专题52+直线与圆、圆与圆的位置关系（检测）-2019年高考数学（文）名师揭秘之一轮总复习 54页

‎【学习目标】‎ 能利用直线与圆、圆与圆的位置关系的几何特征判断直线与圆、圆与圆的位置关系，能熟练解决与圆的切线和弦长等有关的综合问题；体会用代数法处理几何问题的思想.‎ ‎【知识要点】 1．直线和圆的位置关系有三种：_______________．‎ ‎2．直线l：Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系的判断方法有：‎ ‎(1)几何方法：‎ 圆心(a，b)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝_______________和圆的半径r的大小关系：‎ d______r ⇔直线与圆相交；‎ d______r ⇔直线与圆相切；‎ d______r ⇔直线与圆相离．‎ ‎(2)代数方法：‎ 由消元，得到的一元二次方程的判别式为Δ，则 Δ______0⇔直线与圆相交；‎ Δ______0⇔直线与圆相切；‎ Δ______0⇔直线与圆相离．‎ ‎3．圆与圆的位置关系有__________________________________________．‎ ‎4．根据圆的方程，判断两圆位置关系的方法有：‎ ‎(1)几何方法：‎ 两圆(x－a1)2＋(y－b1)2＝r12(r1>0)与(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0)的圆心距为d，则d>r1＋r2⇔两圆________；‎ d＝r1＋r2⇔两圆__________；‎ ‎|r1－r2|0,即k2>1当∠AOB为锐角时,‎ 则 ‎,可得k2<>‎ 又因为k2>1,故k的取值范围为或。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查实数的取值范围的求法，考查直线是否过定点的判断与求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．‎ ‎41．已知圆：，一动直线l过与圆相交于.两点，是中点，l与直线m：相交于.‎ ‎（1）求证：当l与m垂直时，l必过圆心；‎ ‎（2）当时，求直线l的方程；‎ ‎（3）探索是否与直线l的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由.‎ ‎【答案】(1)见解析(2) 或（3）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径，根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1，由直线m的斜率求出直线l的斜率，根据点A和圆心坐标求出直线AC的斜率，得到直线AC的斜率与直线l的斜率相等，所以得到直线l过圆心；‎ ‎（2）分两种情况：①当直线l与x轴垂直时，求出直线l的方程；②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的斜率为k，写出直线l的方程，根据勾股定理求出CM的长，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到所设直线l的距离d，让d等于CM，列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，写出直线l的方程即可；‎ ‎（3）根据CM⊥MN，得到•等于0，利用平面向量的加法法则化简等于•，也分两种情况：当直线l与x轴垂直时，求得N的坐标，分别表示出和，求出两向量的数量积，得到其值为常数；当直线l与x轴不垂直时，设出直线l的方程，与直线m的方程联立即可求出N的坐标，分别表示出和，求出两向量的数量积，也得到其值为常数．综上，得到与直线l的倾斜角无关．‎ ‎【详解】‎ ‎（3）因为CM⊥MN, ‎ ‎①当与x轴垂直时，易得，则,又,‎ ‎，‎ ‎②当的斜率存在时，设直线的方程为，‎ 则由，得（ ）,则 ‎= ‎ 综上，与直线l的斜率无关，且.‎ ‎【点睛】‎ 此题考查学生掌握两直线垂直时斜率满足的条件，灵活运用平面向量的数量积的运算法则化简求值，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，会利用分类讨论的数学思想解决实际问题，是一道综合题．‎ ‎42．如图，已知圆的方程为，圆的方程为，若动圆与圆内切，与圆外切．