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- 2021-06-17 发布
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第六章 不等式、推理与证明
第一节不等关系与不等式
基础盘查一 两个实数比较大小的方法
(一)循纲忆知
1．了解现实世界和日常生活中的不等关系；
2．了解不等式(组)的实际背景．
(二)小题查验
判断正误
(1)不等关系是通过不等式来体现的，离开了不等式，不等关系就无从体现( )
(2)两个实数a，b之间，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三种关系中的一种( )
(3)若＞1，则a＞b( )
答案：(1)√ (2)√ (3)×
基础盘查二 不等式的基本性质
(一)循纲忆知
掌握不等式的性质及应用．
(二)小题查验
1．判断正误
(1)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变( )
(2)一个非零实数越大，则其倒数就越小( )
(3)同向不等式具有可加和可乘性( )
(4)a＞b＞0，c＞d＞0⇒＞( )
(5)若ab＞0，则a＞b⇔＜
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
2．(人教A版教材习题改编)用不等号“＞”或“＜”填空：
(1)a＞b，c＜d⇒a－c________b－d；
(2)a＞b＞0，c＜d＜0⇒ac________bd；
(3)a＞b＞0⇒________；
(4)a＞b＞0⇒________.
答案：(1)＞ (2)＜ (3)＞ (4)＜
|(基础送分型考点——自主练透)
[必备知识]
两个实数比较大小的法则
关系
法则
作差法则
作商法则
a＞b
a－b＞0
＞1(a，b＞0)或＜1(a，b＜0)
a＝b
a－b＝0
＝1(b≠0)
a＜b
a－b＜0
＜1(a，b＞0)或＞1(a，b＜0)
[题组练透]
1．已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是( )
A．MN
C．M＝N D．不确定
解析：选B M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)
＝a1a2－a1－a2＋1
＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)，
又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，
∴a1－1<0，a2－1<0.
∴(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0.
∴M >N.
2．若a＝，b＝，则a____b(填“＞”或“＜”)．
解析：易知a，b都是正数，＝＝log89＞1，所以b＞a.
答案：＜
3．若实数a≠1，比较a＋2与的大小．
解：∵a＋2－＝＝.
∴当a>1时，a＋2>；
当a<1时，a＋2<.
[类题通法]
比较两个数(式)大小的两种方法
(1)比较大小时，要把各种可能的情况都考虑进去，对不确定的因素需进行分类讨论，每一步运算都要准确，每一步推理都要有充分的依据．
(2)用作商法比较代数式的大小一般适用于分式、指数式、对数式，作商只是思路，关键是化简变形，从而使结果能够与1比较大小．
|(重点保分型考点——师生共研)
[必备知识]
1．不等式的基本性质
(1)对称性：a>b⇔bb，b>c⇒a>c.
(3)可加性：a>b⇒a＋c>b＋c.
(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒acb，c>d⇒a＋c>b＋d.
(6)乘法法则：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd.
(7)乘方法则：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)．
(8)开方法则：a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)．
2．不等式的倒数性质
(1)a>b，ab>0⇒<.
(2)a<0b>0,0.
[提醒] 不等式两边同乘数c时，要特别注意“乘数c的符号”．
[典题例析]
1．(2013·天津高考)设a，b∈R则“(a－b)·a2<0”是“ab>0，则下列不等式不成立的是( )
A.< B．|a|>|b|
C．a＋b<2 D.ab>0，∴<，且|a|>|b|，a＋b>2，又2a>2b，∴a0>a；②0>a>b；③a>0>b；④a>b>0中，能推出<成立的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选C <成立，即<0成立，逐个验证可得，①②④满足题意．
5．若<<0，则下列结论不正确的是( )
A．a2|a＋b|
解析：选D ∵<<0，∴0>a>b.
∴a2b，则ac2>bc2；②若ac2>bc2，则a>b；
③若a>b，则a·2c>b·2c.
其中正确命题的序号是__________．
解析：①若c＝0则命题不成立．②正确．③中由2c>0知成立．
答案：②③
8．若1＜α＜3，－4＜β ＜2，则α－|β|的取值范围是________．
解析：∵－4＜β ＜2，∴0≤|β|＜4.∴－4＜－|β|≤0.
∴－3＜α－|β|＜3.
答案：(－3,3)
9．已知a＋b＞0，则＋与＋的大小关系是________．
解析：＋－＝＋＝(a－b)·＝.
∵a＋b＞0，(a－b)2≥0，
∴≥0.
∴＋≥＋.
答案：＋≥＋
10．已知存在实数a满足ab2>a>ab，则实数b的取值范围是________．
解析：∵ab2>a>ab，∴a≠0，
当a>0时，有b2>1>b，即解得b<－1；
当a<0时，有b2<10，∴(x－2)(2x－3)>0，
∴x<或x>2，
∴原不等式组的解集为∪(2,3)．
3．(人教A版教材例题改编)
不等式－x2＋2x－3＞0的解集为________．
答案：∅
4．已知集合A＝，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)＜0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________.
答案：－1 1
|(基础送分型考点——自主练透)
[必备知识]
设一元二次不等式为ax2＋bx＋c＞0(a≠0)，其中Δ＝b2－4ac，x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根且x1＜x2.
(1)当a＞0时，若Δ＞0，则不等式的解集为{x|x＜x1，或x＞x2}；
若Δ＝0，则不等式的解集为；
若Δ＜0，则不等式的解集为R.
(2)当a＜0时，若Δ＞0，则不等式的解集为{x|x1＜x＜x2}；
若Δ＝0，则不等式的解集为∅；
若Δ＜0，则不等式的解集为∅.
[题组练透]
1．已知不等式x2－2x－3＜0的解集为A，不等式x2＋x－6＜0的解集为B，不等式x2＋ax＋b＜0的解集为A∩B，则a＋b等于( )
A．－3 B．1
C．－1 D．3
解析：选A 由题意得，A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－3＜x＜2}，∴A∩B＝{x|－1＜x＜2}，由根与系数的关系可知，a＝－1，b＝－2，则a＋b＝－3，故选A.
2．解下列不等式：
(1)－3x2－2x＋8≥0；
(2)0＜x2－x－2≤4；
(3)ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0)．
解：(1)原不等式可化为3x2＋2x－8≤0，
即(3x－4)(x＋2)≤0.
解得－2≤x≤，
所以原不等式的解集为.
(2)原不等式等价于
⇔
⇔⇔
借助于数轴，如图所示，
原不等式的解集为.
(3)原不等式变为(ax－1)(x－1)＜0，
因为a＞0，所以a(x－1)＜0.
所以当a＞1时，解为＜x＜1；
当a＝1时，解集为∅；
当0＜a＜1时，解为1＜x＜.
