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  • 2021-06-17 发布

2018-2019学年四川省树德中学高二下学期4月阶段性测试数学(理)试题 解析版

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绝密★启用前 四川省树德中学2018-2019学年高二下学期4月阶段性测试数学(理)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1.若为虚数单位,则的虚部为( )‎ A.-1 B.1 C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由复数的乘法运算,化简,进而可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为,‎ 所以其虚部为-1‎ 故选A ‎【点睛】‎ 本题主要考查复数的乘法运算,以及复数的概念,熟记运算法则即可,属于基础题型.‎ ‎2.若为虚数单位,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的除法运算法则,即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ 故选D ‎【点睛】‎ 本题主要考查复数的除法运算,熟记运算法则即可,属于基础题型.‎ ‎3.( )‎ A.3 B.2 C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由,根据微积分基本定理,即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ 故选B ‎【点睛】‎ 本题主要考查定积分的计算,熟记微积分基本定理即可,属于基础题型.‎ ‎4.( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据定积分的几何意义,即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为表示圆面积的一半,‎ 所以.‎ 故选A ‎【点睛】‎ 本题主要考查定积分的计算,熟记定积分的几何意义即可,属于基础题型.‎ ‎5.已知点,直线,则点到距离的最小值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由点到直线距离公式得到,点到直线的距离为,再令,用导数的方法求其最值,即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 点到直线的距离为:,‎ 令,则,‎ 由得,‎ 所以当时,,单调递减;‎ 当时,,单调递增;‎ 所以,‎ 所以.‎ 故选B ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的应用,先将问题转为为求函数最值的问题,对函数求导,用导数的方法求函数最值,即可求解,属于常考题型.‎ ‎6.在上的极小值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先对函数求导,用导数方法判断函数单调性,进而可求出极值.‎ ‎【详解】‎ 因为,,‎ 所以,令,所以或;‎ 因此,当时,,单调递增;‎ 当时,,单调递减;‎ 当时,,单调递增;‎ 所以当时,取极小值,且极小值为.‎ 故选A ‎【点睛】‎ 本题主要考查求函数的极小值,通常需要对函数求导,用导数的方法处理即可,属于常考题型.‎ ‎7.将周长为4的矩形绕旋转一周所得圆柱体积最大时,长为( )‎ A. B. C. D.1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先设,得到,根据圆柱的体积公式,表示出圆柱的体积,再用导数的方法求解,即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为矩形周长为4,‎ 设,()则,‎ 所以将周长为4的矩形绕旋转一周所得圆柱体积为 ‎,,‎ 则,‎ 由得,解得;‎ 由得,解得;‎ 所以在上单调递增;在上单调递减;‎ 所以当,即,时,‎ 取得最大值.‎ 故选B ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的应用,通常需要对函数求导,用导数的方法研究函数最值即可,属于常考题型.‎ ‎8.如图,正方形内切圆,一直线由开始绕逆时针匀速旋转,角速度为弧度/秒,经秒后阴影面积为,则图象为( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 观察图像可知,阴影部分面积一直增加,再结合阴影部分面积增加的快慢,即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 观察图像可知,面积变化情况为:一直增加,先慢后快,过圆心后又变慢;‎ 因此,对应函数的图像变化率先增大后减小,故选C ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数图像的识别,根据题意能确定函数变化率即可,属于常考题型.‎ ‎9.用数学归纳法证:(时)第二步证明中从“到”左边增加的项数是( )‎ A.项 B.项 C.项 D.项 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别写出当,和时,左边的式子,分别得到其项数,进而可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 当时,左边,易知分母为连续正整数,所以,共有项;‎ 当时,左边,共有项;‎ 所以从“到”左边增加的项数是项.‎ 故选D ‎【点睛】‎ 本题主要考查数学归纳法,熟记数学归纳法的一般步骤即可,属于常考题型.‎ ‎10.