‎ ‎（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹的方程；‎ ‎（Ⅱ）过直线上的点作圆的两条切线，设切点分别是，，若直线与轨迹交于，两点，求的最小值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）设动圆的半径为，由题动圆与圆内切，与圆外切，则 ‎，由此即可得到动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，进而得到动圆圆心的轨迹的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线上任意一点的坐标是，切点坐标分别是，‎ ‎；则经过点的切线斜方程是，同理经过点的切线方程是，又两条切线，相交于 .可得经过两点的直线的方程是，对分类讨论分别求出的值，即可得到的最小值. ‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）设动圆的半径为，∵动圆与圆内切，与圆外切，‎ ‎∴，且.于是，，‎ 所以动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆.从而，，‎ 所以.故动圆圆心的轨迹的方程为．‎ ‎（Ⅱ）设直线上任意一点的坐标是，切点坐标分别是，‎ ‎；则经过点的切线斜率，方程是，‎ 经过点的切线方程是，又两条切线，相交于 .‎ ‎ 则有，所以经过两点的直线的方程是，‎ ‎①当时，有，，，，则；‎ ‎②当时，联立，整理得；‎ 设坐标分别为，，则，‎ 所以，‎ 综上所述，当时，有最小值．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查点的轨迹的求法，考查直线与圆、椭圆的位置关系，属中档题.‎ ‎43．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）求的参数方程；‎ ‎（Ⅱ）求直线被截得的弦长．‎ ‎【答案】(1) 的参数方程为（为参数）;(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据圆的极坐标方程，先转化为圆的直角坐标方程；再根据参数方程与直角坐标的关系，求得圆的参数方程。‎ ‎（Ⅱ）将直线的参数方程化为直角坐标方程，利用点到直线距离与垂径定理求得弦长。‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了极坐标方程和参数方程与直角坐标方程的关系，点到直线距离与垂径定理的简单应用，属于中档题。‎ ‎44．在直角坐标系xOy中，直线l的方程是x=2，曲线C的参数方程为（α为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（Ⅰ）求直线l和曲线C的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）射线OM：θ=β（其中）与曲线C交于O，P两点，与直线l交于点M，求的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）ρcosθ=2，ρ=2sinθ（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（I）直线的方程是，利用 可得极坐标方程．圆的参数方程为（为参数），利用 可得普通方程，进而化为极坐标方程． （II）将分别带入，得，‎ ‎∴‎ 试题解析：（Ⅰ）∵，∴直线的极坐标方程是 由消参数得 ‎∴曲线的极坐标方程是 ‎（Ⅱ）将分别带入，得，‎ ‎∴，讨论，的范围，可得的取值范围 ‎∵，∴ ∴‎ ‎∴的取值范围是 ‎45．已知方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，‎ ‎（1）若方程C表示圆，求实数m的范围；‎ ‎（2）在方程表示圆时，该圆与直线l：x+2y﹣4=0相交于M、N两点，且|MN|=，求m的值．‎ ‎【答案】（1）（﹣∞，5）（2）m=4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由圆的一般方程的定义知4+16﹣4m＞0，由此能法语出实数m的取值范围．‎ ‎（2）求出圆心到直线x+2y﹣4=0的距离，由此利用已知条件能求出m的值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0表示圆，‎ ‎∴D2+E2﹣4F＞0，‎ 即4+16﹣4m＞0解得m＜5，‎ ‎∴实数m的取值范围是（﹣∞，5）．‎ ‎（2）∵方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，‎ ‎∴（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m，‎ 圆心（1，2）到直线x+2y﹣4=0的距离d==，（8分）‎ ‎∵圆与直线l：x+2y﹣4=0相交于M、N两点，且|MN|=，‎ ‎∴，‎ 解得m=4．