综上，当0＜a＜1时，不等式的解集为；
当a＝1时，不等式的解集为∅；
当a＞1时，不等式的解集为.
[类题通法]
1．解一元二次不等式的一般步骤
(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．
(2)判：计算对应方程的判别式．
(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．
(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．
2．解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据
(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．
(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．
(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．
[提醒] 当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于0的情况．
|(常考常新型考点——多角探明)
[必备知识]
一元二次不等式恒成立的条件
(1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或
(2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或
[多角探明]
一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图象与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围.
归纳起来常见的命题角度有：
(1)形如f(x)≥0(x∈R)确定参数的范围；
(2)形如f(x)≥0(x∈[a，b])确定参数范围；
(3)形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])确定x的范围.
角度一：形如f(x)≥0(x∈R)确定参数的范围
1．已知不等式mx2－2x－m＋1＜0，是否存在实数m对所有的实数x，不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
解：不等式mx2－2x－m＋1＜0恒成立，
即函数f(x)＝mx2－2x－m＋1的图象全部在x轴下方．
当m＝0时，1－2x＜0，则x＞，不满足题意；
当m≠0时，函数f(x)＝mx2－2x－m＋1为二次函数，
需满足开口向下且方程mx2－2x－m＋1＝0无解，
即
不等式组的解集为空集，即m无解．
综上可知不存在这样的m.
角度二：形如f(x)≥0(x∈[a，b])确定参数范围
2．设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范围．
解：要使f(x)＜－m＋5在[1,3]上恒成立，
则mx2－mx＋m－6＜0，即m2＋m－6＜0在x∈[1,3]上恒成立．
有以下两种方法：
法一：令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3]．
当m＞0时，g(x)在[1,3]上是增函数，
所以g(x)max＝g(3)＝7m－6＜0.
所以m＜，则0＜m＜.
当m＜0时，g(x)在[1,3]上是减函数，
所以g(x)max＝g(1)＝m－6＜0.
所以m＜6.所以m＜0.
综上所述，m的取值范围是.
法二：因为x2－x＋1＝2＋＞0，
又因为m(x2－x＋1)－6＜0，
所以m＜.
因为函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，所以只需m＜即可．
因为m≠0，所以m的取值范围是.
角度三：形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])确定x的范围
3．对任意m∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围．
解：由f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m
＝(x－2)m＋x2－4x＋4，
令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4.
由题意知在[－1,1]上，g(m)的值恒大于零，
∴
解得x<1或x>3.
故当x<1或x>3时，对任意的m∈[－1,1]，函数f(x)的值恒大于零．
[类题通法]
恒成立问题及二次不等式恒成立的条件
(1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．
(2)对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．
|(重点保分型考点——师生共研)
[典题例析]
甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得利润是100元．
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x的取值范围；
(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．
解：(1)根据题意，
200≥3 000，
整理得5x－14－≥0，
即5x2－14x－3≥0，
又1≤x≤10，可解得3≤x≤10.
即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x的取值范围是[3,10]．
(2)设利润为y元，则
y＝·100
＝9×104
＝9×104，
故x＝6时，ymax＝457 500元．
即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品获得的利润最大，最大利润为457 500元．
[类题通法]
求解不等式应用题的四个步骤
(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．
(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，
建立相应的数学模型．
(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义．
(4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果．
[演练冲关]
某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成(1成＝10%)，售出商品数量就增加x成(要求售价不能低于成本价)．
(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域；
(2)若要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围．
解：(1)由题意得y＝100·100
＝20(10－x)(50＋8x)
因为售价不能低于成本价，
所以100－80≥0，解得x≤2.
所以y＝f(x)＝20(10－x)(50＋8x)，定义域为[0,2]．
(2)由题意得20(10－x)(50＋8x)≥10 260，
化简得8x2－30x＋13≤0.
解得≤x≤.
所以x的取值范围是.
一、选择题
1．(2014·大纲卷)不等式组的解集为( )
A．{x|－21}
解析：选C 解x(x＋2)>0，得x<－2或x>0；解|x|<1，得－10，即x>2时，不等式可化为(x－2)2≥4，∴x≥4；②当x－2<0，即x<2时，不等式可化为(x－2)2≤4，∴0≤x<2.
3．已知f(x)＝ax2－x－c，不等式f(x)＞0的解集为{x|－2＜x＜1}，则函数y＝f(－x)的图象为( )
解析：选B 由根与系数的关系知＝－2＋1，－＝－2，得a＝－1，c＝－2.f(－x)＝－x2＋x＋2的图象开口向下，顶点坐标为.故选B.
4．如果关于x的不等式5x2－a≤0的正整数解是1,2,3,4，那么实数a的取值范围是( )
A．[80,125) B．(80,125)
C．(－∞，80) D．(125，＋∞)
解析：选A 由5x2－a≤0，得－ ≤x≤ ，
而正整数解是1,2,3,4，
则4≤ ＜5，
∴80≤a＜125.
故选A.
5．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )
A．12元 B．16元
C．12元到16元之间 D．10元到14元之间
解析：选C 设销售价定为每件x元，利润为y，则：
y＝(x－8)[100－10(x－10)]，
依题意有，(x－8)[100－10(x－10)]＞320，
即x2－28x＋192＜0，
解得12＜x＜16，
所以每件销售价应为12元到16元之间．
故选C.
6．若不等式x2＋ax－2>0在区间[1,5]上有解，则a的取值范围是( )
A. B.
C．(1，＋∞) D.
解析：选A 由Δ＝a2＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，
所以方程必有一正根、一负根．
于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f(5)＞0，解得a＞－，故a的取值范围为，
二、填空题
7．不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集是________．
解析：不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集即x(x－2)<0的解集，解得0zC或zA＝zC>zB或zB＝zC>zA，解得a＝－1或a＝2.
法二：目标函数z＝y－ax可化为y＝ax＋z，令l0：y＝ax，平移l0，则当l0∥AB或l0∥AC时符合题意，故a＝－1或a＝2.
[类题通法]
1．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．
2．常见的目标函数有：
(1)截距型：形如z＝ax＋by.
求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值．
(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.
(3)斜率型：形如z＝.
