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  • 2021-06-17 发布

高中数学(人教A版)必修4:2-5-1同步试题(含详解)

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高中数学(人教A版)必修4同步试题 ‎1.在四边形ABCD中,若+=0,·=0,则四边形为(  )‎ A.平行四边形        B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 解析 由+=0,得=-=.‎ ‎∴四边形ABCD为平行四边形.‎ 又·=0知,对角线互相垂直,故四边形为菱形.‎ 答案 D ‎2.在△ABC中,AB=AC,D,E分别是AB,AC的中点,则(  )‎ A.= B.与共线 C.= D.与共线 解析 由题意知,DE为△ABC的中位线,‎ ‎∴DE∥BC,∴与共线.‎ 答案 D ‎3.设a,b,c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且满足a与b不共线,a⊥c,|a|=|c|,则|b·c|的值一定等于(  )‎ A.以a,b为邻边的平行四边形的面积 B.以b,c为邻边的平行四边形的面积 C.以a,b为两边的三角形的面积 D.以b,c为两边的三角形的面积 解析 如右图,设b与c的夹角为θ,a与b的夹角为α,‎ ‎∵a⊥c,∴|cosθ|=|sinα|.‎ 又|a|=|c|,‎ ‎∴|b·c|=|b||c||cosθ|‎ ‎=|b||a||sinα|,即|b·c|的值一定等于以a,b为邻边的平行四边形的面积.‎ 答案 A ‎4.已知点A,B的坐标分别为A(4,6),B,则与直线AB平行的向量的坐标可以是(  )‎ ‎①;②;③;④(-7,9).‎ A.① B.①②‎ C.①②③ D.①②③④‎ 解析 ∵A(4,6),B,∴=,易知①、②、③与平行,故选C.‎ 答案 C ‎5.已知直线l:mx+2y+6=0,向量(1-m,1)与l平行,则实数m的值为(  )‎ A.-1 B.1‎ C.2 D.-1或2‎ 解析 由题意得-=,解得m=-1或2.‎ 答案 D ‎6.G在△ABC所在平面上有一点P,满足++=,则△PAB与△ABC的面积之比为________.‎ 解析 ∵++=,‎ ‎∴=--=++=2,‎ ‎∴A,P,C三点共线,且点P是靠近点A的线段AC的三等分点,故=.‎ 答案  ‎7.如下图,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若=m,=n,则m+n的值为________.‎ 解析 如下图,过B作BD∥MN,‎ 易知m==,n=,‎ ‎∴m+n=.∵==1,‎ ‎∴AD+AC=2AN.‎ ‎∴m+n=2.‎ 答案 2‎ ‎8.利用向量证明:菱形的两条对角线互相垂直.‎ 证明 设菱形ABCD,‎ 则||=||‎ ·=(+)(-)‎ ‎=()2-()2=||2-||2=0,‎ ‎∴⊥,即AC⊥BD.‎ ‎9.已知:AM是△ABC中BC边上的中线,求证:‎ AM2=(AB2+AC2)-BM2.‎ 证明 ∵M是BC的中点,‎ ‎∴=(+),=,‎ ‎|AM|2=(||2+||2)+·.‎ ‎∵=+,=+,‎ ‎∴·=||2-||2.‎ ‎∴||2=(||2+||2)+(||2-||2).‎ ‎∴AM2=(AB2+AC2)-BM2.‎ ‎10.如图所示,以原点和A(5,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB,∠B=90°,求点B的坐标.‎ 解 设B(x,y),则||=.‎ ‎∵B(x,y),A(5,2),‎ ‎∴||=.‎ 又||=||,‎ ‎∴=,‎ 整理,得10x+4y=29①‎ ‎∴又=(x,y),=(x-5,y-2),且⊥.‎ ‎∴·=0,∴x(x-5)+y(y-2)=0,‎ 即x2+y2-5x-2y=0,②‎ 由①、②解得或 ‎∴B或.‎ 教师备课资源 ‎1.在△ABC中,若||=1.5,||=1.5,||=1,则|-|的值为(  )‎ A.0    B.‎1 ‎   C.    D.2‎ 解析 |-|=||=1.‎ 答案 B ‎2.在△ABC中,∠C=90°,=(k,1),=(2,3),则k的值是(  )‎ A. B.- ‎ C.5 D.-5‎ 解析 =-=(2,3)-(k,1)=(2-k,2).‎ ‎∵∠C=90°,∴⊥,∴·=0.‎ ‎∴(2,3)·(2-k,2)=0,‎ 即2(2-k)+6=0,∴k=5.‎ 答案 C ‎3.如图,在▱ABCD中,=(1,2),=(-3,2),则·=________.‎ 解析 设AC与BD的交点是O,则==,==(,1),‎ ‎∴=+=(-1,2).‎ 又=(1,2),‎ ‎∴·=1×(-1)+2×2=3.‎ 答案 3‎ ‎4.在▱ABCD中,=(1,2),=(-3,2),则的坐标为________.‎ 解析 =+=(1,2)+(-3,2)=(-2,4).‎ 答案 (-2,4)‎ ‎5.已知O,N,P在△ABC所在的平面内,且||=||=||,++=0,·=·=·,则点O,N,P依次是△ABC的(  )‎ A.重心 外心 垂心 B.重心 外心 内心 C.外心 重心 垂心 D.外心 重心 内心 ‎(注:三角形的三条高线交于一点,此点为三角形的垂心)‎ 解析 由||=||=||知,O为△ABC的外心;‎ 由++=0知,N为△ABC的重心;‎ ‎∵·=·,∴·(-)=0.‎ ‎∴·=0,∴⊥,同理⊥.‎ ‎∴P是△ABC的垂心.‎ 答案 C

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