2018届二轮复习 立体几何 学案（全国通用） 9页

专题04立体几何 核心考点一平行关系的证明 平行关系包括直线与直线平行、直线与平面平行及平面与平面平行,平行关系的证明一般作为解答题的第一问,难度中等或中等以下,解答此类问题要注意步骤的规范.‎ ‎【经典示例】如图所示,四边形ABCD与四边形ADEF都为平行四边形,M,N,G分别是AB,AD,EF的中点．求证：‎ ‎(1)BE∥平面DMF；‎ ‎(2)平面BDE∥平面MNG.‎ 答题模板 证明BE∥平面DMF的步骤 第一步,在平面DMF内找出一条直线MO与BE平行；‎ 第二步,指出 BE平面DMF,MO平面DMF；‎ 第三步,由线面平行的判断定理得BE∥平面DMF.‎ ‎【满分答案】证明　(1)如图所示,设DF与GN交于点O,连接AE,则AE必过点O,‎ 连接MO,则MO为△ABE的中位线,‎ 所以BE∥MO.‎ 因为BE平面DMF,MO平面DMF,‎ 所以BE∥平面DMF.‎ ‎(2)因为N,G分别为平行四边形ADEF的边AD,EF的中点,‎ 所以DE∥GN.‎ 因为DE平面MNG,GN平面MNG,‎ 所以DE∥平面MNG.‎ 因为M为AB的中点,‎ 所以MN为△ABD的中位线,‎ 所以BD∥MN.‎ 因为BD平面MNG,MN平面MNG,‎ 所以BD∥平面MNG.‎ 因为DE与BD为平面BDE内的两条相交直线,‎ 所以平面BDE∥平面MNG.‎ ‎【解题技巧】‎ ‎1.判断或证明线面平行的常用方法 ‎(1)利用线面平行的定义(无公共点)；‎ ‎(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α, b⊂α,a∥b⇒a∥α)；‎ ‎(3)利用面面平行的性质定理(α∥β,a⊂α⇒a∥β)；[来源: ]‎ ‎(4)利用面面平行的性质(α∥β,a⊄α,a⊄β,a∥α⇒a∥β)．‎ ‎2. 证明面面平行的方法 ‎(1)面面平行的定义；‎ ‎(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行；‎ ‎(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；‎ ‎(4)两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行；‎ ‎(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化． ‎ ‎3. 平行关系之间的转化 在证明线面、面面平行时,一般遵循从“低维”到“高维”的转化,即从“线线平行”到“线面平行”,再到“面面平行”；而在应用性质定理时,其顺序恰好相反,但也要注意,转化的方向是由题目的具体条件而定的,不可过于“模式化”．‎ 模拟训练 ‎1．如图所示,斜三棱柱ABC－A1B1C1中,点D,D1分别为AC,A1C1上的点．‎ ‎(1)当等于何值时,BC1∥平面AB1D1?‎ ‎(2)若平面BC1D∥平面AB1D1,求的值．‎ 由棱柱的性质知,四边形A1ABB1为平行四边形,‎ ‎∴点O为A1B的中点．‎ 在△A1BC1中,点O,D1分别为A1B,A1C1的中点,‎ ‎∴OD1∥BC1.‎ 又∵OD1平面AB1D1,BC1平面AB1D1,‎ ‎∴BC1∥平面AB1D1.‎ ‎∴当＝1时,BC1∥平面AB1D1.‎ ‎(2)由平面BC1D∥平面AB1D1,‎ 且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1,‎ 平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O,‎ 得BC1∥D1O,同理AD1∥DC1,‎ ‎∴＝,＝,‎ 又∵＝1,∴＝1,即＝1.‎ 核心考点二垂直关系的证明 平行关系包括直线与直线垂直、直线与平面垂直及平面与平面垂直,垂直关系的证明一般作为解答题的第一问,难度中等或中等以下,解答此类问题要注意步骤的规范.‎ ‎【经典示例】如图所示,在四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC＝60°,PA＝AB＝BC,E是PC的中点．证明：‎ ‎(1)CD⊥AE；‎ ‎(2)PD⊥平面ABE.‎ 答题模板 证明PD⊥平面ABE(线面垂直)的步骤：‎ 第一步,证明AE⊥PD,AB⊥PD(在平面ABE内找出两条直线与AD垂直)；.‎ 第二步,指出AB∩AE＝A (两直线相交)；.‎ 第三步,利用线面垂直的判定定理确定PD⊥平面ABE.‎ ‎【满分答案】(1)在四棱锥PABCD中,‎ ‎∵PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD, ‎ ‎∴PA⊥CD.∵AC⊥CD,PA∩AC＝A,‎ ‎∴CD⊥平面PAC.‎ 而AE⊂平面PAC,∴CD⊥AE.‎ ‎(2)由PA＝AB＝BC,∠ABC＝60°,可得AC＝PA.‎ ‎∵E是PC的中点,‎ ‎∴AE⊥PC.‎ 由(1)知AE⊥CD,且PC∩CD＝C,‎ ‎∴AE⊥平面PCD.‎ 而PD⊂平面PCD,∴AE⊥PD.‎ ‎∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥AB.‎ 又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A,‎ ‎∴AB⊥平面PAD,而PD⊂平面PAD,‎ ‎∴AB⊥PD.‎ 又∵AB∩AE＝A,∴PD⊥平面ABE.‎ ‎【解题技巧】‎ ‎1.证明线面垂直的常用方法及关键 ‎(1)证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b,a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α,α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．