[提醒] 注意转化的等价性及几何意义．
|(重点保分型考点——师生共研)
[典题例析]
(2013·湖北高考)某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为( )
A．31 200元 B．36 000元
C．36 800元 D．38 400元
解析：选C 设租用A型车x辆，B型车y辆，目标函数为z＝1 600x＋2 400y，则约束条件为
作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点(5,12)时，有最小值zmin ＝36 800(元)．
[类题通法]
1．解线性规划应用题的步骤
(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题；
(2)求解——解这个纯数学的线性规划问题；
(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案．
2．求解线性规划应用题的三个注意点
(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号．
(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围，特别注意分析x，y是否是整数、是否是非负数等．
(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式．
[演练冲关]
A，B两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品．已知A产品需要在甲机器上加工3小时，在乙机器上加工1小时；B产品需要在甲机器上加工1小时，在乙机器上加工3小时．在一个工作日内，甲机器至多只能使用11小时，乙机器至多只能使用9小时．A产品每件利润300元，B产品每件利润400元，则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是________元．
解析：设生产A产品x件，B产品y件，则x，y满足约束条件生产利润为z＝300x＋400y.
画出可行域，如图中阴影部分(包含边界)内的整点，显然z＝300x＋400y在点A处取得最大值，
由方程组
解得
则zmax ＝300×3＋400×2＝1 700.
故最大利润是1 700元．
答案：1 700
一、选择题
1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则a的取值范围为( )
A．(－24,7) B．(－7,24)
C．(－∞，－7)∪(24，＋∞) D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)
解析：选B 根据题意知(－9＋2－a)·(12＋12－a)＜0.
即(a＋7)(a－24)＜0，解得－7＜a＜24.
2．(2015·临沂检测)若x，y满足约束条件则z＝x－y的最小值是( )
A．－3 B．0
C. D．3
解析：选A 作出不等式组表示的可行域(如图所示的△ABC的边界及内部)．平移直线z＝x－y，易知当直线z＝x－y经过点C(0,3)时，目标函数z＝x－y取得最小值，即zmin ＝－3.
3．(2015·泉州质检)已知O为坐标原点，A(1,2)，点P的坐标(x，y)满足约束条件则z＝·的最大值为( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：选D 如图作可行域，
z＝·＝x＋2y，显然在B(0,1)处zmax＝2.故选D.
4．设动点P(x，y)在区域Ω：上，过点P任作直线l，设直线l与区域Ω的公共部分为线段AB
，则以AB为直径的圆的面积的最大值为( )
A．π B．2π
C．3π D．4π
解析：选D 作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，则根据图形可知，以AB为直径的圆的面积的最大值S＝π×2＝4π，故选D.
5．(2015·东北三校联考)变量x，y满足约束条件若使z＝ax＋y取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a的取值集合是( )
A．{－3,0} B．{3，－1}
C．{0,1} D．{－3,0,1}
解析：选B 作出不等式组所表示的平面区域，如图所示．
易知直线z＝ax＋y与x－y＝2或3x＋y＝14平行时取得最大值的最优解有无穷多个，即－a＝1或－a＝－3，∴a＝－1或a＝3.故选B.
6．(2014·新课标全国卷Ⅰ)设x，y满足约束条件且z＝x＋ay的最小值为7，则a＝( )
A．－5 B．3
C．－5或3 D．5或－3
解析：选B 法一：联立方程解得代入x＋ay＝7中，解得a＝3或－5，当a＝－5时，z＝x＋ay的最大值是7；当a＝3时，z＝x＋ay的最小值是7，故选B.
法二：先画出可行域，然后根据图形结合选项求解．
当a＝－5时，作出不等式组表示的可行域，如图(1)(阴影部分)．
图(1)
由得交点A(－3，－2)，
则目标函数z＝x－5y过A点时取得最大值．
zmax＝－3－5×(－2)＝7，不满足题意，排除A，C选项．
当a＝3时，作出不等式组表示的可行域，如图(2)(阴影部分)．
图(2)
由得交点B(1,2)，则目标函数z＝x＋3y过B点时取得最小值．zmin＝1＋3×2＝7，满足题意．
二、填空题
7．(2014·安徽高考)不等式组 表示的平面区域的面积为________．
解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可知S△ABC＝×2×(2＋2)＝4.
答案：4
8．(2015·重庆一诊)设变量x，y满足约束条件
则目标函数z＝3x－y的最大值为________．
解析：根据约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示，∵z＝3x－y，∴y＝3x－z，当该直线经过点A(2,2)时，z取得最大值，即zmax ＝3×2－2＝4.
答案：4
9．(2013·北京高考)设D为不等式组所表示的平面区域，区域D上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为________．
解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，则根据图形可知，点B(1,0)到直线2x－y＝0的距离最小，d＝＝，故最小距离为.
答案：
10．(2015·通化一模)设x，y满足约束条件若z＝的最小值为，则a的值为________．
解析：∵＝1＋，
而表示过点(x，y)与(－1，－1)连线的斜率，
易知a>0，
∴可作出可行域，由题意知的最小值是，即min＝＝＝⇒a＝1.
答案：1
三、解答题
11．若x，y满足约束条件
(1)求目标函数z＝x－y＋的最值；
(2)若目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，求a的取值范围．
解：(1)作出可行域如图，可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0)．平移初始直线x－y＋＝0，过A(3,4)取最小值－2，过C(1,0)取最大值1.
所以z的最大值为1，最小值为－2.
(2)直线ax＋2y＝z仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1＜－＜2，解得－4＜a＜2.
故所求a的取值范围为(－4,2)．
12．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．
(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润w(元)；
(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？
解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x－y，
所以利润w＝5x＋6y＋3(100－x－y)＝2x＋3y＋300.
(2)约束条件为
整理得
目标函数为w＝2x＋3y＋300.
作出可行域．如图所示：
初始直线l0：2x＋3y＝0，平移初始直线经过点A时，w有最大值．由得
最优解为A(50,50)，所以wmax＝550元．
所以每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，最大利润为550元．
第四节基本不等式
基础盘查一 基本不等式、算术平均数与几何平均数的概念
(一)循纲忆知
1．了解基本不等式的证明过程；
2．理解基本不等式及变形应用．
(二)小题查验
判断正误
(1)当a≥0，b≥0时，≥( )
(2)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的( )
(3)(a＋b)2≥4ab(a，b∈R)( )
(4)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项( )
答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√
基础盘查二 利用基本不等式求最值问题
(一)循纲忆知
会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
(二)小题查验
1．判断正误
(1)函数y＝x＋的最小值是2( )
(2)x＞0且y＞0是＋≥2的充分不必要条件( )
(3)若a≠0，则a2＋的最小值为2( )
答案：(1)× (2)√ (3)√
2．(人教A版教材习题改编)设x，y∈R＋，且x＋y＝18，则xy的最大值为________．
答案：81
3．若x，y∈(0，＋∞)，且x＋4y＝1，则xy的最大值是________．
解析：∵x，y∈(0，＋∞)，则1＝x＋4y≥4，即xy≤.
答案：
|(重点保分型考点——师生共研)
[必备知识]
1．基本不等式≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab (a，b∈R)．
(2)＋≥2(a，b同号)．
(3)ab≤2(a，b∈R)．
(4)≥2(a，b∈R)．
[典题例析]
设a，b，c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.
