- 1.59 MB
- 2021-06-17 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
绝密★启用前
四川省树德中学2018-2019学年高二下学期4月阶段性测试数学(理)试题
评卷人
得分
一、单选题
1.若为虚数单位,则的虚部为( )
A.-1 B.1 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先由复数的乘法运算,化简,进而可得出结果.
【详解】
因为,
所以其虚部为-1
故选A
【点睛】
本题主要考查复数的乘法运算,以及复数的概念,熟记运算法则即可,属于基础题型.
2.若为虚数单位,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据复数的除法运算法则,即可求出结果.
【详解】
.
故选D
【点睛】
本题主要考查复数的除法运算,熟记运算法则即可,属于基础题型.
3.( )
A.3 B.2 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由,根据微积分基本定理,即可求出结果.
【详解】
.
故选B
【点睛】
本题主要考查定积分的计算,熟记微积分基本定理即可,属于基础题型.
4.( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据定积分的几何意义,即可求出结果.
【详解】
因为表示圆面积的一半,
所以.
故选A
【点睛】
本题主要考查定积分的计算,熟记定积分的几何意义即可,属于基础题型.
5.已知点,直线,则点到距离的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先由点到直线距离公式得到,点到直线的距离为,再令,用导数的方法求其最值,即可得出结果.
【详解】
点到直线的距离为:,
令,则,
由得,
所以当时,,单调递减;
当时,,单调递增;
所以,
所以.
故选B
【点睛】
本题主要考查导数的应用,先将问题转为为求函数最值的问题,对函数求导,用导数的方法求函数最值,即可求解,属于常考题型.
6.在上的极小值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先对函数求导,用导数方法判断函数单调性,进而可求出极值.
【详解】
因为,,
所以,令,所以或;
因此,当时,,单调递增;
当时,,单调递减;
当时,,单调递增;
所以当时,取极小值,且极小值为.
故选A
【点睛】
本题主要考查求函数的极小值,通常需要对函数求导,用导数的方法处理即可,属于常考题型.
7.将周长为4的矩形绕旋转一周所得圆柱体积最大时,长为( )
A. B. C. D.1
【答案】B
【解析】
【分析】
先设,得到,根据圆柱的体积公式,表示出圆柱的体积,再用导数的方法求解,即可得出结果.
【详解】
因为矩形周长为4,
设,()则,
所以将周长为4的矩形绕旋转一周所得圆柱体积为
,,
则,
由得,解得;
由得,解得;
所以在上单调递增;在上单调递减;
所以当,即,时,
取得最大值.
故选B
【点睛】
本题主要考查导数的应用,通常需要对函数求导,用导数的方法研究函数最值即可,属于常考题型.
8.如图,正方形内切圆,一直线由开始绕逆时针匀速旋转,角速度为弧度/秒,经秒后阴影面积为,则图象为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
观察图像可知,阴影部分面积一直增加,再结合阴影部分面积增加的快慢,即可得出结果.
【详解】
观察图像可知,面积变化情况为:一直增加,先慢后快,过圆心后又变慢;
因此,对应函数的图像变化率先增大后减小,故选C
【点睛】
本题主要考查函数图像的识别,根据题意能确定函数变化率即可,属于常考题型.
9.用数学归纳法证:(时)第二步证明中从“到”左边增加的项数是( )
A.项 B.项 C.项 D.项
【答案】D
【解析】
【分析】
分别写出当,和时,左边的式子,分别得到其项数,进而可得出结果.
【详解】
当时,左边,易知分母为连续正整数,所以,共有项;
当时,左边,共有项;
所以从“到”左边增加的项数是项.
故选D
【点睛】
本题主要考查数学归纳法,熟记数学归纳法的一般步骤即可,属于常考题型.
10.函数,有公共点,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意先得到关于的方程有实根,再令,用导数方法求出其最小值,进而可求出结果.
【详解】
因为函数,有公共点,
所以关于的方程有实根,
令,,则,
由得(不在范围内,舍去),
所以当时,,单调递增;
当时,,单调递减;
所以;
为使关于的方程有实根,
只需,
所以.
