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  • 2021-06-17 发布

专题05 导数及其应用-2017年高考数学(文)备考黄金易错点

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专题05 导数及其应用 ‎2017年高考数学(文)备考学易黄金易错点 ‎1.(2016·四川)已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a等于(  )‎ A.-4B.-2C.4D.2‎ 答案 D ‎2.(2016·课标全国乙)若函数f(x)=x-sin2x+asinx在(-∞,+∞)上单调递增,则a的取值范围是(  )‎ A.-1,1] B. C. D. 答案 C 解析 方法一 (特殊值法):不妨取a=-1,‎ 则f(x)=x-sin 2x-sin x,‎ f′(x)=1-cos 2x-cos x,但f′(0)=1--1=-<0,不具备在(-∞,+∞)单调递增,排除A,B,D.故选C.‎ 方法二 (综合法):∵函数f(x)=x-sin 2x+asin x在(-∞,+∞)单调递增,‎ ‎∴f′(x)=1-cos 2x+acos x ‎=1-(2cos2x-1)+acos x ‎=-cos2x+acos x+≥0,即acos x≥cos2x-在(-∞,+∞)恒成立.‎ 当cos x=0时,恒有0≥-,得a∈R;‎ 当00,因此函数f(x)在0,1]上单调递增,‎ 所以x∈0,1]时,f(x)min=f(0)=-1.‎ 根据题意可知存在x∈1,2],‎ 使得g(x)=x2-2ax+4≤-1,‎ 即x2-2ax+5≤0,即a≥+能成立,‎ 令h(x)=+,‎ 则要使a≥h(x)在x∈1,2]能成立,只需使a≥h(x)min,‎ 又函数h(x)=+在x∈1,2]上单调递减,‎ 所以h(x)min=h(2)=,故只需a≥.‎ 易错起源1、导数的几何意义 例1 (1)(2016·课标全国甲)若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=________.‎ ‎(2)已知f(x)=x3-2x2+x+6,则f(x)在点P(-1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于(  )‎ A.4 B.5‎ C. D. 答案 (1)1-ln2(2)C ‎ ‎ ‎(2)∵f(x)=x3-2x2+x+6,‎ ‎∴f′(x)=3x2-4x+1,‎ ‎∴f′(-1)=8,切线方程为y-2=8(x+1),‎ 即8x-y+10=0,令x=0,得y=10,‎ 令y=0,得x=-,‎ ‎∴所求面积S=××10=.‎ ‎【变式探究】设曲线y=在点处的切线与直线x+ay+1=0垂直,则a=________.‎ 答案 1‎ 解析 由题意得,‎ y′==,‎ 则曲线y=在点处的切线的斜率为 k1==1.‎ 因为直线x+ay+1=0的斜率k2=-,又该切线与直线x+ay+1=0垂直,所以k1k2=-1,解得a=1.‎ ‎【名师点睛】‎ ‎(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异,过点P的切线中,点P不一定是切点,点P也不一定在已知曲线上,而在点P处的切线,必以点P为切点.‎ ‎(2)利用导数的几何意义解题,主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值,则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系,进而和导数联系起来求解.‎ ‎【锦囊妙计,战胜自我】‎ ‎1.函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率,曲线f(x)在点P处的切线的斜率k=f′(x0),相应的切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).‎ ‎2.求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的不同.‎ 易错起源2、利用导数研究函数的单调性 例2、设函数f(x)=xekx (k≠0).‎ ‎(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;‎ ‎(2)求函数f(x)的单调区间;‎ ‎(3)若函数f(x)在区间(-1,1)内单调递增,求k的取值范围.‎ 解 (1)由题意可得f′(x)=(1+kx)ekx,‎ f′(0)=1,f(0)=0,‎ 故曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=x.