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- 2021-06-17 发布
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专题05 导数及其应用
2017年高考数学(文)备考学易黄金易错点
1.(2016·四川)已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a等于( )
A.-4B.-2C.4D.2
答案 D
2.(2016·课标全国乙)若函数f(x)=x-sin2x+asinx在(-∞,+∞)上单调递增,则a的取值范围是( )
A.-1,1] B.
C. D.
答案 C
解析 方法一 (特殊值法):不妨取a=-1,
则f(x)=x-sin 2x-sin x,
f′(x)=1-cos 2x-cos x,但f′(0)=1--1=-<0,不具备在(-∞,+∞)单调递增,排除A,B,D.故选C.
方法二 (综合法):∵函数f(x)=x-sin 2x+asin x在(-∞,+∞)单调递增,
∴f′(x)=1-cos 2x+acos x
=1-(2cos2x-1)+acos x
=-cos2x+acos x+≥0,即acos x≥cos2x-在(-∞,+∞)恒成立.
当cos x=0时,恒有0≥-,得a∈R;
当00,因此函数f(x)在0,1]上单调递增,
所以x∈0,1]时,f(x)min=f(0)=-1.
根据题意可知存在x∈1,2],
使得g(x)=x2-2ax+4≤-1,
即x2-2ax+5≤0,即a≥+能成立,
令h(x)=+,
则要使a≥h(x)在x∈1,2]能成立,只需使a≥h(x)min,
又函数h(x)=+在x∈1,2]上单调递减,
所以h(x)min=h(2)=,故只需a≥.
易错起源1、导数的几何意义
例1 (1)(2016·课标全国甲)若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=________.
(2)已知f(x)=x3-2x2+x+6,则f(x)在点P(-1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于( )
A.4 B.5
C. D.
答案 (1)1-ln2(2)C
(2)∵f(x)=x3-2x2+x+6,
∴f′(x)=3x2-4x+1,
∴f′(-1)=8,切线方程为y-2=8(x+1),
即8x-y+10=0,令x=0,得y=10,
令y=0,得x=-,
∴所求面积S=××10=.
【变式探究】设曲线y=在点处的切线与直线x+ay+1=0垂直,则a=________.
答案 1
解析 由题意得,
y′==,
则曲线y=在点处的切线的斜率为
k1==1.
因为直线x+ay+1=0的斜率k2=-,又该切线与直线x+ay+1=0垂直,所以k1k2=-1,解得a=1.
【名师点睛】
(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异,过点P的切线中,点P不一定是切点,点P也不一定在已知曲线上,而在点P处的切线,必以点P为切点.
(2)利用导数的几何意义解题,主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值,则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系,进而和导数联系起来求解.
【锦囊妙计,战胜自我】
1.函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率,曲线f(x)在点P处的切线的斜率k=f′(x0),相应的切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).
2.求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的不同.
易错起源2、利用导数研究函数的单调性
例2、设函数f(x)=xekx (k≠0).
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)若函数f(x)在区间(-1,1)内单调递增,求k的取值范围.
解 (1)由题意可得f′(x)=(1+kx)ekx,
f′(0)=1,f(0)=0,
故曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=x.
(2)由f′(x)=(1+kx)ekx=0,得x=-(k≠0),
若k>0,则当x∈时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减,
当x∈时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;
若k<0,则当x∈时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增,
当x∈时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减.
(3)由(2)知,若k>0,则当且仅当-≤-1,即k≤1时,函数f(x)在区间(-1,1)内单调递增;
若k<0,则当且仅当-≥1,即k≥-1时,函数f(x)在区间(-1,1)内单调递增.
综上可知,函数f(x)在区间(-1,1)内单调递增时,k的取值范围是-1,0)∪(0,1].
【变式探究】(1)已知m是实数,函数f(x)=x2(x-m),若f′(-1)=-1,则函数f(x)的单调递增区间是( )
A.
B.
C.∪(0,+∞)
D.∪(0,+∞)
(2)若函数f(x)=2x2-lnx在其定义域内的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数,则实数k的取值范围是__________.
答案 (1)C (2)
解析 (1)因为f′(x)=3x2-2mx,
所以f′(-1)=3+2m=-1,解得m=-2.
由f′(x)=3x2+4x>0,解得x<-或x>0,即函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-)∪(0,+∞),
故选C.
(2)f(x)的定义域为(0,+∞).
f′(x)=4x-.
由f′(x)=0,得x=.
据题意,得
解得1≤k<.
【名师点睛】
利用导数研究函数单调性的一般步骤:
(1)确定函数的定义域;
(2)求导函数f′(x);
(3)①若求单调区间(或证明单调性),只要在函数定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.
②若已知函数的单调性,则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解.
【锦囊妙计,战胜自我】
1.f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件,如函数f(x)=x3在(-∞,+∞)上单调递增,但f′(x)≥0.
2.f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件,当函数在某个区间内恒有f′(x)=0时,则f(x)为常函数,函数不具有单调性.
易错起源3、利用导数求函数的极值、最值
例3、已知函数f(x)=ax--3lnx,其中a为常数.
(1)当函数f(x)的图象在点处的切线的斜率为1时,求函数f(x)在上的最小值;
(2)若函数f(x)在区间(0,+∞)上既有极大值又有极小值,求a的取值范围.
解 (1)f′(x)=a+-(x>0),
由题意可知,f′=1,解得a=1.
故f(x)=x--3lnx,
∴f′(x)=,
根据题意由f′(x)=0,得x=2.
于是可得下表:
x
2
(2,3)
3
f′(x)
-
0
+
f(x)
↘
1-3ln2
↗
∴f(x)min=f(2)=1-3ln2.