故选C
【点睛】
本题主要考查导数的应用,根据函数有交点,转化为方程有实根的问题来处理,构造函数,利用导数的方法求函数最值,即可求解,属于常考题型.
11.若,则,解集( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先由函数解析式,以及函数奇偶性的定义,判断为偶函数,再用导数的方法判断函数单调性,再由函数奇偶性将不等式转化,进而可求出结果.
【详解】
因为,所以,
即函数为偶函数,
又,所以,
当时,恒成立;
所以在上单调递增,
所以,
故函数在上单调递增;
又为偶函数,所以在上单调递减;
所以,由可得,所以,
即,解得.
故选A
【点睛】
本题考查函数奇偶性的应用,以及导数的应用,熟记函数奇偶性的定义,以及用导数的方法判断函数单调性即可,属于常考题型.
12.已知,恰有三个不同零点,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先由题意,得到关于的方程有三个不同实根,进而得到曲线与直线、共有3个交点,求出过原点的曲线的切线斜率,进而可得出结果.
【详解】
由得;
又恰有三个不同零点,
则关于的方程有三个不同实根,
即曲线与直线、共有3个交点,
设曲线上任意一点为,
由得,所以该点处的切线斜率为,
故过点的切线方程为,
若该切线过原点,则,解得,此时,
因为,所以直线与曲线有两交点,
因此直线与曲线只有一个交点,
所以与曲线相切,因此.
故选D
【点睛】
本题主要考查根据函数的零点求参数的问题,可用导数的方法处理,熟记导数的几何意义即可,属于常考题型.
13.由曲线,所围成图形的面积 .
【答案】
【解析】
试题分析:作出如图的图象,联立,解得或,即点,所求面积为: .
考点:定积分.
第II卷(非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
14.若复数满足(为虚数单位),则的共轭复数__________.
【答案】
【解析】
【分析】
先由复数的除法运算,求出复数,进而可得出其共轭复数.
【详解】
因为,所以,
因此其共轭复数为
故答案为
【点睛】
本题主要考查复数的运算,以及共轭复数,熟记运算法则与共轭复数的概念即可,属于基础题型.
15.,在上有最大值,则最大值为__________.
【答案】3
【解析】
【分析】
先对函数求导,求出,再由导数的方法研究函数单调性,进而可求出结果.
【详解】
因为,所以,因此,
解得,所以,
由得或;由得,
所以函数在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增;
所以当时,取极大值,由得或;
又在上有最大值,
所以只需.
故答案为3
【点睛】
本题主要考查导数的应用,由函数在给定区间有最大值求参数,只需利用导数的方法研究函数单调性,即可求解,属于常考题型.
16.函数在区间上单调递增,则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】
由求导公式和法则求出,由题意可得在区间上恒成立,设,从而转化为,结合变量的范围,以及取值范围,可求得其最大值,从而求得结果.
【详解】
,则,
因为函数在上单调增,可得在上恒成立,
即,令,则,,
所以,因为在上是增函数,
所以其最大值为,
所以实数的取值范围是.
【点睛】
该题考查的是有关函数在给定区间上是增函数,求参数的取值范围的问题,涉及到的知识点有导数与单调性的关系,恒成立问题向最值问题转换,注意同角的正余弦的和与积的关系.
评卷人
得分
三、解答题
17.若.
(1)指出函数的单调递增区间;
(2)求在的最大值和最小值.
【答案】(1)在,递增;(2),
【解析】
【分析】
(1)先对函数求导,利用导数的方法研究函数单调性,即可得出结果;
(2)根据(1)的结果,得到函数单调性,进而可求出其最值.
【详解】
(1)因为
所以,
由可得或;
由可得;
所以函数在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增;
故函数的单调递增区间为,;
(2)因为,
所以由(1)可得,在上单调递减,在上单调递增;
因此,又,,
所以.
【点睛】
本题主要考查导数的应用,通常先对函数求导,用导数的方法研究函数单调性,最值等,属于常考题型.
18.已知在点处的切线方程为.