函数,有公共点,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意先得到关于的方程有实根,再令,用导数方法求出其最小值,进而可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为函数,有公共点,‎ 所以关于的方程有实根,‎ 令,,则,‎ 由得(不在范围内,舍去),‎ 所以当时,,单调递增;‎ 当时,,单调递减;‎ 所以;‎ 为使关于的方程有实根,‎ 只需,‎ 所以.‎ 故选C ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的应用,根据函数有交点,转化为方程有实根的问题来处理,构造函数,利用导数的方法求函数最值,即可求解,属于常考题型.‎ ‎11.若,则,解集( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由函数解析式,以及函数奇偶性的定义,判断为偶函数,再用导数的方法判断函数单调性,再由函数奇偶性将不等式转化,进而可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为,所以,‎ 即函数为偶函数,‎ 又,所以,‎ 当时,恒成立;‎ 所以在上单调递增,‎ 所以,‎ 故函数在上单调递增;‎ 又为偶函数,所以在上单调递减;‎ 所以,由可得,所以,‎ 即,解得.‎ 故选A ‎【点睛】‎ 本题考查函数奇偶性的应用,以及导数的应用,熟记函数奇偶性的定义,以及用导数的方法判断函数单调性即可,属于常考题型.‎ ‎12.已知,恰有三个不同零点,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题意,得到关于的方程有三个不同实根,进而得到曲线与直线、共有3个交点,求出过原点的曲线的切线斜率,进而可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 由得;‎ 又恰有三个不同零点,‎ 则关于的方程有三个不同实根,‎ 即曲线与直线、共有3个交点,‎ 设曲线上任意一点为,‎ 由得,所以该点处的切线斜率为,‎ 故过点的切线方程为,‎ 若该切线过原点,则,解得,此时,‎ 因为,所以直线与曲线有两交点,‎ 因此直线与曲线只有一个交点,‎ 所以与曲线相切,因此.‎ 故选D ‎【点睛】‎ 本题主要考查根据函数的零点求参数的问题,可用导数的方法处理,熟记导数的几何意义即可,属于常考题型.‎ ‎13.由曲线,所围成图形的面积 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析:作出如图的图象,联立,解得或,即点,所求面积为: .‎ 考点:定积分.‎ 第II卷(非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎14.若复数满足(为虚数单位),则的共轭复数__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由复数的除法运算,求出复数,进而可得出其共轭复数.‎ ‎【详解】‎ 因为,所以,‎ 因此其共轭复数为 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查复数的运算,以及共轭复数,熟记运算法则与共轭复数的概念即可,属于基础题型.‎ ‎15.,在上有最大值,则最大值为__________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先对函数求导,求出,再由导数的方法研究函数单调性,进而可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为,所以,因此,‎ 解得,所以,‎ 由得或;由得,‎ 所以函数在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增;‎ 所以当时,取极大值,由得或;‎ 又在上有最大值,‎ 所以只需.‎ 故答案为3‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的应用,由函数在给定区间有最大值求参数,只需利用导数的方法研究函数单调性,即可求解,属于常考题型.‎ ‎16.函数在区间上单调递增,则实数的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由求导公式和法则求出,由题意可得在区间上恒成立,设,从而转化为,结合变量的范围,以及取值范围,可求得其最大值,从而求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎,则,‎ 因为函数在上单调增,可得在上恒成立,‎ 即,令,则,,‎ 所以,因为在上是增函数,‎ 所以其最大值为,‎ 所以实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关函数在给定区间上是增函数,求参数的取值范围的问题,涉及到的知识点有导数与单调性的关系,恒成立问题向最值问题转换,注意同角的正余弦的和与积的关系.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17.若.‎ ‎(1)指出函数的单调递增区间;‎ ‎(2)求在的最大值和最小值.‎ ‎【答案】(1)在,递增;(2),‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先对函数求导,利用导数的方法研究函数单调性,即可得出结果;‎ ‎(2)根据(1)的结果,得到函数单调性,进而可求出其最值.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)因为 所以,‎ 由可得或;‎ 由可得;‎ 所以函数在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增;‎ 故函数的单调递增区间为,;‎ ‎(2)因为,‎ 所以由(1)可得,在上单调递减,在上单调递增;‎ 因此,又,,‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的应用,通常先对函数求导,用导数的方法研究函数单调性,最值等,属于常考题型.