证明：∵a，b，c都是正数，
∴，，都是正数．
∴＋≥2c，当且仅当a＝b时等号成立，
＋≥2a，当且仅当b＝c时等号成立，
＋≥2b，当且仅当a＝c时等号成立．
三式相加，得2≥2(a＋b＋c)，
即＋＋≥a＋b＋c，当且仅当a＝b＝c时等号成立．
[类题通法]
利用基本不等式证明不等式的方法技巧
利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．
[演练冲关]
设a，b均为正实数，求证：＋＋ab≥2.
证明：由于a，b均为正实数，
所以＋≥2 ＝，
当且仅当＝，即a＝b时等号成立，
又因为＋ab≥2 ＝2，
当且仅当＝ab时等号成立，
所以＋＋ab≥＋ab≥2，
当且仅当即a＝b＝时取等号．
|(题点多变型考点——全面发掘)
[必备知识]
已知x>0，y>0，则：
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2.(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)
[一题多变]
[典型母题]
已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，则＋的最小值为________．
[解析] ∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，
∴＋＝＋＝2＋＋
≥2＋2＝4，
即＋的最小值为4，当且仅当a＝b＝时等号成立．
[答案] 4
[题点发散1] 本例的条件不变，则的最小值为________．
解析：＝＝·＝5＋2≥5＋4＝9.当且仅当a＝b＝时，取等号．
答案：9
[题点发散2] 本例的条件和结论互换即：已知a＞0，b＞0，＋＝4，则a＋b的最小值为________．
解析：由＋＝4，得＋＝1.
∴a＋b＝(a＋b)＝＋＋≥＋2＝1.
当且仅当a＝b＝时取等号．
答案：1
[题点发散3] 若本例条件变为：已知a>0，b>0，a＋2b＝3，则＋的最小值为________．
解析：由a＋2b＝3得a＋b＝1，
∴＋＝＝＋＋
≥＋2＝.当且仅当a＝2b＝时，取等号．
答案：
[题点发散4] 本例的条件变为：已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最小值为________．
解析：∵a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，
∴＋＋＝＋＋＝3＋＋＋＋＋＋＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9.
当且仅当a＝b＝c＝时，取等号．
答案：9
[题点发散5] 若本例变为：已知各项为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an，使得＝2a1，则＋的最小值为________．
解析：设公比为q(q＞0)，由a7＝a6＋2a5⇒a5q2＝a5q＋2a5⇒q2－q－2＝0(q＞0)⇒q＝2.
＝2a1⇒a12m－1·a12n－1＝8a⇒2m－1·2n－1＝8⇒m＋n－2＝3⇒m＋n＝5，则＋＝(m＋n)＝≥(5＋2)＝，
当且仅当n＝2m＝时等号成立．
答案：
[类题通法]
利用基本不等式求最值的方法及注意点
(1)知和求积的最值：求解此类问题的关键：明确“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立．
(2)知积求和的最值：明确“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件．
(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解．
(4)利用基本不等式求最值时应注意：①非零的各数(或式)均为正；②和或积为定值；③等号能否成立，即“一正、二定、三相等”，这三个条件缺一不可．
|(重点保分型考点——师生共研)
[典题例析]
某厂家拟在2014年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x＝3－(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2014年生产该产品的固定投入为8万元．每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．
(1)将2014年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(2)该厂家2014年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
解：(1)由题意知，当m＝0时，x＝1(万件)，
∴1＝3－k⇒k＝2，∴x＝3－，
每件产品的销售价格为1.5×(元)，
∴2014年的利润y＝1.5x×－8－16x－m
＝－＋29(m≥0)．
(2)∵m≥0时，＋(m＋1)≥2＝8，
∴y≤－8＋29＝21，
当且仅当＝m＋1⇒m＝3(万元)时，ymax＝21(万元)．
故该厂家2014年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．
[类题通法]
利用基本不等式求解实际应用题的方法
(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．
(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．
[演练冲关]
某化工企业2014年年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y(单位：万元)．
(1)用x表示y；
(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备．则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备．
解：(1)由题意得，y＝，
即y＝x＋＋1.5(x∈N*)．
(2)由基本不等式得：
y＝x＋＋1.5≥2＋1.5＝21.5，
当且仅当x＝，即x＝10时取等号．
故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备．
一、选择题
1．已知f(x)＝x＋－2(x＜0)，则f(x)有 ( )
A．最大值为0 B．最小值为0
C．最大值为－4 D．最小值为－4
解析：选C ∵x＜0，∴f(x)＝－ －2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝，即x＝－1时取等号．
2．若a，b∈R且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是( )
A．a＋b≥2 B.＋＞
C.＋≥2 D．a2＋b2＞2ab
解析：选C ∵ab＞0，∴＞0，＞0.
由基本不等式得＋≥2，当且仅当＝，即a＝b时等号成立，故选C.
3．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值是( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选B (x＋y)＝1＋a＋＋≥1＋a＋2，∴当1＋a＋2≥9时不等式恒成立，故＋1≥3，a≥4.
4．若a，b均为大于1的正数，且ab＝100，则lg a·lg b的最大值是( )
A．0 B．1
C．2 D.
解析：选B ∵a>1，b>1，∴lg a>0，lg b>0.
lg a·lg b≤＝＝1.
当且仅当a＝b＝10时取等号．
5．设＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b,0)(a＞0，b＞0，O为坐标原点)，若A，B，C三点共线，则＋的最小值是( )
A．4 B.
C．8 D．9
解析：选D ∵＝－＝(a－1,1)，
＝－＝(－b－1,2)，
若A，B，C三点共线，
则有∥，
∴(a－1)×2－1×(－b－1)＝0，
∴2a＋b＝1，
又a＞0，b＞0，
∴＋＝·(2a＋b)
＝5＋＋≥5＋2 ＝9，
当且仅当即a＝b＝时等号成立．故选D.
6．函数y＝(x>1)的最小值是( )
A．2＋2 B．2－2
C．2 D．2
解析：选A ∵x>1，∴x－1>0.
∴y＝＝＝
＝＝x－1＋＋2
≥2 ＋2＝2＋2.
当且仅当x－1＝，即x＝1＋时，取等号．
二、填空题
7．已知a，b∈R，且ab＝50，则|a＋2b|的最小值是________．
解析：依题意得a，b同号，于是有|a＋2b|＝|a|＋|2b|≥2＝2＝2＝20，当且仅当|a|＝|2b|＝10时取等号，因此|a＋2b|的最小值是20.
