上海市16区县2017届高三上学期期末考试数学试题分类汇编-立体几何 17页

上海市各区县2017届高三上学期期末考试数学试题分类汇编 立体几何 一、填空、选择题 ‎1、（宝山区2017届高三上学期期末） 已知一个底面置于水平面上的圆锥，其左视图是边长为6的正三角形，则该圆锥的侧面积为 ‎ ‎2、（崇明县2017届高三第一次模拟）已知圆锥的母线，母线与旋转轴的夹角，则圆锥的表面积为 　 ‎ ‎3、（虹口区2017届高三一模）一个底面半径为的圆柱被与其底面所成角是的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于 ．‎ ‎4、（黄浦区2017届高三上学期期终调研）关于直线及平面，下列命题中正确的是 （ ）‎ ‎ A．若，则 B．若，则 ‎ ‎ C．若，则 D．若，则 ‎5、（静安区2017届向三上学期期质量检测）若空间三条直线a、b、c满足，则直线a与c 【 】‎ A．一定平行； B．一定相交；‎ C．一定是异面直线； D．平行、相交、是异面直线都有可能． ‎ ‎6、（闵行区2017届高三上学期质量调研）如右图，已知正方体，，为棱的中点，则三棱锥的体积为________________． ‎ ‎7、（浦东新区2017届高三上学期教学质量检测）已知一个球的表面积为，则它的体积为____________．‎ ‎8、（普陀区2017届高三上学期质量调研）如图，在直三棱柱中，，， 若与平面所成的角为，则三棱锥的体积 为 .‎ ‎9、（青浦区2017届高三上学期期末质量调研）若圆锥的侧面积为，且母线与底面所成角为，则该圆锥的体积为 ．‎ ‎10、（松江区2017届高三上学期期末质量监控）如图，在棱长为1的正方体中，点在截面上，则线段的最小值等于 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎11、（徐汇区2017届高三上学期学习能力诊断）在长方体中，若，则异面直线与所成角的大小为____________．‎ ‎12、（杨浦区2017届高三上学期期末等级考质量调研）过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是，则该截面的面积是__________．‎ ‎13、（长宁、嘉定区2017届高三上学期期末质量调研）如图，已知正三棱柱的底面边长为，高为，‎ 一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点 的最短路线的长为__________．‎ ‎14、（奉贤区2017届高三上学期期末）如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长都为1，那么这个几何体的表面积____________.‎ ‎15、（金山区2017届高三上学期期末）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）‎ ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 二、解答题 ‎1、（宝山区2017届高三上学期期末）如图，已知正三棱柱的底面积为，侧面积为36；‎ ‎（1）求正三棱柱的体积；‎ ‎（2）求异面直线与所成的角的大小；‎ ‎2、（崇明县2017届高三第一次模拟）在正三棱柱中，，求：‎ ‎（1）异面直线与所成角的大小；‎ ‎（2）四棱锥的体积．‎ ‎3、（虹口区2017届高三一模）在正三棱锥中，已知底面等边三角形的边长为6，侧棱长为4．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求此三棱锥的全面积和体积．‎ ‎4、（黄浦区2017届高三上学期期终调研）在三棱锥中，底面是边长为6的正三角形，^ 底面，且与底面所成的角为． ‎ ‎（1）求三棱锥的体积；‎ ‎（2）若是的中点，求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.‎ ‎5、（静安区2017届向三上学期期质量检测）已知正四棱柱，,分别是棱的中点．‎ ‎(1) 求异面直线所成角的大小；‎ ‎(2) 求四面体的体积．‎ ‎6、（闵行区2017届高三上学期质量调研）如图，在中，，斜边，是的中点．