‎ ‎(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直,而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此,判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．‎ ‎2. 判定面面垂直的方法 ‎①面面垂直的定义；‎ ‎②面面垂直的判定定理(a⊥β,a⊂α⇒α⊥β)．‎ ‎(2)在已知平面垂直时,一般要用性质定理进行转化．‎ 在一个平面内作交线的垂线,转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直．‎ ‎3. 垂直关系之间的转化 在证明线面垂直、面面垂直时,一定要注意判定定理成立的条件．同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系,即：‎ 在证明两平面垂直时,一般先从现有的直线中寻找平面的垂线,若这样的直线在图中不存在,则可通过作辅助线来解决. ‎ 模拟训练 ‎2．如图,在直三棱柱ABCA1B‎1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A‎1F,A‎1C1⊥A1B1.‎ 求证：(1)直线DE∥平面A‎1C1F；‎ ‎(2)平面B1DE⊥平面A‎1C1F.‎ ‎【解析】(1)在直三棱柱ABCA1B‎1C1中,A‎1C1∥AC.‎ 在△ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,‎ 所以DE∥AC,于是DE∥A‎1C1.‎ 又因为DE平面A‎1C1F,A‎1C1平面A‎1C1F,‎ 所以直线DE∥平面A‎1C1F.‎ 又因为B1D⊥A‎1F,A‎1C1平面A‎1C1F,A1F平面A‎1C1F,A‎1C1∩A‎1F＝A1,‎ 所以B1D⊥平面A‎1C1F.‎ 因为直线B1D平面B1DE,所以平面B1DE⊥平面A‎1C1F.‎ 核心考点三求几何体的体积 全国卷文科高考立体几何解答题第二问通常为几何体体积的计算,难度多为中等或中等以下,计算柱、锥、台体的体积,关键是根据条件找出相应的底面面积和高,应注意充分利用多面体的截面特别是轴截面,将空间问题转化为平面问题求解.‎ ‎【经典示例】如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB＝AD＝AC＝3,PA＝BC＝4,M为线段AD上一点,AM＝2MD,N为PC的中点．‎ ‎(1)证明：MN∥平面PAB；‎ ‎(2)求四面体NBCM的体积．‎ 答题模板 求三棱锥体积的步骤 第一步,确定几何体是三棱锥或把几何体分割为几个三棱锥；‎ 第二步,确定棱锥的顶点及底面(注意一般以高与底面积比较容易求为原则)；‎ 第三步,求出高于底面积；‎ 第四步,代入体积公式进行计算.‎ ‎【满分答案】(1)由已知得AM＝AD＝2.‎ 如图,取BP的中点T,连接AT,TN,‎ 由N为PC中点知TN∥BC,TN＝BC＝2.‎ 又AD∥BC,故TN=AM,TN∥AM,所以四边形AMNT为平行四边形,于是MN∥AT.‎ 因为AT⊂平面PAB,MN平面PAB,‎ 所以MN∥平面PAB.‎ ‎(2)因为PA⊥平面ABCD,N为PC的中点,所以N到平面ABCD的距离为PA.‎ 取BC的中点E,连接AE.‎ 由AB＝AC＝3得AE⊥BC,AE＝＝.‎ 由AM∥BC得M到BC的距离为,‎ 故S△BCM＝×4×＝2.[来源: ]‎ 所以四面体N-BCM的体积VN-BCM＝×S△BCM×＝.‎ ‎【解题技巧】‎ ‎1.若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体,则可直接利用公式进行求解．‎ ‎2.求空间几何体体积的常用方法为割补法和等积变换法：①割补法：将这个几何体分割成几个柱体、锥体,分别求出柱体和锥体的体积,从而得出要求的几何体的体积；②等积变换法：特别的,对于三棱锥,由于其任意一个面均可作为棱锥的底面,从而可选择更容易计算的方式来求体积；利用“等积性”还可求“点到面的距离”.‎ ‎3. “补形法”是立体几何中一种常见的重要方法,在解题时,把几何体通过“补形”‎ 补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中,巧妙地破解空间几何体的体积等问题,常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形,对于还原补形,主要涉及台体中“还台为锥”,将不规则的几何体补成规则的几何体等．学%科网 模拟训练 ‎3．如图所示,在空间几何体ADE－BCF中,四边形ABCD是梯形,四边形CDEF是矩形,且平面ABCD⊥平面CDEF,AD⊥DC,AB＝AD＝DE＝2,EF＝4,M是线段AE上的动点．‎ ‎(1)试确定点M的位置,使AC∥平面MDF,并说明理由；‎ ‎(2)在(1)的条件下,平面MDF将几何体ADE－BCF分成两部分,求空间几何体M－DEF与空间几何体ADM－BCF的体积之比．‎ ‎ (2)将几何体ADE－BCF补成三棱柱ADE－B′CF,如图所示,‎ 三棱柱ADE－B′CF的体积为V＝S△ADE·CD＝.‎ ‎×2×2×4＝8,则几何体ADE－BCF的体积VADE－BCF＝VADE－B′CF－VF－BB′C ‎＝8－××2＝.‎ 因为三棱锥M－DEF的体积 VM－DEF＝××1＝,‎ 所以VADM－BCF＝－＝,‎ 所以两几何体的体积之比为∶＝1∶4.‎