答案：20
8．当x＞1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的最大值为________．
解析：因为x＞1，所以x－1＞0.又x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝2时等号成立，所以a的最大值为3.
答案：3
9．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________公里处．
解析：设x为仓库与车站距离，由已知y1＝，y2＝0.8x.费用之和y＝y1＋y2＝0.8x＋≥2 ＝8，当且仅当0.8x＝，即x＝5时“＝”成立．
答案：5
10.规定记号“⊗”表示一种运算，即a⊗b＝＋a＋b(a，b为正实数)．若1⊗k＝3，则k的值为________，此时函数f(x)＝的最小值为________．
解析：1⊗k＝＋1＋k＝3，即k＋－2＝0，
∴＝1或＝－2(舍)，∴k＝1.
f(x)＝＝＝1＋＋≥1＋2＝3，
当且仅当＝，即x＝1时等号成立．
答案：1 3
三、解答题
11．已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求
(1)xy的最小值；
(2)x＋y的最小值．
解：(1)由2x＋8y－xy＝0，
得＋＝1，
又x＞0，y＞0，
则1＝＋≥2 ＝，
得xy≥64，
当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．
所以xy的最小值为64.
(2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，
则x＋y＝·(x＋y)＝10＋＋
≥10＋2 ＝18.
当且仅当x＝12且y＝6时等号成立，
∴x＋y的最小值为18.
12．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝x2－200x＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？
解：(1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为＝x＋－200≥2 －200＝200，
当且仅当x＝，即x＝400时等号成立，
故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为 200元．
(2)不获利．设该单位每月获利为S元，
则S＝100x－y＝100x－
＝－x2＋300x－80 000＝－(x－300)2－35 000，
因为x∈[400,600]，所以S∈[－80 000，－40 000]．
故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损．
命题点一 不等关系与一元二次不等式
命题指数：☆☆☆☆ 难度：中、低 题型：选择题、填空题
1．(2014·天津高考)设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
解析：选C 构造函数f(x)＝x|x|，则f(x)在定义域R上为奇函数．因为f(x)＝所以函数f(x)在R上单调递增，所以a>b⇔f(a)>f(b)⇔a|a|>b|b|.选C.
2．(2014·四川高考)若a>b>0，c＜d＜0，则一定有( )
A.> B.<
C.> D.<
解析：选B ∵c＜d＜0，∴＜＜0，∴－＞－＞0，而a＞b＞0，∴－＞－＞0，∴＜，故选B.
3．(2014·新课标全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________．
解析：选D 当x<1时，由ex－1≤2得x≤1＋ln 2，∴x<1；当x≥1时，由x≤2得x≤8，∴1≤x≤8.综上，符合题意的x的取值范围是x≤8.
答案：(－∞，8]
4．(2014·江苏高考)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是________．
解析：由题可得f(x)<0对于x∈[m，m＋1]恒成立，即解得－0，b>0，
所以＋＝1(a>0，b>0)，
a＋b＝(a＋b)·＝7＋＋≥7＋2＝7＋4，当且仅当＝时取等号，故选D.
3．(2014·上海高考)若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________．
解析：∵x2＋2y2≥2＝2xy＝2，当且仅当x＝y时取“＝”，∴x2＋2y2的最小值为2.
答案：2
4．(2014·湖北高考)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝ .
(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/小时；
(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时．
解析：(1)F＝≤＝1 900，当且仅当v＝11时等号成立．
(2)F＝≤＝2 000，当且仅当v＝10时等号成立，2 000－1 900＝100.
答案：1 900 100
第五节合情推理与演绎推理
基础盘查一 合情推理
(一)循纲忆知
了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．
(二)小题查验
1．判断正误
(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确( )
(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理( )
(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适( )
(4)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是an＝n(n∈N*)( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×
2．(人教A版教材例题改编)已知数列{an}的第1项a1＝1，且an＋1＝(n＝1,2,3，…)，归纳该数列的通项公式an＝________.
答案：
基础盘查二 演绎推理
(一)循纲忆知
1．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；
2．了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．
(二)小题查验
判断正误
(1)演绎推理的结论一定是正确的( )
(2)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理( )
(3)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的( )
(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
|(基础送分型考点——自主练透)
[必备知识]
(1)定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．
(2)特点：类比推理是由特殊到特殊的推理．
[题组练透]
1．给出下面类比推理(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：
①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“a，c∈C，则a－c＝0⇒a＝c”；
②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“a，b，c，d∈Q，则a＋b＝c＋d⇒a＝c，b＝d ”；
③“a，b∈R，则a－b＞0⇒a＞b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＞0⇒a＞b”；
④“若x∈R，则|x|＜1⇒－1＜x＜1”类比推出“若z∈C，则|z|＜1⇒－1＜z＜1”．
其中类比结论正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 类比结论正确的有①②.
2．(2015·贵州六校联考) 在平面几何中：△ABC的∠C内角平分线CE分AB所成线段的比为＝.把这个结论类比到空间：在三棱锥ABCD中(如图)，DEC平分二面角ACDB且与AB相交于E，则得到类比的结论是______________________．
解析：由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得
＝.
答案：＝
[类题通法]
(1)类比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步骤为
①找出两类事物之间的相似性或一致性；
②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．
(2)类比推理的关键是找到合适的类比对象．平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论．
|(常考常新型考点——多角探明)
[必备知识]
(1)定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．
(2)特点：是由部分到整体、由个别到一般的推理．
[多角探明]
归纳推理是每年高考的常考内容，题型多为选择题和填空题，难度稍大，属中高档题．归纳起来常见的命题角度有：
(1)数的归纳；
(2)式的归纳；
(3)形的归纳.
角度一：数的归纳
1．(2013·陕西高考)观察下列等式
12＝1
12－22＝－3
12－22＋32＝6
12－22＋32－42＝－10
……
照此规律，第n个等式可为________．
解析：观察规律可知，第n个式子为12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1.
答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1
角度二：式的归纳
2．(2014·陕西高考)已知f(x)＝ ，x≥0，若 f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈N＋， 则
f2 014(x)的表达式为________．
解析：由f1(x)＝⇒f2(x)＝f＝＝；又可得f3(x)＝f(f2(x))＝＝，故可猜想f2 014(x)＝.
答案：f2 014(x)＝
角度三：形的归纳
3．下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，写出第n个图形中小正方形的个数是________．
解析：由图知第n个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋…＋n.
∴总个数为.
答案：
[类题通法]
(1)归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围．
(2)归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的．
(3)归纳推理所得结论未必正确，有待进一步证明，但对数学结论和科学的发现很有用．
|(重点保分型考点——师生共研)
[必备知识]
(1)模式：三段论
①大前提——已知的一般原理；
②小前提——所研究的特殊情况；
③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
(2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．
[典题例析]
数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n∈N*)．证明：
(1)数列是等比数列；
(2)Sn＋1＝4an.