现将以直角边为轴旋转一周得到一个圆锥，点为圆锥底面圆周上的一点，且， 求：‎ ‎（1）圆锥的侧面积；‎ ‎（2）直线与平面所成的角的大小．（用反三角函数表示）‎ ‎7、（浦东新区2017届高三上学期教学质量检测）在长方体中（如图）, ，点是棱的中点.‎ ‎（1）求异面直线与所成角的大小；‎ ‎（2）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.试问四面体是否为鳖臑？并说明理由.‎ ‎8、（普陀区2017届高三上学期质量调研）现有一堆规格相同的正六棱柱型金属螺帽毛坯，经测定其密度为，总重量为.其中一个螺帽的三视图如下图所示（单位:毫米）.‎ ‎（1）这堆螺帽至少有多少个；‎ ‎（2）对上述螺帽作防腐处理，每平方米需要耗材0.11千克，‎ 共需要多少千克防腐材料（结果精确到）‎ ‎9、（青浦区2017届高三上学期期末质量调研）如图所示，三棱柱的侧面是圆柱的轴截面，是圆柱底面圆周上不与、重合的一个点．‎ ‎（1）若圆柱的轴截面是正方形，当点是弧的中点时，求异面直线与的所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；‎ ‎（2）当点是弧的中点时，求四棱锥与圆柱的体积比．‎ ‎10、（松江区2017届高三上学期期末质量监控）如图，在正四棱锥中，，是棱的中点． ‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求直线与所成角的余弦值．‎ ‎11、（徐汇区2017届高三上学期学习能力诊断）如图，已知平面，，，‎ ‎，是的中点．‎ ‎（1）求与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；‎ ‎（2）求绕直线旋转一周所构成的旋转体的体积（结果保留）．‎ ‎12、（杨浦区2017届高三上学期期末等级考质量调研）如图所示，、是互相垂直的异面直线，是它们的公垂线段。点、在上，且位于点的两侧，在上，．‎ ‎（1）求证：异面直线与垂直；‎ ‎（2）若四面体的体积，求异面直线、之间的距离．‎ ‎13、（长宁、嘉定区2017届高三上学期期末质量调研）如图：已知平面，，与平面所成的角为，且．‎ ‎（1）求三棱锥的体积；‎ ‎（2）设为的中点，求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．‎ ‎14、（奉贤区2017届高三上学期期末）已知圆锥母线长为5，底面圆半径长为4，点是母线的中点，是底面圆的直径，点是弧的中点．‎ ‎（1）求三棱锥的体积；‎ ‎（2）求异面直线与所成的角．‎ 参考答案：‎ 一、填空、选择题 ‎1、解析：由题意，得：底面直径和母线长均为6，‎ S侧＝＝18‎ ‎2、　　3、　　4、C　　5、D ‎6、　　 7、　　‎ ‎8、【解析】如图，‎ 在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵∠ABC=90°，‎ A1B1⊥平面BB1C1C，连接B1C，则∠A1CB1为A1C与平面B1BCC1所成的角为，‎ ‎∵A1B1=AB=1，∴，‎ 又BC=1，∴．‎ ‎∴．‎ 故答案为：．‎ ‎9、　　10、C 11、 　12、‎ ‎13、【解析】将正三棱柱ABC﹣A1B1C1沿侧棱展开，再拼接一次，其侧面展开图如图所示，‎ 在展开图中，最短距离是六个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．‎ 由已知求得矩形的长等于6×2=12，宽等于5，由勾股定理d==13‎ 故答案为：13．‎ ‎14、　　15、A 二、解答题 ‎1、‎ ‎2、解：（1）， ‎ ‎ 是异面直线与所成角............................2分 ‎ 在中，，‎ ‎ ,........................5分 ‎ ‎ ‎ 异面直线与所成角大小为................7分 ‎（2） .......................................10分 ‎ .........................................13分 ‎ 所以...................................14分 ‎3、解：（1）取的中点，连、．