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆的方程中参数m的取值范围，考查圆的方程中m的值的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．‎ ‎46．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1（a＞0）关于直线3x﹣2y=0对称，且与直线3x﹣4y+1=0相切．‎ ‎（1）求圆C的方程；‎ ‎（2）若直线l：y=kx+2与圆C交于M，N两点，是否存在直线l，使得（O为坐标原点）若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）（x﹣2）2+（y﹣3）2=1（2）不存在直线l ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，分析可得，解可得a、b的值，由圆的标准方程即可得答案；‎ ‎（2）假设存在满足题意的直线l，设M（x1，y1）N（x2，y2），联立直线与圆的方程，由直线与圆相交可得△=（2k+4）2﹣16（1+k2）＞0，由数量积的计算公式可得•=（1+k2）++4=6，解可得k的值，验证是否满足△＞0，即可得答案．‎ ‎【详解】‎ ‎（2）假设存在直线l，使得=6，设M（x1，y1）N（x2，y2），‎ 由得（1+k2）x2﹣（2k+4）x+4=0，‎ 由△=（2k+4）2﹣16（1+k2）＞0得，且，‎ ‎•=x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4=（1+k2）++4=6，‎ 解得k=﹣1或，不满足△＞0，‎ 所以不存在直线l，使得=6．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与圆方程的综合应用，涉及向量数量积的计算，注意圆C关于直线3x﹣2y=0对称，则圆心在直线上．‎ ‎47．已知圆O：x2+y2=4．‎ ‎（1）已知点P（1，），求过点P的圆O的切线方程；‎ ‎（2）已知点Q（2，3），过点Q作圆O的两条切线，切点分别为A，B，求经过A，B的直线方程．‎ ‎【答案】（1）x+y﹣4=0（2）2x+3y﹣4=0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）判断P（1，）在圆上，求出切线斜率即可求过点P的圆O的切线方程；‎ ‎（2）根据条件构造以OQ为直径的圆，利用两圆方程作差即可，求经过A，B的直线方程．‎ ‎【详解】‎ ‎（2）已知点Q（2，3），过点Q作圆O的两条切线，切点分别为A，B，‎ 则OA，OB和切线垂直，‎ 则以OQ为直径的圆和圆O相交于A，B两点，‎ 则OQ的中点为M（1，），|OM|==，‎ 则圆M的方程为（x﹣1）2+（y﹣）2=，‎ 即一般式方程为x2+y2﹣2x﹣3y=0，‎ 圆x2+y2=4的一般式方程为x2+y2﹣4=0，‎ 两式相减得2x+3y﹣4=0，‎ 即相交弦A，B的直线方程为2x+3y﹣4=0．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查圆的切线以及圆的相交弦方程问题，根据条件构造圆，求出圆的标准方程是解决本题的关键．‎ ‎48．已知圆:,点的坐标为(2,-1),过点作圆 的切线,切点为,.‎ ‎（1）求直线,的方程;‎ ‎（2）求过点的圆的切线长;‎ ‎（3）求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）或；（2）；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设过点P的直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求其斜率即可（2）在△中利用勾股定理求PA的长（3）利用AB与PC垂直的性质求出其斜率，由点斜式写出直线方程.‎ ‎【详解】‎ ‎(1).由已知得过点的圆的切线斜率的存在,‎ 设切线方程为,即.‎ 则圆心到直线的距离为,‎ 即,‎ ‎∴,∴或.‎ ‎∴所求直线的切线方程为或,‎ 即或.‎ ‎(2).在△中,‎ ‎∵,,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴过点的圆的切线长为.‎ ‎(3).直线的方程为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与圆相切的性质，以及切线的相关平面几何性质，属于中档题.解决此类问题要注意对初中学习的圆的平面几何性质灵活使用.‎ ‎49．在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．