证明：(1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn，
∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn.
故＝2·，(小前提)
故是以2为公比，1为首项的等比数列．(结论)
(大前提是等比数列的定义)
(2)由(1)可知＝4·(n≥2)，
∴Sn＋1＝4(n＋1)·＝4··Sn－1
＝4an(n≥2)．(小前提)
又∵a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提)
∴对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.(结论)
[类题通法]
演绎推理的推证规则
(1)演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略，本题中，等比数列的定义在解题中是大前提，由于它是显然的，因此省略不写．
(2)在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成．
[演练冲关]
如图所示，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，且DE∥BA.求证：ED＝AF(要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论，并最终把推理过程用简略的形式表示出来)．
证明：(1)同位角相等，两条直线平行，(大前提)
∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，(小前提)
所以DF∥EA.(结论)
(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提)
DE∥BA且DF∥EA，(小前提)
所以四边形AFDE为平行四边形．(结论)
(3)平行四边形的对边相等，(大前提)
ED和AF为平行四边形的对边，(小前提)
所以ED＝AF.(结论)
上面的证明可简略地写成：
⇒四边形AFDE是平行四边形⇒ED＝AF.
一、选择题
1．(2015·合肥模拟)正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理( )
A．结论正确 B．大前提不正确
C．小前提不正确 D．全不正确
解析：选C 因为f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确.
2．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；
②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；
③“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；
④“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p⇒a＝x”；
⑤“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；
⑥“＝”类比得到“＝”．
以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B ①②正确，③④⑤⑥错误．
3．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )
A．28 B．76
C．123 D．199
解析：选C 记an＋bn＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.
4．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则＝，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体PABC的内切球体积为V1，外接球体积为
V2，则＝( )
A. B.
C. D.
解析：选D 正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故＝.
5．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )
A．设数列{an}的前n项和为Sn.由an＝2n－1，求出S1＝12，S2＝22，S3＝32，…，推断：Sn＝n2
B．由f(x)＝xcos x满足f(－x)＝－f(x)对∀x∈R都成立，推断：f(x)＝xcos x为奇函数
C．由圆x2＋y2＝r2的面积S＝πr2，推断：椭圆＋＝1(a＞b＞0)的面积S＝πab
D．由(1＋1)2＞21，(2＋1)2＞22，(3＋1)2＞23，…，推断：对一切n∈N*，(n＋1)2＞2n
解析：选A 选项A由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{an}是等差数列，其前n项和等于Sn＝＝n2，选项D中的推理属于归纳推理，但结论不正确．
6．(2015·西安五校联考)已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个“整数对”是( )
A．(7,5) B．(5,7)
C．(2,10) D．(10,1)
解：选B 依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第n组中每个“整数对”的和均为n＋1，且第n组共有n个“整数对”，这样的前n组一共有个“整数对”，注意到＜60＜，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个“整数对”是(5,7)，选B.
二、填空题
7．(2015·福建厦门模拟)已知等差数列{an}中，有＝，则在等比数列{bn}中，会有类似的结论：____________________________________________.
解析：由等比数列的性质可知b1b30＝b2b29＝…＝b11b20，
∴＝.
答案：＝
8．将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
……
根据以上排列规律，数阵中第n(n≥3)行从左至右的第3个数是________．
解析：前n－1行共有正整数1＋2＋…＋(n－1)＝个，即个，因此第n行从左至右的第3个数是全体正整数中第＋3个，即为.
答案：
9．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按下图所标边长，由勾股定理有：c2＝a2＋b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么类比得到的结论是________．
解析：将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得S＋S＋S＝S.
答案：S＋S＋S＝S
10．如果函数f(x)在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，都有≤f.若y＝sin x在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值是________．
解析：由题意知，凸函数满足
≤f，
又y＝sin x在区间(0，π)上是凸函数，则sin A＋sin B＋sin C≤3sin＝3sin＝.
答案：
三、解答题
11．在锐角三角形ABC中，求证：sin A＋sin B＋sin C＞cos A＋cos B＋cos C.
证明：∵△ABC为锐角三角形，
∴A＋B＞，∴A＞－B，
∵y＝sin x在上是增函数，
∴sin A＞sin＝cos B，
同理可得sin B＞cos C，sin C＞cos A，
∴sin A＋sin B＋sin C＞cos A＋cos B＋cos C.
12．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；
②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；
③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
解：(1)选择②式，计算如下：
sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°
＝1－＝.
(2)法一：三角恒等式为
sin2α＋cos2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)
＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)
＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α
＝sin2α＋cos2α
＝.
法二：三角恒等式为
sin2α＋cos2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝＋－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)
＝－cos 2α＋＋(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－sin αcos α－sin2α
＝－cos 2α＋＋cos 2α＋sin 2α－sin 2α－(1－cos 2α)
＝1－cos 2α－＋cos 2α＝.
第六节直接证明和间接证明
基础盘查一 直接证明
(一)循纲忆知
了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点．
(二)小题查验
判断正误
(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明( )
(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件( )
(3)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程( )
(4)证明不等式＋＜＋最合适的方法是分析法( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√
基础盘查二 间接证明
(一)循纲忆知
了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程和特点．
(二)小题查验
1．判断正误
(1)用反证法证明结论“a＞b”时，应假设“a＜b”( )
(2)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾( )
答案：(1)× (2)×
2．用反证法证明“如果a＞b，那么a3＞b3”时假设的内容为________．
答案：a3≤b3
|(基础送分型考点——自主练透)
[必备知识]
分析法证题的一般规律
分析法的思路是逆向思维，用分析法证题必须从结论出发，倒着分析，寻找结论成立的充分条件．应用分析法证明问题时要严格按分析法的语言表达，下一步是上一步的充分条件．
[题组练透]
1．已知a，b，m都是正数，且a.
证明：要证明>，由于a，b，m都是正数，
只需证a(b＋m)0，所以只需证ab>c，且a＋b＋c＝0，求证：0 B．a－c>0
C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0
解析：选C 0
⇔(a－c)(2a＋c)>0⇔(a－c)(a－b)>0.
故选C.
3．不相等的三个正数a，b，c成等差数列，并且x是a，b的等比中项，y是b，c的等比中项，则x2，b2，y2三数( )
A．成等比数列而非等差数列
B．成等差数列而非等比数列
C．既成等差数列又成等比数列
D．既非等差数列又非等比数列
解析：选B 由已知条件，可得
由②③得代入①，得＋＝2b，
即x2＋y2＝2b2.故x2，b2，y2成等差数列．
4．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值( )
A．恒为负值 B．恒等于零
C．恒为正值 D．无法确定正负
解析：选A 由f(x)是定义在R上的奇函数，
且当x≥0时，f(x)单调递减，
可知f(x)是R上的单调递减函数，
由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.