‎ ‎(2)由f′(x)=(1+kx)ekx=0,得x=-(k≠0),‎ 若k>0,则当x∈时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减,‎ 当x∈时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;‎ 若k<0,则当x∈时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增,‎ 当x∈时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减.‎ ‎(3)由(2)知,若k>0,则当且仅当-≤-1,即k≤1时,函数f(x)在区间(-1,1)内单调递增;‎ 若k<0,则当且仅当-≥1,即k≥-1时,函数f(x)在区间(-1,1)内单调递增.‎ 综上可知,函数f(x)在区间(-1,1)内单调递增时,k的取值范围是-1,0)∪(0,1].‎ ‎【变式探究】(1)已知m是实数,函数f(x)=x2(x-m),若f′(-1)=-1,则函数f(x)的单调递增区间是(  )‎ A. B. C.∪(0,+∞) ‎ D.∪(0,+∞)‎ ‎(2)若函数f(x)=2x2-lnx在其定义域内的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数,则实数k的取值范围是__________.‎ 答案 (1)C (2) 解析 (1)因为f′(x)=3x2-2mx,‎ 所以f′(-1)=3+2m=-1,解得m=-2.‎ 由f′(x)=3x2+4x>0,解得x<-或x>0,即函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-)∪(0,+∞),‎ 故选C.‎ ‎(2)f(x)的定义域为(0,+∞).‎ f′(x)=4x-.‎ 由f′(x)=0,得x=.‎ 据题意,得 解得1≤k<.‎ ‎【名师点睛】‎ 利用导数研究函数单调性的一般步骤:‎ ‎(1)确定函数的定义域;‎ ‎(2)求导函数f′(x);‎ ‎(3)①若求单调区间(或证明单调性),只要在函数定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.‎ ‎②若已知函数的单调性,则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解.‎ ‎【锦囊妙计,战胜自我】‎ ‎1.f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件,如函数f(x)=x3在(-∞,+∞)上单调递增,但f′(x)≥0.‎ ‎2.f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件,当函数在某个区间内恒有f′(x)=0时,则f(x)为常函数,函数不具有单调性.‎ 易错起源3、利用导数求函数的极值、最值 例3、已知函数f(x)=ax--3lnx,其中a为常数.‎ ‎(1)当函数f(x)的图象在点处的切线的斜率为1时,求函数f(x)在上的最小值;‎ ‎(2)若函数f(x)在区间(0,+∞)上既有极大值又有极小值,求a的取值范围.‎ 解 (1)f′(x)=a+-(x>0),‎ 由题意可知,f′=1,解得a=1.‎ 故f(x)=x--3lnx,‎ ‎∴f′(x)=,‎ 根据题意由f′(x)=0,得x=2.‎ 于是可得下表:‎ x ‎2‎ ‎(2,3)‎ ‎3‎ f′(x)‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎ ‎↘‎ ‎1-3ln2‎ ‎↗‎ ‎∴f(x)min=f(2)=1-3ln2.‎ ‎(2)f′(x)=a+-=(x>0), ‎ 由题意可得方程ax2-3x+2=0有两个不等的正实根,不妨设这两个根为x1,x2,并令h(x)=ax2-3x+2,‎ 则 解得00时,‎ 令f′(x)==0,得 x1=-(舍去),x2=,‎ 所以x,f′(x),f(x)的变化情况如下表:‎ x ‎(0,)‎ ‎(,+∞)‎ f′(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ f(x)‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 所以f(x)max=f()=ln<0,所以a>1.‎ 综上可得,a的取值范围是(1,+∞).‎ ‎【名师点睛】‎ ‎(1)求函数f(x)的极值,则先求方程f′(x)=0的根,再检查f′(x)在方程根的左右函数值的符号.‎ ‎(2)若已知极值大小或存在情况,则转化为已知方程f′(x)=0根的大小或存在情况来求解.‎ ‎(3)求函数f(x)在闭区间a,b]的最值时,在得到极值的基础上,结合区间端点的函数值f (a),f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值.‎ ‎【锦囊妙计,战胜自我】‎ ‎ 1.