‎ ‎（1）若直线与圆相交于，两点，求弦长,若点,求的值；‎ ‎（2）以该直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，圆和圆的交点为，，求弦所在直线的直角坐标方程．‎ ‎【答案】（1），16；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先把直线和圆的参数方程化成直角坐标方程再求弦长，利用直线参数方程t的几何意义求的值.(2)直接把两圆是方程相减即得直线PQ的方程.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由直线l的参数方程为（t为参数）消去参数t，可得，即直线l的普通方程为．‎ 圆的参数方程为（为参数），根据消去参数，可得，所以圆心O到直线l的距离，故弦长．‎ 把直线的参数方程代入圆的方程得 所以 .‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查参数方程极坐标与直角坐标的互化，考查直线和圆的位置关系，考查圆中弦长的计算，考查直线的参数方程，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)利用直线的参数方程t的几何意义求值时，一定要把直线的参数方程化成标准的参数方程.‎ ‎50．已知关于x，y的方程C：x2+y2-2x-4y+m=0．‎ ‎（1）若方程C表示圆，求m的取值范围；（2）若圆C与圆x2+y2-8x-12y+36=0外切，求m的值；（3）若圆C与直线l：x+2y-4=0相交于M，N两点，且|MN|=，求m的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）4；（3）4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接把圆的一般式转化为标准式，进一步求出圆的成立的充要条件． （2）直接利用圆与圆相切的充要条件求出结果． （3）利用直线与圆的位置关系，进一步利用垂径定理求出m的值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）把方程C：x2+y2-2x-4y+m=0，配方得：（x-1）2+（y-2）2=5-m，‎ 若方程C表示圆，则5-m＞0，解得m＜5；‎ ‎（2）把圆x2+y2-8x-12y+36=0化为标准方程得：（x-4）2+（y-6）2=16，得到圆心坐标（4，6），半径为4，‎ 则两圆心间的距离d==5，‎ 因为两圆的位置关系是外切，所以d=R+r即4+=5，解得m=4；‎ ‎（3）因为圆C圆心C的坐标为（1，2），则圆心C到直线l的距离d==，‎ 所以=（|MN|）2+d2，即5-m=1，解得m=4．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆成立的充要条件的应用，圆与圆的位置关系的应用，直线与圆的位置关系的应用及相关的垂径定理得应用，属中档题．‎ ‎51．已知关于的方程．‎ ‎（Ⅰ）若方程表示圆，求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若圆与圆外切，求的值；‎ ‎（Ⅲ）若圆与直线相交于两点，且，求的值．‎ ‎【答案】(1) m<5; （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据圆的标准的方程条件列不等式求出的范围； （Ⅱ）利用垂径定理得出圆的半径，从而得出的值．‎ ‎（Ⅲ）（2）先求出圆心坐标和半径，圆心到直线的距离，利用弦长公式求出的值．‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ ‎（2）由（1）知圆的圆心为，半径为，‎ 可化为，‎ 故圆心为，半径为．‎ 又两圆外切，‎ 所以，‎ 即，可得． ‎ ‎（3）圆的圆心到直线的距离为 ‎， ‎ 由则，‎ 又 ，‎ 所以得 ．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆的标准方程的特征，圆与圆外切的性质，点到直线的距离公式、弦长公式的应用．属于基础题．‎ ‎52．已知圆过点，，圆心在直线上．‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）过圆上任一点作圆的两条切线，切点分别为，，求四边形面积的取值范围．‎ ‎【答案】(1).‎ ‎(2).‎ ‎【解析】分析：（1）根据条件设圆的方程为，由题意可解得，于是可求得圆的方程．（2）根据几何知识可得，故将所求范围的问题转化为求切线长的问题，然后根据切线长的求法可得结论．