其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是( )
A．②③ B．①②③
C．③ D．③④⑤
解析：选C 若a＝，b＝，则a＋b>1，
但a<1，b<1，故①推不出；
若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；
若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2>2，故④推不出；
若a＝－2，b＝－3，则ab>1，故⑤推不出；
对于③，即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1，
反证法：假设a≤1且b≤1，
则a＋b≤2与a＋b>2矛盾，
因此假设不成立，a，b中至少有一个大于1.
6．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则( )
A．△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形
B．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形
C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形
D．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形
解析：选D 由条件知，△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则△A1B1C1是锐角三角形，假设△A2B2C2是锐角三角形．
由得
那么，A2＋B2＋C2＝，这与三角形内角和为180°相矛盾．
所以假设不成立，又显然△A2B2C2不是直角三角形．
所以△A2B2C2是钝角三角形．
二、填空题
7．用反证法证明命题“a，b∈R，ab可以被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是______________．
解析：“至少有n个”的否定是“最多有n－1个”，故应假设a，b中没有一个能被5整除．
答案：a，b中没有一个能被5整除
8．设a>b>0，m＝－，n＝，则m，n的大小关系是________．
解析：法一：(取特殊值法)取a＝2，b＝1，得m⇐a0，显然成立．
答案：m0，则实数p的取值范围是________．
解析：法一：(补集法)
令解得p≤－3或p≥，
故满足条件的p的范围为.
法二：(直接法)
依题意有f(－1)＞0或f(1)＞0，
即2p2－p－1＜0或2p2＋3p－9＜0，
得－＜p＜1或－3＜p＜.
故满足条件的p的取值范围是
答案：
三、解答题
11．若a＞b＞c＞d＞0且a＋d＝b＋c，
求证：＋＜＋.
证明：要证＋＜＋，只需证(＋)2＜(＋)2，
即a＋d＋2＜b＋c＋2，
因a＋d＝b＋c，只需证＜，
即ad＜bc，设a＋d＝b＋c＝t，
则ad－bc＝(t－d)d－(t－c)c＝(c－d)(c＋d－t)＜0，
故ad＜bc成立，从而＋＜＋成立．
12．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)＝0，且00.
(1)证明：是f(x)＝0的一个根；
(2)试比较与c的大小；
(3)证明：－20，
由00，
知f>0与f＝0矛盾，
∴≥c，又∵≠c，
∴>c.
(3)证明：由f(c)＝0，得ac＋b＋1＝0，
∴b＝－1－ac.
又a>0，c>0，∴b<－1.
二次函数f(x)的图象的对称轴方程为
x＝－＝<＝x2＝，
即－<.
又a>0，
∴b>－2，
∴－20，
得ak＋1a2.
(2)假设当n＝k(k∈N*)时，ak＋10，
又∵ak＋2＋ak＋1＋1<－1＋(－1)＋1＝－1，
∴ak＋2－ak＋1<0，∴ak＋20，f(x)＝，令a1＝1，an＋1＝f(an)，n∈N*.
(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式；
(2)用数学归纳法证明你的结论．
解：(1)∵a1＝1，∴a2＝f(a1)＝f(1)＝；
a3＝f(a2)＝；a4＝f(a3)＝.
猜想an＝(n∈N*)．
(2)证明：①易知，n＝1时，猜想正确．
②假设n＝k(k∈N*)时猜想正确，
即ak＝，
则ak＋1＝f(ak)＝＝＝＝.
这说明，n＝k＋1时猜想正确．
由①②知，对于任何n∈N*，都有an＝.
一、选择题
1．(2015·山东德州一模)用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，在验证n＝1时，左边计算所得的式子为( )
A．1 B．1＋2
C．1＋2＋22 D．1＋2＋22＋23
解析：选D 当n＝1时，左边＝1＋2＋22＋23.
2．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＞(n∈N*)成立，其初始值至少应取( )
A．7 B．8
C．9 D．10
解析：选B 左边＝1＋＋＋…＋＝＝2－，代入验证可知n的最小值是8.
3．凸n多边形有f(n)条对角线，则凸(n＋1)边形的对角线的条数f(n＋1)为( )
A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋n
C．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2
解析：选C 边数增加1，顶点也相应增加1个，它与和它不相邻的n－2个顶点连接成对角线，原来的一条边也成为对角线，因此，对角线增加n－1条．
4．(2015·上海闸北二模)平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为( )
A．n＋1 B．2n
C. D．n2＋n＋1
解析：选C 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；…；n条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋＝个区域，选C.
5．在数列{an}中，a1＝，且Sn＝n(2n－1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 由a1＝，Sn＝n(2n－1)an求得a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝.猜想an＝.
6．利用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2) …·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)，n∈N*”时，从“n＝k”变到“n＝k＋1”时，左边应增乘的因式是( )
A．2k＋1 B．2(2k＋1)
C. D.
解析：选B 当n＝k(k∈N*)时，
左式为(k＋1)(k＋2) ·…·(k＋k)；
当n＝k＋1时，左式为(k＋1＋1)·(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k－1)·(k＋1＋k)·(k＋1＋k＋1)，
则左边应增乘的式子是＝2(2k＋1)．
二、填空题
7．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N*)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真．
解析：n为正奇数，假设n＝2k－1成立后，需证明的应为n＝2k＋1时成立．
答案：2k＋1
8．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上的项为______________．
解析：当n＝k时左端为1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋k2，
则当n＝k＋1时，左端为
1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，
故增加的项为(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.
答案：(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2
9．设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的自然数n都有：(Sn－1)2＝anSn，通过计算S1，S2，S3，猜想Sn＝________.
解析：由(S1－1)2＝S得：S1＝；
由(S2－1)2＝(S2－S1)S2得：S2＝；
由(S3－1)2＝(S3－S2)S3得：S3＝.
猜想Sn＝.
答案：
10．设平面上n个圆周最多把平面分成f(n)片(平面区域)，则f(2)＝________，f(n)＝________.(n≥1，n∈N*)
解析：易知2个圆周最多把平面分成4片；n个圆周最多把平面分成f(n)片，再放入第n＋1个圆周，为使得到尽可能多的平面区域，第n＋1个应与前面n个都相交且交点均不同，有n条公共弦，其端点把第n＋1个圆周分成2n段，每段都把已知的某一片划分成2片，即f(n＋1)＝f(n)＋2n(n≥1)，所以f(n)－f(1)＝n(n－1)，而f(1)＝2，从而f(n)＝n2－n＋2.
