ 由点为曲线上一点，得，可得．‎ 于是方程①可以化简为，解得，‎ 将代入方程可得，故直线与曲线有且有一个交点，‎ 综上，直线与曲线有且只有一个交点，且交点为．‎ ‎21. 设函数，曲线在点处的切线方程为.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若，，试判断三者是否有确定的大小关系，并说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(Ⅰ) 由题意可得,求解可得结论;‎ ‎(Ⅱ) 由(Ⅰ)知,(i),利用对数的运算性质与基本不等式求解可得结论; (ii), 设函数，，求导并判断函数的单调性,易得结论; (iii), 设，,同理求解 即可.‎ 试题解析：‎ ‎ (Ⅰ).‎ 由于所以，.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知.‎ ‎(i),‎ 而，故 ‎(ii)=.‎ 设函数，，‎ 则，.‎ 当时，，所以在上单调递增；‎ 又，因此在上单调递增.‎ 又，所以，即，即 ‎(iii)=.‎ 设，.‎ 则，有.‎ 当时，，所以在上单调递增，有.‎ 所以在上单调递增.‎ 又，所以，即，故 综上可知：‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. 选修4一4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；‎ ‎（2）设点为曲线上任意一点，求点到直线的距离的最大值.‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)利用互化公式可得直线的直角坐标方程和曲线的普通方程分别为，.‎ ‎(2)利用距离公式得到三角函数式，结合三角函数的性质可得点到直线的距离的最大值为.‎ 试题解析：（Ⅰ）因为直线的极坐标方程为，‎ 即，即．‎ 曲线的参数方程为（是参数），利用同角三角函数的基本关系消去，‎ 可得．‎ ‎（Ⅱ）设点为曲线上任意一点，则点到直线的距离 ‎，‎ 故当时，取最大值为．‎ 点睛：涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决．‎ ‎23. 选修4一5:不等式选讲 ‎ 已知函数.‎ ‎（1）若不等式恒成立，求实数的最大值；‎ ‎（2）当时，函数有零点，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）1（2）‎ ‎ ‎ 试题解析:（1）‎ ‎∵ ∴，的最大值为1.‎ ‎（2）‎ 即 在处取到最小值，即，，通分后的 解集为与题干中取交集得.‎ ‎ ‎