‎ ‎18.已知在点处的切线方程为.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)若,求常数取值范围.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先由题意得到,对函数求导,根据题意得到,求解,即可得出结果;‎ ‎(2)根据(1)的结果,得到,对函数求导,用导数方法得到其最大值,即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)因为过点,所以,即;‎ 又,‎ 所以曲线在点处切线斜率为;‎ 所以切线方程为:,‎ 又在点处的切线方程为,‎ ‎,.‎ ‎(2)由(1)可得,所以,‎ 由得;由得;‎ 所以在上单调递增,在上单调递减;‎ 因此;‎ 又 ‎,‎ 即.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查由曲线的切线方程求参数,以及根据函数最值求参数的问题,熟记导数的几何意义,以及利用导数的方法求函数的最值即可,属于常考题型.‎ ‎19.某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量(单位:千克)与销售价格(单位:元/千克)满足,其中,为常数.已知销售价格为7元/千克时,每日可售出该商品11千克.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)若该商品成本为5元/千克,试确定销售价格值,使商场每日销售该商品所获利润最大.‎ ‎【答案】(1)(2)时,利润最大.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据,以及题中条件,列出等式,即可求出的值;‎ ‎(2)设利润为,根据题意得到,用导数的方法求出其最大值,即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)因为销售价格为7元/千克时,每日可售出该商品11千克,‎ 所以有,解得.‎ ‎(2)设利润为,由题意可得,‎ ‎,‎ 所以,当时,,单调递增;‎ 当时,,单调递减;‎ 所以当时,取得最大值.‎ 即,当销售价格为6时,商场每日销售该商品所获利润最大.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的应用,通常需要对函数求导,用导数的方法求其最值即可,属于常考题型.‎ ‎20.已知.‎ ‎(1)若在有唯一零点,求值;‎ ‎(2)求在的最小值.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先由得,令,用导数的方法求其最小值,进而可得出结果;‎ ‎(2)先对求导,分别讨论,,三种情况,即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由得,‎ 令,,由得;‎ 所以当时,,单调递减;‎ 当时,,单调递增;‎ 故 因为在有唯一零点,所以只需与直线有一个交点,‎ ‎ .‎ ‎(2),.‎ 当时,恒成立,所以在上单调递增,因此最小值为;‎ 当时,由得;由得;‎ 所以在上单调递减,在上单调递增;‎ 因此;‎ 当时,在上恒成立,所以在上单调递减;因此,最小值为;‎ 综上,.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的应用,通常需要对函数求导,用导数的方法研究函数的零点,最值等,属于常考题型.‎ ‎21..‎ ‎(1)当时,,求范围.‎ ‎(2)若有两个极值点,且,求范围.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先对函数求导,分别讨论和两种情况,即可得出结果;‎ ‎(2)先根据有两个极值点,得到方程有两不等正根;求出,再由根与系数关系,得到,,进而得到,,令,,用导数的方法判断其单调性,得到其值域即可.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)因为.‎ 当时,在上显然恒成立,所以上单调递增,‎ 满足题意;‎ 当时,不妨令,‎ 则时,,单调递减,不满足题意;‎ 综上:.‎ ‎(2),,‎ 因为有两个极值点,所以有两个不同零点,‎ 即方程有两不等正根;‎ 所以,解得;‎ 又,‎ 所以,,‎ 令,,‎ 则,‎ 由得;由得;‎ 所以在上单调递减,在上单调递增;‎ 又,,‎ ‎,即.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的应用,根据不等式恒成立求参数,以及求函数的最值等问题,通常需要对函数求导,用导数的方法研究其单调性,最值等,属于常考题型.‎ ‎22.已知函数,.‎ ‎(1)求证:,对恒成立.‎ ‎(2)若,不等式,在恒成立,求的最大值.‎ ‎【答案】(1)见解析(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先令,用导数的方法求出其最大值,得到恒成立,进而可得出结论成立;‎ ‎(2)先由题意得到在恒成立,令,用导数方法判断其单调性,得到其最小值,进而可得出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)令,则,‎ 由得;由得;‎ 在上单调递增,在上单调递减;‎ ‎,,因此,‎ 即,对恒成立.‎ ‎(2)由,得,‎ 令.‎ 则.‎ 令,则,在上单调递增,‎ 又,.‎ 故,使.‎ 在上单调递减,在上单调递增,‎ 最小为.‎ 最大为3.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的应用,通常需要对函数求导,用导数的方法研究函数的单调性,最值等,属于常考题型.‎