(1)求的值;
(2)若,求常数取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】
【分析】
(1)先由题意得到,对函数求导,根据题意得到,求解,即可得出结果;
(2)根据(1)的结果,得到,对函数求导,用导数方法得到其最大值,即可得出结果.
【详解】
(1)因为过点,所以,即;
又,
所以曲线在点处切线斜率为;
所以切线方程为:,
又在点处的切线方程为,
,.
(2)由(1)可得,所以,
由得;由得;
所以在上单调递增,在上单调递减;
因此;
又
,
即.
【点睛】
本题主要考查由曲线的切线方程求参数,以及根据函数最值求参数的问题,熟记导数的几何意义,以及利用导数的方法求函数的最值即可,属于常考题型.
19.某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量(单位:千克)与销售价格(单位:元/千克)满足,其中,为常数.已知销售价格为7元/千克时,每日可售出该商品11千克.
(1)求的值;
(2)若该商品成本为5元/千克,试确定销售价格值,使商场每日销售该商品所获利润最大.
【答案】(1)(2)时,利润最大.
【解析】
【分析】
(1)根据,以及题中条件,列出等式,即可求出的值;
(2)设利润为,根据题意得到,用导数的方法求出其最大值,即可得出结果.
【详解】
(1)因为销售价格为7元/千克时,每日可售出该商品11千克,
所以有,解得.
(2)设利润为,由题意可得,
,
所以,当时,,单调递增;
当时,,单调递减;
所以当时,取得最大值.
即,当销售价格为6时,商场每日销售该商品所获利润最大.
【点睛】
本题主要考查导数的应用,通常需要对函数求导,用导数的方法求其最值即可,属于常考题型.
20.已知.
(1)若在有唯一零点,求值;
(2)求在的最小值.
【答案】(1)(2)
【解析】
【分析】
(1)先由得,令,用导数的方法求其最小值,进而可得出结果;
(2)先对求导,分别讨论,,三种情况,即可求出结果.
【详解】
(1)由得,
令,,由得;
所以当时,,单调递减;
当时,,单调递增;
故
因为在有唯一零点,所以只需与直线有一个交点,
.
(2),.
当时,恒成立,所以在上单调递增,因此最小值为;
当时,由得;由得;
所以在上单调递减,在上单调递增;
因此;
当时,在上恒成立,所以在上单调递减;因此,最小值为;
综上,.
【点睛】
本题主要考查导数的应用,通常需要对函数求导,用导数的方法研究函数的零点,最值等,属于常考题型.
21..
(1)当时,,求范围.
(2)若有两个极值点,且,求范围.
【答案】(1)(2)
【解析】
【分析】
(1)先对函数求导,分别讨论和两种情况,即可得出结果;
(2)先根据有两个极值点,得到方程有两不等正根;求出,再由根与系数关系,得到,,进而得到,,令,,用导数的方法判断其单调性,得到其值域即可.
【详解】
(1)因为.
当时,在上显然恒成立,所以上单调递增,
满足题意;
当时,不妨令,
则时,,单调递减,不满足题意;
综上:.
(2),,
因为有两个极值点,所以有两个不同零点,
即方程有两不等正根;
所以,解得;
又,
所以,,
令,,
则,
由得;由得;
所以在上单调递减,在上单调递增;
又,,
,即.
【点睛】
本题主要考查导数的应用,根据不等式恒成立求参数,以及求函数的最值等问题,通常需要对函数求导,用导数的方法研究其单调性,最值等,属于常考题型.
22.已知函数,.
(1)求证:,对恒成立.
(2)若,不等式,在恒成立,求的最大值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
【分析】
(1)先令,用导数的方法求出其最大值,得到恒成立,进而可得出结论成立;
(2)先由题意得到在恒成立,令,用导数方法判断其单调性,得到其最小值,进而可得出结果.
【详解】
(1)令,则,
由得;由得;
在上单调递增,在上单调递减;
,,因此,
即,对恒成立.
(2)由,得,
令.
则.
令,则,在上单调递增,
又,.
故,使.
在上单调递减,在上单调递增,
最小为.
最大为3.
【点睛】
本题主要考查导数的应用,通常需要对函数求导,用导数的方法研究函数的单调性,最值等,属于常考题型.