‎ 是等边三角形，．又，．‎ 平面，．…………5分 ‎（2）记是等边三角形的中心．则．‎ 是边长为6的等边三角形，．，…………8分 ‎， ‎ ‎…………12分 ‎4、解：（1）因为平面，所以为与平面所成的角，‎ 由与平面所成的角为，可得， ……………………………2分 因为平面，所以，又，可知，‎ 故． ……………………………6分 ‎（2）设为棱的中点，连，由分别是 棱的中点，可得∥，所以与的夹 角为异面直线与所成的角． ………………8分 因为平面，所以，，‎ 又，，‎ ‎，‎ 所以， ……………………………12分 故异面直线与所成的角为． ……………………………14分 ‎5、解：（1）连接，……………………………….1分 则为异面直线所成角 …………….1分 在中，可求得，‎ ‎…………………….4分 ‎（2） ……………………………….5分 ‎6、．[解] （1） …………………………2分 ‎ …………………………6分 ‎（2）取的中点，连接、， ………………8分 则，所以，‎ 所以是直线与平面所成的角， …………10分 在中，， …………12分 所以 所以直线与平面所成的角的大小为（）…………14分 ‎7、解：‎ ‎（1）作交于，因为，所以，故为正三角形，异面直线与所成角为60°……………………………6分 ‎（2）是棱上的中点，则均为等腰直角三角形，‎ 而显然均为直角三角形，故四面体四个面均为直角三角形，．．．．．．． 14分 ‎8、【解】设正六棱柱的底边边长为，高为，圆孔的半径为，并设螺帽的表面积为，根据三视图可知，，，，则（1）设螺帽的体积为,则，其中 高，螺帽的体积，个 ‎（2）‎ ‎ ‎ ‎ （千克）‎ ‎ 答：这堆零件至少有252个，防腐共需要材料千克。 ‎ ‎9、解： （1）连接，则， ‎ 直线与的所成角等于直线与的所成角 ， ‎ 设圆柱的底面半径为，即，，‎ 在△中， ‎ 直线与所成角等于； ‎ ‎（2）设圆柱的底面半径为 ，母线长度为，‎ 当点是弧的中点时，，且平面， ‎ ‎, ‎ ‎， ‎ ‎∴． ‎ ‎10、 解: （1）证明：∵四边形ABCD为正方形，且 ‎∴都是等边三角形 ………………2分 ‎∵是棱的中点， ‎ ‎∴，又 ‎ ‎ ∴平面 ………………5分 又平面 ∴ ………………6分 ‎（2）连接AC，交BD于点O，连OE． ‎ 四边形ABCD为正方形，∴O是AC的中点………………8分 又是的中点 ‎∴OE为△ACP的中位线，∴‎ ‎∴∠BOE即为BE与PA所成的角 ……………………10分 在Rt△BOE中，， ……12分 ‎∴ ……………………14分 ‎11、解：（1）平面，，又，‎ 平面，‎ 所以就是与平面所成的角.………4分 在中，，………………………………………6分 所以，‎ 即与平面所成的角的大小为.………………………8分 ‎（2）绕直线旋转一周所构成的旋转体，是以为底面半径、为高的圆锥中挖去一个以为底面半径、为高的小圆锥. ………10分 所以体积. ……………14分.‎ ‎12、解：（1）因为，，‎ 所以 （2分）‎ 因为，所以 （4分）‎ 又因为，根据平面几何知识，知 所以（6分）‎ 因为，所以（8分）‎ ‎（2）MN就是异面直线、之间的距离（10分）‎ 设 所以（12分）‎ 所以，即异面直线、之间的距离为3 （14分）‎ ‎13、（1）因为平面，所以就是与平面所成的角，即，且为三棱锥的高． …………………………（2分）‎ 由，得，又由，得． …………（3分）‎ 所以，． ……………………（5分）‎ ‎（2）取中点，连结，，则∥，所以就是异面直线与所成的角（或其补角）， ……………………………………（1分）‎ 在△中，，，， …………………………（3分）‎ 所以，， ……………………（6分）‎ 即．‎ 所以异面直线与所成角的大小为． ……………………（7分）‎ ‎14、（1）点是弧的中点，， 2分 面 4分 三棱锥的体积 7分 ‎（2）如图，建立空间直角坐标系，‎ ‎ ，，， 9分 ‎ 10分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 13分 ‎ 所以异面直线所出的角是 14分 也可以用平移法:‎ ‎ 连，过作交于点，连．‎ ‎ 又，．又．‎ ‎ ，等于异面直线与所成的角或其补角．‎ 可知,，‎ 异面直线与所成的角