‎ ‎（2）由圆的切线的性质得，‎ 而．‎ 由几何知识可得，‎ 又，‎ 所以，‎ 故，‎ 所以，‎ 即四边形面积的取值范围为．‎ 点睛：解决圆的有关问题时经常结合几何法求解，借助图形的直观性可使得问题的求解简单直观．如在本题中将四边形的面积转化为切线长的问题，然后再转化为圆外一点到圆上的点的距离的范围的问题求解．‎ ‎53．已知圆C1：x2＋y2－4x－2y－5＝0与圆C2：x2＋y2－6x－y－9＝0.‎ ‎(1)求证：两圆相交；(2)求两圆公共弦所在的直线方程；‎ ‎(3)在平面上找一点P，过P点引两圆的切线并使它们的长都等于6.‎ ‎【答案】 (1)证明见解析；(2)2x－y＋4＝0.(3)P(3,10)或(－，－)．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）计算圆心之间距离，根据与两半径和与差的关系判断证明，（2）对应相减两圆方程得公共弦所在直线方程，（3）根据切线长公式列方程，再与P点在公共弦所在直线上联立方程组，解得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)证明：圆C1：(x－2)2＋(y－1)2＝10，圆C2：(x－3)2＋(y－)2＝.‎ ‎∵两圆心距|C1C2|＝＝，且－<<＋，‎ ‎∴圆C1与圆C2相交．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两圆位置关系、公共弦求法以及切线长公式，考查基本求解能力.‎ ‎54．已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，问：m为何值时，(1)圆C1与圆C2外切？(2)圆C1与圆C2内含？‎ ‎【答案】（1）m＝－5或m＝2 (2)－2＜m＜－1.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将两圆方程化为标准方程，再根据两圆位置关系确定圆心之间距离与两半径和与差的关系，解方程或不等式得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为 所以（1）‎ ‎（2）‎ ‎【点睛】‎ 判断圆与圆的位置关系的常见方法 ‎(1)几何法：利用圆心距与两半径和与差的关系．‎ ‎(2)切线法：根据公切线条数确定．‎ ‎（3）数形结合法：直接根据图形确定 ‎55．在平面直角坐标系中，已知圆的方程为：，直线的方程为.‎ ‎（1）求证：直线恒过定点；‎ ‎（2）当直线被圆截得的弦长最短时，求直线的方程；‎ ‎（3）在（2）的前提下，若为直线上的动点，且圆上存在两个不同的点到点的距离为，求点的横坐标的取值范围.‎ ‎【答案】(1)证明见解析.‎ ‎(2).‎ ‎(3).‎ ‎【解析】分析：（1）直线l可理解为过定点的直线系，求出直线恒过的定点；‎ ‎（2）说明直线l被圆C截得的弦长最短时，圆心与定点连线与直线l垂直，求出斜率即可得到直线的方程；．‎ ‎（3）问题可转化为以为圆心， 为半径画圆，当圆与圆相交时满足题意. ‎ ‎（）方法一：由题意可知：圆心C：，‎ ‎ ，‎ 又当所截弦长最短时， ，‎ ‎.‎ 方法二：∵圆心到直线的距离，‎ ‎，‎ 设弦长为，则，‎ 当所截弦长最短时， 取最大值，‎ ‎∴，令，‎ ‎．‎ 令 ‎，‎ 当时， 取到最小值．‎ 此时， 取最大值，弦长取最小值，‎ 直线上方程为．‎ 点睛：本题主要考查待定直线过定点问题. 属于中档题. 探索曲线过定点的常见方法有两种：① 可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元（往往可以化为的形式，根据 求解），借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，也可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点). ② 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.‎ ‎56．已知圆，圆．‎ ‎（Ⅰ）试判断圆与圆的位置关系；‎ ‎（Ⅱ）在直线上是否存在不同于的一点，使得对于圆上任意一点都有为同一常数．‎ ‎【答案】（Ⅰ）相交；（II）．‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）根据几何法和代数法两种方法可判断两圆的位置关系．（Ⅱ）假设存在满足条件的点和，根据为常数得到关于的方程，将此方程与圆的方程比较可得所求结果．‎ 详解：（Ⅰ）由题意得圆的标准方程为，‎ 的标准方程为．‎ ‎∴两圆的圆心距为，‎ 又两圆的半径之差,两圆的半径之和 ，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴两圆相交．