若在x0附近左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,则f(x0)为函数f(x)的极大值;若在x0附近左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,则f(x0)为函数f(x)的极小值.‎ ‎2.设函数y=f(x)在a,b]上连续,在(a,b)内可导,则f(x)在a,b]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得.‎ ‎ 1.函数f(x)=x2+sin,f′(x)为f(x)的导函数,则f′(x)的图象是(  )‎ 答案 C 解析 依题意f(x)=x2-cosx,对f(x)求导,得f′(x)=x+sinx,可知f′(x)为奇函数,由此可排除B,D;当x<0时,f′(x)=x+sinx<0,由此可排除A.‎ ‎2.曲线y=f(x)=在点(1,f(1))处的切线方程是(  )‎ A.x=1 B.y= C.x+y=1 D.x-y=1‎ 答案 B 解析 f(x)=的导数f′(x)=,‎ ‎∴曲线在点(1,f(1))处的切线斜率k=0,‎ ‎∵切点为,‎ ‎∴曲线在点(1,f(1))处的切线方程为y=.‎ ‎3.已知a≥0,函数f(x)=(x2-2ax)ex.若f(x)在-1,1]上是单调递减函数,则a的取值范围是(  )‎ A.0-,都存在x∈R,使得f(x)-,方程f(x)=m总有两个实根 答案 B 解析 因为f′(x)=(x+1)ex]′=(x+1)ex+ex=(x+2)ex,故函数在区间(-∞,-2),(-2,+∞)上分别为减函数与增函数,故f(x)min=f(-2)=-,故当m>-时,总存在x使得f(x)0时,xf′(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是(  )‎ A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞)‎ C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(0,1)∪(1,+∞)‎ 答案 A 解析 设g(x)=,‎ 则g(x)的导数g′(x)=.‎ ‎∵当x>0时,总有xf′(x)0时,g′(x)<0恒成立,‎ ‎∴当x>0时,函数g(x)=为减函数,‎ 又∵g(-x)====g(x),‎ ‎∴函数g(x)为定义域上的偶函数,‎ 又∵g(-1)==0,‎ ‎∴函数g(x)的大致图象如图:‎ 数形结合可得,不等式f(x)>0⇔x·g(x)>0‎ ‎⇔或⇔00,∴f(x)为增函数.‎ 又f(x)为奇函数,由f(mx-2)+f(x)<0知,‎ f(mx-2)0;x∈时,y′<0,故函数在上递增,在上递减,所以当x=时,函数取最大值+.‎ ‎11.已知函数f(x)=-lnx,x∈1,3].‎ ‎(1)求f(x)的最大值与最小值;‎ ‎(2)若f(x)<4-at对任意的x∈1,3],t∈0,2]恒成立,求实数a的取值范围.‎ 解 (1)∵函数f(x)=-lnx,∴f′(x)=-,‎ 令f′(x)=0,得x=2或x=-2(舍去).‎ ‎∵x∈1,3],‎ 当10.‎ ‎∴f(x)在(1,2)上是单调减函数,‎ 在(2,3)上是单调增函数,‎ ‎∴f(x)在x=2处取得极小值f(2)=-ln2.‎ 又f(1)=,f(3)=-ln3,‎ ‎∵ln3>1,∴-(-ln3)=ln3-1>0,‎ ‎∴f(1)>f(3),‎ ‎∴当x=1时,f(x)取得最大值为;‎ 当x=2时,f(x)取得最小值为-ln2.‎ ‎(2)由(1)知,当x∈1,3]时,f(x)≤,‎ 故对任意x∈1,3],f(x)<4-at恒成立,‎ 只要4-at>对任意t∈0,2]恒成立,即at<恒成立,记g(t)=at,t∈0,2].‎ ‎∴解得a<,‎ ‎∴实数a的取值范围是(-∞,).‎ ‎12.已知函数f(x)=(ax2-1)·ex,a∈R.‎ ‎(1)若函数f(x)在x=1时取得极值,求a的值;‎ ‎(2)当a≤0时,求函数f(x)的单调区间.‎ ‎②当a<0时,方程g(x)=ax2+2ax-1=0的判别式为Δ=4a2+4a,‎ 令Δ=0,解得a=0(舍去)或a=-1.‎ ‎(ⅰ)当a=-1时,‎ g(x)=-x2-2x-1=-(x+1)2≤0,‎ 即f′(x)=(ax2+2ax-1)·ex≤0,‎ 且f′(x)在x=-1两侧同号,仅在x=-1时等于0,则f(x)在(-∞,+∞)上为单调减函数.‎ ‎(ⅱ)当-10,令g(x)=0,‎ 方程ax2+2ax-1=0有两个不相等的实数根x1=-1+,x2=-1-,‎ 作差可知-1->-1+,‎ 则当x<-1+时,g(x)<0,f′(x)<0,‎ f(x)在上为单调减函数;‎ 当-1+0,f′(x)>0,‎ f(x)在上为单调增函数;‎ 当x>-1-时,g(x)<0,f′(x)<0,‎ f(x)在上为单调减函数.‎ 综上所述,当-1≤a≤0时,函数f(x)的单调减区间为(-∞,+∞);‎ 当a<-1时,函数f(x)的单调减区间为 ,,‎ 函数f(x)的单调增区间为 .‎ ‎ ‎