高中数学人教a版选修4-1配套课件：1_1 平行线等分线段定理 28页

第一讲　相似三角形的判定及有关性质 在初中，同学们已经学习了相似图形的概念以及相似三角形 的某些性质，但当时并没有对相似三角形的有关定理进行严格的 证明，第一讲主要内容就是对这些定理进行证明，并应用它们去 解决一些问题，为了证明这些定理、我们引入了平行线等分线段、 平行线分线段成比例的有关内容，以组成一个相对严谨的逻辑体 系． 学习目标 1.掌握平行线等分线段定理、平行线分线段成比例定 理以及推论，掌握相似三角形的判定及性质，掌握 直角三角形的判定． 2.能应用所学知识解决与平行线以及三角形相似有关 的问题，能应用直角三角形的射影定理求某些线段 的长、线段的比等问题． 3.学习本讲，应注重培养观察、发现、探究、解决问 题的能力，掌握本讲涉及的化归、特殊化、一般化 等数学思想方法. 本讲重点 平行线分线段成比例定理和相似 三角形的判定及性质． 本讲难点 灵活运用比例线段和相似三角形的知识解决有关问 题． 解决这个难点的关键有两个．第一，注意与其他证 明相等的情况类比．在证明线段成比例时(两个比相 等)，要把每个比看成一个整体，分别证明它们与第 三个比相等，通过这个比来过渡，这就是所谓利用 “中间比”的方法．第二，注意加强关于比例式的 变形训练. 第1课时　平行线等分线段定理 【课标要求】 1．理解平行线等分线段定理的本质． 2．探索并理解平行线等分线段定理的证明过程． 3．能独立证明平行线等分线段定理的推论1、推论2. 【核心扫描】 1．用平行线等分线段定理及推论解决与平行线有关的问题． (重点) 2．能应用定理和推论解决相关的几何计算问题和证明问题． (难点) 自学导引 1．平行线等分线段定理 (1)定义：如果一组_______在一条 直线上截得的线段相等，那么在 其他直线上截得的线段也相等． 用数学语言表述为：已知a∥b∥c， 直线m、n分别与a、b、c交于点 A、B、C和A′、B′、C′，如果AB＝BC，那么A′B′＝B′C′.如图所 示． 平行线 (2)推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分 ___________． 推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分 ___________． 试一试：如图，已知AD∥EF∥BC， E是AB的中点，则DG＝______， H是______的中点，F是______的中点． 提示　由平行线等分线段定理和AE＝ EB可得．故填BG、AC、CD. 第三边 另一腰 2．三角形、梯形的中位线定理 (1)三角形中位线平行于第三边，并且等于它的________． (2)梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的______． 一半 一半 名师点睛 1．对于平行线等分线段定理的理解 (1)对于定理的证明 分m平行于n和m不平行于n两种情况证明．当m平行于n时，直 接运用平行四边形加以证明；当m不平行于n时，利用辅助线 构造相似三角形，进而关系式得证． (2)定理及推论的主要作用在于证明同一直线上的线段相等问 题． 2．在梯形中，如果已知一腰的中点，添加辅助线的方法 (1)过这一点作底边的平行线，由平行线等分线段定理的推论 得另一腰的中点； (2)可通过延长线段构造全等三角形或相似三角形． 3．在几何证明中添加辅助线的方法 (1)在三角形中，由角平分线可构造全等或相似三角形； (2)在三角形或梯形中，若有一边上的中点，则过这点可作辅 助线． 题型一　平行线等分线段定理及其应用 【例1】 如图所示，在△ABC中，D是AB的中点，E是BC的三等 分点(BE>CE)，AE与CD交于点F.求证：F是CD的中点． [思维启迪] 过D作DG∥AE交BC于G， 再用平行线等分定理证明． 证明　过D作DG∥AE交BC于G. 在△ABE中，∵AD＝BD， DG∥AE，∴BG＝GE， ∵E是BC的三等分点， ∴BG＝GE＝EC， 在△CDG中， ∵GE＝CE，DG∥EF， ∴DF＝CF. 即F是CD的中点． 反思感悟　解决此题的关键是找出平行线等分线段定理的基本条 件，找准被一组平行线截得的线段． 题型二　平行线等分线段定理的推论 【例2】 如图所示，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝ 90°，点E是AB边的中点，连接ED、EC.求证：ED＝EC. [思维启迪] 由E是AB的中点，作EF∥BC交DC于F，即可得 EF⊥DC，从而利用线段中垂线的性质得到结论． 证明　如图所示，过点E作EF∥BC交DC于F， ∵在梯形ABCD中，AD∥BC， ∴AD∥EF∥BC， ∵E是AB的中点， ∴F是CD的中点． ∵∠ADC＝90°，∴∠DFE＝90°， ∴EF⊥DC于F. 又∵F是DC的中点， ∴EF是DC的垂直平分线， ∴ED＝EC. 反思感悟　证明不在同一条直线上的两条线段相等，可以根据等 腰三角形的两腰相等或者根据全等三角形对应边相等来证明． 【变式2】 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线， DE∥AB，求证：AE＝EC＝DE. 题型三　平行线等分线段定理的综合应用 【例3】 如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD于E， EF∥BC交AB于F. 求证：AF＝BF. [思维启迪] 延长AE交BC于M，由于CD是∠ACB的角平分线， 所 以 ∠ A C E ＝ ∠ E C M ， 并 且 A M ⊥ C E ， 因 此 容 易 得 到 △ACE≌△MCE.则AE＝ME，又EF∥BM，则AF＝BF. ∴E是AM的中点． 又在△ABM中， EF∥BM， ∴点F是AB边的中点， ∴AF＝BF. 反思感悟　这部分内容是新增内容，在高考中还未出现过，估计 不会单独命题，仅作为证明几何问题的工具使用．其用途是为下 节课的平行线分线段成比例定理做铺垫的． 方法技巧　对平行线等分线段定理在空间中 是否成立的探究 【示例】 如图所示，已知直线a、b被三个平行平面α、β、γ所截， 其交点分别为A、B、C、D、E、F，且有AB＝BC，试问：DE ＝EF吗？ 解　(1)当a、b共面时，有AD∥BE∥CF，又AB＝BC， ∴DE＝EF. (2)当a、b异面时，如图，过点A作直线c∥b，交平面α、β、γ于A、 G、H，连接AD，GE，HF，BG，CH，由α∥β∥γ以及面面平行 的性质得到AD∥GE∥HF，BG∥CH，又∵AB＝BC，结合平行线 等分线段定理得DE＝EF. 反思感悟　因此，平行线等分线段定理可推广到空间，即平行线 改为平行面仍是成立的．