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  • 2021-06-17 发布

2020届二轮复习“解析几何”专题提能课课时作业(全国通用)

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课时跟踪检测(十七) “解析几何”专题提能课 A组——易错清零练 ‎1.(2018·嘉兴模拟)已知直线l1:ax+(a+2)y+1=0,l2:x+ay+2=0,其中a∈R,则“a=-‎3”‎是“l1⊥l‎2”‎的(  )‎ A.充分不必要条件     B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选A 若l1⊥l2,则a+a(a+2)=0,即a(a+3)=0,解得a=0或a=-3,所以“a=-3”是“l1⊥l‎2”‎的充分不必要条件.故选A.‎ ‎2.已知双曲线Γ:-=1(a>0,b>0),过双曲线Γ的右焦点F,且倾斜角为的直线l与双曲线Γ交于A,B两点,O是坐标原点,若∠AOB=∠OAB,则双曲线Γ的离心率为(  )‎ A. B. C. D. 解析:选C 由题意可知AB是通径,根据双曲线的对称性和∠AOB=∠OAB,可知 ‎△AOB为等边三角形,所以tan∠AOF==,整理得b2=ac,由c2=a2+b2,得c2=a2+ac,两边同时除以a2,得e2-e-1=0,解得e=.故选C.‎ ‎3.过点P(2,1)作直线l,使l与双曲线-y2=1有且仅有一个公共点,这样的直线l共有(  )‎ A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 解析:选B 依题意,双曲线的渐近线方程是y=±x,点P在直线y=x上.‎ ‎①当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=2,此时直线l与双曲线有且仅有一个公共点(2,0),满足题意.‎ ‎②当直线l的斜率存在时,‎ 设直线l的方程为y-1=k(x-2),‎ 即y=kx+1-2k,‎ 由消去y得x2-4(kx+1-2k)2=4,‎ 即(1-4k2)x2-8(1-2k)kx-4(1-2k)2-4=0,(*)‎ 若1-4k2=0,则k=±,‎ 当k=时,方程(*)无实数解,因此k=不满足题意;‎ 当k=-时,方程(*)有唯一实数解,因此k=-满足题意.‎ 若1-4k2≠0,即k≠±,此时Δ=64k2(1-2k)2+16(1-4k2)[(1-2k)2+1]=0不成立,因此满足题意的实数k不存在.‎ 综上所述,满足题意的直线l共有2条.‎ ‎4.已知椭圆+=1的离心率等于,则m=________.‎ 解析:①当椭圆的焦点在x轴上时,‎ 则a2=4,即a=2.又e==,‎ 所以c=,m=b2=a2-c2=4-()2=1.‎ ‎②当椭圆的焦点在y轴上时,‎ 椭圆的方程为+=1,则b2=4,即b=2.‎ 又e==,故 =,解得=,即a=2b,‎ 所以a=4,m=a2=16.综上,m=1或16.‎ 答案:1或16‎ ‎5.已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2外切,则动圆圆心M的轨迹方程为________.‎ 解析:如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B两点.连接MC1,MC2.‎ 根据两圆外切的条件,得 ‎|MC1|-|AC1|=|MA|,‎ ‎|MC2|-|BC2|=|MB|.‎ 因为|MA|=|MB|,‎ 所以|MC1|-|AC1|=|MC2|-|BC2|,‎ 即|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2<6=|C‎1C2|. ‎ 所以点M到两定点C1,C2的距离的差是常数.‎ 又根据双曲线的定义,得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离比与C1的距离大),‎ 可设轨迹方程为-=1(a>0,b>0,x<0),‎ 其中a=1,c=3,则b2=8.‎ 故动圆圆心M的轨迹方程为x2-=1(x<0).‎ 答案:x2-=1(x<0)‎ B组——方法技巧练 ‎1.已知点M(-3,2)是坐标平面内一定点,若抛物线y2=2x的焦点为F,点Q是该抛物线上的一动点,则|MQ|-|QF|的最小值是(  )‎ A. B.3‎ C. D.2‎ 解析:选C 抛物线的准线方程为x=-,过Q作准线的垂线,垂足为Q′,如图.依据抛物线的定义,得|QM|-|QF|=|QM|-|QQ′|,则当QM和QQ′共线时,|QM|-|QQ′|的值最小,最小值为=.‎ ‎2.已知圆C:(x-)2+(y-1)2=1和两点A(-t,0),B(t,0)(t>0),若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则t的取值范围是(  )‎ A.(0,2] B.[1,2]‎ C.[2,3] D.[1,3]‎ 解析:选D 依题意,设点P(+cos θ,1+sin θ),‎ ‎∵∠APB=90°,∴·=0,‎ ‎∴(+cos θ+t)(+cos θ-t)+(1+sin θ)2=0,‎ 得t2=5+2cos θ+2sin θ=5+4sin,‎ ‎∵sin∈[-1,1],∴t2∈[1,9],‎ ‎∵t>0,∴t∈[1,3].‎ ‎3.(2018·金华、台州、温州三市联考)已知双曲线C:-y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线与双曲线C的右支相交于P,Q两点,且点P的横坐标为2,则 ‎△PF1Q的周长为(  )‎ A. B.5 C. D.4 解析:选A 易知双曲线C:-y2=1中,a=,b=1,所以c==2,则F1(-2,0),F2(2,0).因为点P的横坐标为2,所以PQ⊥x轴.