‎ ‎（Ⅱ）由题意得直线的方程为．‎ 假设直线上存在不同于的一点满足条件，设,，‎ 则由题意得，‎ 化简得，‎ 显然上式与圆的方程为同一方程，‎ 则 解得或（不合题意，舍去）．‎ 所以所求的点的坐标为．‎ 点睛：（2）判断两圆的位置关系时，可根据圆心距与两圆半径间的关系判断，也可通过解方程组根据解得个数判断，解题时灵活选择方法求解．‎ ‎（2）解析几何中的探索性问题，解决时可先假设结论成立，并在此基础上进行推理，看是否得到矛盾，若得到矛盾则假设不成立；若得不到矛盾，则假设成立．‎ ‎57．已知圆M：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－1＝0与圆N：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0相交于A、B两点,且这两点平分圆N的圆周,求圆M的圆心坐标．‎ ‎【答案】见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 两圆方程相减得直线AB的方程,且AB为圆N的直径,从而得到圆M的圆心坐标．‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ 设、是两圆的交点，则有和成立，‎ 即、满足方程 ‎ ‎ 即。所以直线l表示两圆相交弦所在直线.‎ ‎58．已知圆：，圆：，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心轨迹为曲线．‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）若是曲线上关于轴对称的两点，点，直线交曲线 于另一点，求证：直线过定点，并求该定点的坐标．‎ ‎【答案】（1）；（2）过定点 ‎【解析】分析：（1）根据圆与圆外切并且与圆内切可得点满足 ‎，由椭圆的定义可得动点的轨迹，然后可求得其方程．（2）由题意可设直线的方程为，将其代入椭圆方程消去y后可得二次方程，根据点共线及根据系数的关系可得，于是直线方程是，过定点．‎ 详解：（1）圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径， ‎ 设动圆半径为，‎ ‎∵圆与圆外切且与圆内切，‎ ‎∴ ，，‎ ‎∴ ， ‎ ‎∴圆心的轨迹是以M，N为焦点，长轴长为4的椭圆（左顶点除外），设其方程为．‎ 由题意得，∴，‎ ‎∴曲线C的方程为．‎ ‎（2）由题意知直线斜率存在，设直线的方程为，‎ 由消去y整理得，‎ ‎∵直线与椭圆交于A,E两点，‎ ‎∴，‎ 整理得①，‎ 设，，则，‎ 且，，‎ ‎∵点共线，‎ ‎∴，即，‎ 整理得，‎ ‎∴ ，‎ 整理得，满足判别式①．‎ ‎∴直线方程是，‎ ‎∴直线过定点．‎ 点睛：（1）求曲线方程时，要结合条件进行判断曲线上是否有不符合题意的点，对于此类点要去掉．‎ ‎（2）证明直线过定点时，首先要根据题意选择参数，建立一个直线系方程，然后根据该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点．‎ ‎59．已知点和动点，以线段为直径的圆内切于圆.‎ ‎（1）求动点的轨迹方程；‎ ‎（2）已知点， ，经过点的直线与动点的轨迹交于， 两点，求证：直线与直线的斜率之和为定值.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）设以线段为直径的圆的圆心为，取，借助几何知识分析可得动点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆，根据待定系数法可得动点的轨迹方程为．（2）①当直线垂直于轴时，不合题意；②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，与椭圆方程联立消元后可得二次方程，根据二次方程根与系数的关系及斜率公式可得，为定值．‎ 试题解析：‎ ‎（1）如图，设以线段为直径的圆的圆心为，取.‎ ‎（2）①当直线垂直于轴时，直线的方程为，此时直线与椭圆相切，与题意不符.‎ ‎②当直线的斜率存在时，设直线的方程为.‎ 由消去y整理得.‎ ‎∵直线与椭圆交于， 两点，‎ ‎∴，‎ 解得． ‎ 设， ，‎ 则，‎ ‎（定值）．‎ 点睛：‎ ‎（1）解题时注意圆锥曲线定义的两种应用，一是利用定义求曲线方程，二是根据曲线的定义求曲线上的点满足的条件，并进一步解题．‎ ‎（2）求定值问题常见的方法 ‎①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．‎ ‎②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．‎