答案：4 n2－n＋2
三、解答题
11.已知点Pn(an，bn)满足an＋1＝an·bn＋1，bn＋1＝(n∈N*)，且点P1的坐标为(1，－1)．
(1)求过点P1，P2的直线l的方程；
(2)试用数学归纳法证明：对于n∈N*，点Pn都在(1)中的直线l上．
解：(1)由题意得a1＝1，b1＝－1，
b2＝＝，a2＝1×＝，∴P2.
∴直线l的方程为＝，即2x＋y＝1.
(2)证明：①当n＝1时，2a1＋b1＝2×1＋(－1)＝1成立．
②假设n＝k(k∈N*)时，2ak＋bk＝1成立．
则2ak＋1＋bk＋1＝2ak·bk＋1＋bk＋1＝·(2ak＋1)＝＝＝1，
∴当n＝k＋1时，2ak＋1＋bk＋1＝1也成立．
由①②知，对于n∈N*，都有2an＋bn＝1，即点Pn在直线l上．
12．设数列{an}满足an＋1＝a－nan＋1(n∈N*)．
(1)当a1＝2时，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一个通项公式；
(2)当a1≥3时，证明：对所有的n≥1，有an≥n＋2.
解：(1)由a1＝2，
得a2＝a－a1＋1＝3，
由a2＝3，得a3＝a－2a2＋1＝4，
由a3＝4，得a4＝a－3a3＋1＝5，
由此猜想an的一个通项公式：an＝n＋1(n≥1)．
(2)证明：用数学归纳法证明：
①当n＝1时，a1≥3＝1＋2，不等式成立．
②假设当n＝k(k∈N*)时不等式成立，
即ak≥k＋2，
那么，ak＋1＝ak(ak－k)＋1≥(k＋2)(k＋2－k)＋1≥k＋3，
也就是说，当n＝k＋1时，ak＋1≥(k＋1)＋2.
根据①和②，对于所有n≥1，都有an≥n＋2.
命题点一 合情推理与演绎推理 命题指数：☆☆☆
难度：中、低 题型：选择题、填空题
1．(2014·陕西高考)观察分析下表中的数据：
多面体
面数(F)
顶点数(V)
棱数(E)
三棱柱
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是____________．
解析：三棱柱中5＋6－9＝2；五棱锥中6＋6－10＝2；立方体中6＋8－12＝2，由此归纳可得F＋V－E＝2.
答案：F＋V－E＝2
2．(2014·新课标全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一个城市．
由此可判断乙去过的城市为________．
解析：由甲、丙的回答易知甲去过A城市和C城市，乙去过A城市或C城市，结合乙的回答可得乙去过A城市．
答案：A
3．(2013·湖北高考)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为＝n2＋n.记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：
三角形数 N(n,3)＝n2＋n，
正方形数 N(n,4)＝n2，
五边形数 N(n,5)＝n2－n，
六边形数 N(n,6)＝2n2－n，
……
可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝________.
解析：由N(n,3)＝n2＋n，
N(n,4)＝n2＋n，
N(n,5)＝＋n，
N(n,6)＝n2＋n，
推测N(n，k)＝n2－n，k≥3.从而N(n,24)＝11n2－10n，N(10,24)＝1 000.
答案：1 000
命题点二 直接证明与间接证明 命题指数：☆☆☆☆☆
难度：高、中 题型：解答题
1．(2014·江西高考)已知数列{an} 的前 n项和 Sn＝，n∈N*.
(1)求数列{an} 的通项公式；
(2)证明：对任意的n>1，都存在m∈N* ，使得 a1，an，am成等比数列．
解：(1)由Sn＝，得a1＝S1＝1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－2，当n＝1时也适合．
所以数列{an}的通项公式为：an＝3n－2.
(2)证明：要使得a1，an，am成等比数列，
只需要a＝a1·am，
即(3n－2)2＝1·(3m－2)，
即m＝3n2－4n＋2，而此时m∈N*，且m>n.
所以对任意的n>1，都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列．
2．(2014·北京高考)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．
(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1 ；
(2)求证：C1F∥平面ABE ；
(3)求三棱锥EABC的体积．
解：(1)证明：在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥底面ABC.
所以BB1⊥AB.
又因为AB⊥BC，BB1∩BC＝B，
所以AB⊥平面B1BCC1.
又AB⊂平面ABE.
所以平面ABE⊥平面B1BCC1.
(2)证明：取AB中点G，连结EG，FG.
因为E，F分别是A1C1，BC的中点，
所以FG∥AC，且FG＝AC.
因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，
所以FG∥EC1，且FG＝EC1.
所以四边形FGEC1为平行四边形．
所以C1F∥EG.
又因为EG⊂平面ABE，C1F⊄平面ABE，
所以C1F∥平面ABE.
(3)因为AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，
所以AB＝＝.
所以三棱锥EABC的体积
V＝S△ABC·AA1＝×××1×2＝.
命题点三 数学归纳法 命题指数：☆☆
难度：高 题型：解答题
(2014·江苏高考)已知函数f0(x)＝(x>0)，设fn(x)为fn－1(x)的导数，n∈N*.
(1)求2f1＋f2的值；
(2)证明：对任意的n∈N*，等式nfn－1＋fn＝都成立．
解：(1)由已知，
得f1(x)＝f′0(x)＝′＝－，
于是f2(x)＝f′1(x)＝′－′＝－－＋，
所以f1＝－，f2＝－＋.
故2f1＋f2＝－1.
(2)证明：由已知，得xf0(x)＝sin x，等式两边分别对x求导，得f0(x)＋xf′0(x)＝cos x，
即f0(x)＋xf1(x)＝cos x＝sin，
类似可得
2f1(x)＋xf2(x)＝－sin x＝sin(x＋π)，
3f2(x)＋xf3(x)＝－cos x＝sin，
4f3(x)＋xf4(x)＝sin x＝sin(x＋2π)．
下面用数学归纳法证明等式nfn－1(x)＋xfn(x)＝sin对所有的n∈N*都成立．
①当n＝1时，由上可知等式成立．
②假设当n＝k时等式成立，
即kfk－1(x)＋xfk(x)＝sin.
因为[kfk－1(x)＋xfk(x)]′＝kf′k－1(x)＋fk(x)＋xf′k(x)
＝(k＋1)fk(x)＋xfk＋1(x)，
′＝cos·′＝sin，
所以(k＋1)fk(x)＋xfk＋1(x)＝sin.
因此当n＝k＋1时，等式也成立．
综合①②可知等式nfn－1(x)＋xfn(x)＝sin对所有的n∈N*都成立．
令x＝，
可得nfn－1＋fn＝sin(n∈N*)．
所以＝(n∈N*)．
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