令x=2,则y2=-1=,则y=±,即|PF2|=,则|PF1|==,故△PF1Q的周长为|PF1|+|QF1|+|PQ|=,故选A.‎ ‎4.已知圆O:x2+y2=1,圆M:(x-a)2+(y-a+4)2=1.若圆M上存在点P,过点P作圆O的两条切线,切点分别为A,B,使得∠APB=60°,则实数a的取值范围为(  )‎ A. B. C.[2-,2+] D. 解析:选A 圆O的半径为1,圆M上存在点P,过点P作圆O的两条切线,切点分别为A,B,使得∠APB=60°,则∠APO=30°.‎ 在Rt△PAO中,|PO|==2,‎ 又圆M的半径为1,圆心坐标为M(a,a-4),‎ ‎∴|MO|-1≤|PO|≤|MO|+1,‎ ‎∵|MO|=,‎ ‎∴ -1≤2≤ +1,‎ 解得2-≤a≤2+.‎ ‎∴实数a的取值范围为.‎ ‎5.(2018·宁波模拟)如图,F1,F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的交点,若AF1⊥BF1,且∠AF1O=,则C1与C2的离心率之和为(  )‎ A.2 B.4‎ C.2 D.2 解析:选A 设椭圆方程为+=1(a>b>0),由双曲线和椭圆的对称性可知,A,B关于原点对称,‎ 又AF1⊥BF1,且∠AF1O=,‎ 故|AF1|=|OF1|=|OA|=|OB|=c,‎ ‎∴A,代入椭圆方程+=1,结合b2=a2-c2及e=,整理可得,e4-8e2+4=0,‎ ‎∵00,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为________.‎ 解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线的定义可知|AF|=y1+,|BF|=y2+,|OF|=,‎ 由|AF|+|BF|=y1++y2+=y1+y2+p=4|OF|=2p,得y1+y2=p.‎ kAB===.‎ 由得kAB===·,则·=,‎ ‎∴=,故=,‎ ‎∴双曲线的渐近线方程为y=±x.‎ 答案:y=±x C组——创新应用练 ‎1.在平面直角坐标系xOy中,设直线y=-x+2与圆x2+y2=r2(r>0)交于A,B两点,O为坐标原点,若圆上一点C满足=+,则r=(  )‎ A.2 B. C.2 D. 解析:选B 已知=+,‎ 两边平方化简得·=-r2,‎ 所以cos∠AOB=-,‎ 所以cos=,‎ 又圆心O(0,0)到直线的距离为=,‎ 所以=,解得r=.‎ ‎2.双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界),若点(2,1)在“右”区域内,则双曲线离心率e的取值范围是(  )‎ A. B. C. D. 解析:选B 依题意,注意到题中的双曲线-=1的渐近线方程为y=±x,且“右”区域是由不等式组所确定,又点(2,1)在“右”区域内,于是有1<,即>,因此题中的双曲线的离心率e=∈.‎ ‎3.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为l1,l2,经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1,l2于A,B两点.若|OA|,|AB|,|OB|成等差数列,且与反向,则该双曲线的离心率为(  )‎ A. B. C. D. 解析:选C 设实轴长为‎2a,虚轴长为2b,令∠AOF=α,则由题意知tan α=,在△AOB中,∠AOB=180°-2α,tan∠AOB=-tan 2α=,∵|OA|,|AB|,|OB|成等差数列,∴设|OA|=m-d,|AB|=m,|OB|=m+d,∵OA⊥BF,∴(m-d)2+m2=(m+d)2,整理得d=m,∴-tan 2α=-===,解得=2或=-(舍去),∴b=‎2a,c==a,∴e==.‎ ‎4.已知F1,F2分别为椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,P为椭圆上的一点.△F1PF2中,∠F1PF2的外角平分线为l,点F2关于l的对称点为Q,F2Q交l于点R.当点P在椭圆上运动时,求点R的轨迹方程.‎ 解:如图,直线l为∠F1PF2的外角平分线且点F2与点Q关于直线l对称,由椭圆的光学性质知,F1,P,Q三点共线.根据对称性,|PQ|=|PF2|,所以|F1Q|=|PF1|+|PF2|=‎2a.连接OR,因为O为F‎1F2的中点,R为F2Q的中点,所以|OR|=|F1Q|=a.设R(x,y),则x2+y2=a2(y≠0),故点R的轨迹方程为x2+y2=a2(y≠0).‎ ‎5.(2018·诸暨高三适应性考试)已知F是抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,过F的直线交抛物线C于不同两点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1x2=-1.‎ ‎(1)求抛物线C的方程;‎ ‎(2)过点B作x轴的垂线交直线AO(O是原点)于D,过点A作直线DF的垂线与抛物线C的另一交点为E,AE中点为G.‎ ‎①求点D的纵坐标;‎ ‎②求的取值范围.‎ 解:(1)设直线AB的方程为y=kx+,‎ 联立 消去y,化简得x2-2pkx-p2=0,‎ ‎∴x1x2=-p2=-1,∴p=1,‎ ‎∴抛物线C的方程为x2=2y.‎ ‎(2)①∵直线OA的方程为y=x=x,‎ ‎∴D,即D.‎ 即点D的纵坐标为-.‎ ‎②∵kDF=-,∴kAE=x2,‎ ‎∴直线AE的方程为y-y1=x2(x-x1).‎ 联立 消去y,得-x2x-y1-1=0,‎ ‎∴xE=2x2-x1,∴G(x2,2y2+y1+1),‎ ‎∴G,B,D三点共线.‎ ‎∴=.‎ ‎∵y1·y2=,‎ ‎∴=2-=2-=2-∈(1,2).‎ ‎∴∈.‎

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