(2)f′(x)=a+-=(x>0),
由题意可得方程ax2-3x+2=0有两个不等的正实根,不妨设这两个根为x1,x2,并令h(x)=ax2-3x+2,
则
解得00时,
令f′(x)==0,得
x1=-(舍去),x2=,
所以x,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(0,)
(,+∞)
f′(x)
+
0
-
f(x)
↗
极大值
↘
所以f(x)max=f()=ln<0,所以a>1.
综上可得,a的取值范围是(1,+∞).
【名师点睛】
(1)求函数f(x)的极值,则先求方程f′(x)=0的根,再检查f′(x)在方程根的左右函数值的符号.
(2)若已知极值大小或存在情况,则转化为已知方程f′(x)=0根的大小或存在情况来求解.
(3)求函数f(x)在闭区间a,b]的最值时,在得到极值的基础上,结合区间端点的函数值f (a),f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值.
【锦囊妙计,战胜自我】
1.若在x0附近左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,则f(x0)为函数f(x)的极大值;若在x0附近左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,则f(x0)为函数f(x)的极小值.
2.设函数y=f(x)在a,b]上连续,在(a,b)内可导,则f(x)在a,b]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得.
1.函数f(x)=x2+sin,f′(x)为f(x)的导函数,则f′(x)的图象是( )
答案 C
解析 依题意f(x)=x2-cosx,对f(x)求导,得f′(x)=x+sinx,可知f′(x)为奇函数,由此可排除B,D;当x<0时,f′(x)=x+sinx<0,由此可排除A.
2.曲线y=f(x)=在点(1,f(1))处的切线方程是( )
A.x=1 B.y=
C.x+y=1 D.x-y=1
答案 B
解析 f(x)=的导数f′(x)=,
∴曲线在点(1,f(1))处的切线斜率k=0,
∵切点为,
∴曲线在点(1,f(1))处的切线方程为y=.
3.已知a≥0,函数f(x)=(x2-2ax)ex.若f(x)在-1,1]上是单调递减函数,则a的取值范围是( )
A.0-,都存在x∈R,使得f(x)-,方程f(x)=m总有两个实根
答案 B
解析 因为f′(x)=(x+1)ex]′=(x+1)ex+ex=(x+2)ex,故函数在区间(-∞,-2),(-2,+∞)上分别为减函数与增函数,故f(x)min=f(-2)=-,故当m>-时,总存在x使得f(x)0时,xf′(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )
A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞)
C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(0,1)∪(1,+∞)
答案 A
解析 设g(x)=,
则g(x)的导数g′(x)=.
∵当x>0时,总有xf′(x)0时,g′(x)<0恒成立,
∴当x>0时,函数g(x)=为减函数,
又∵g(-x)====g(x),
∴函数g(x)为定义域上的偶函数,
又∵g(-1)==0,
∴函数g(x)的大致图象如图:
数形结合可得,不等式f(x)>0⇔x·g(x)>0
⇔或⇔00,∴f(x)为增函数.
又f(x)为奇函数,由f(mx-2)+f(x)<0知,
f(mx-2)0;x∈时,y′<0,故函数在上递增,在上递减,所以当x=时,函数取最大值+.
11.已知函数f(x)=-lnx,x∈1,3].
(1)求f(x)的最大值与最小值;
(2)若f(x)<4-at对任意的x∈1,3],t∈0,2]恒成立,求实数a的取值范围.
解 (1)∵函数f(x)=-lnx,∴f′(x)=-,
令f′(x)=0,得x=2或x=-2(舍去).
∵x∈1,3],
当10.
∴f(x)在(1,2)上是单调减函数,
在(2,3)上是单调增函数,
∴f(x)在x=2处取得极小值f(2)=-ln2.
又f(1)=,f(3)=-ln3,
∵ln3>1,∴-(-ln3)=ln3-1>0,
∴f(1)>f(3),
∴当x=1时,f(x)取得最大值为;
当x=2时,f(x)取得最小值为-ln2.
(2)由(1)知,当x∈1,3]时,f(x)≤,
故对任意x∈1,3],f(x)<4-at恒成立,
只要4-at>对任意t∈0,2]恒成立,即at<恒成立,记g(t)=at,t∈0,2].
∴解得a<,
∴实数a的取值范围是(-∞,).
12.已知函数f(x)=(ax2-1)·ex,a∈R.
(1)若函数f(x)在x=1时取得极值,求a的值;
(2)当a≤0时,求函数f(x)的单调区间.
②当a<0时,方程g(x)=ax2+2ax-1=0的判别式为Δ=4a2+4a,
令Δ=0,解得a=0(舍去)或a=-1.
(ⅰ)当a=-1时,
g(x)=-x2-2x-1=-(x+1)2≤0,
即f′(x)=(ax2+2ax-1)·ex≤0,
且f′(x)在x=-1两侧同号,仅在x=-1时等于0,则f(x)在(-∞,+∞)上为单调减函数.
(ⅱ)当-10,令g(x)=0,
方程ax2+2ax-1=0有两个不相等的实数根x1=-1+,x2=-1-,
作差可知-1->-1+,
则当x<-1+时,g(x)<0,f′(x)<0,
f(x)在上为单调减函数;
当-1+0,f′(x)>0,
f(x)在上为单调增函数;
当x>-1-时,g(x)<0,f′(x)<0,
f(x)在上为单调减函数.
综上所述,当-1≤a≤0时,函数f(x)的单调减区间为(-∞,+∞);
当a<-1时,函数f(x)的单调减区间为
,,
函数f(x)的单调增区间为
.