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- 2021-06-17 发布
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2016-2017学年青海省海东市平安一中高三(上)第一次月考数学试卷(理科)
一、选择题(本题共12道小题,每小题5分,共60分)
1.设集合A={x|y=lg(3﹣2x)},集合B={y|y=},则A∩B=( )
A.[0,) B.(﹣∞,1] C.(﹣∞,] D.(,+∞)
2.复数等于( )
A.1﹣i B.1+i C.﹣1+i D.﹣1﹣i
3.若x∈R,则“x<1”是“|x|<1”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知角θ的终边经过点P(4,m),且sinθ=,则m等于( )
A.﹣3 B.3 C. D.±3
5.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )
A.y=﹣x3,x∈R B.y=sinx,x∈R C.y=x,x∈R D.
6.曲线y=﹣x3+3x2在点(2,4)处的切线方程为( )
A.x=4 B.y=4 C.x=2 D.y=2x
7.将函数f(x)=sin(2x+φ)(|φ|<)的图象向左平移个单位后的图形关于原点对称,则函数f(x)在[0,]上的最小值为( )
A. B. C.﹣ D.﹣
8.由直线y=x﹣4,曲线y=以及x轴所围成的图形面积为( )
A. B.13 C. D.15
9.将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有( )
A.12种 B.10种 C.9种 D.8种
10.已知函数y=f(x)(x∈R)的图象如图所示,f′(x)是f(x)的导函数,则不等式(x﹣1)f′(x)<0的解集为( )
A.(﹣∞,)∪(1,2) B.(﹣1,1)∪(1,3) C.(﹣1,)∪(3,+∞) D.(﹣∞,﹣1)∪(3,+∞)
11.执行如图所示的程序框图,输出s的值为( )
A.﹣ B. C.﹣ D.
12.在不等式组,所表示的平面区域内随机地取一点M,则点M恰好落在第二象限的概率为( )
A. B. C. D.
二、填空题(每小题5分,共20分)
13.已知在等差数列{an}中,a1,a2017为方程x2﹣10x+16=0的两根,则a2+a1009+a2016的值为 .
14.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆(x﹣3)2+y2=16相切,则p的值为 .
15.甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分,当他们被问到谁考了满分时,
甲说:丙没有考满分;
乙说:是我考的;
丙说:甲说真话.
事实证明:在这三名同学中,只有一人说的是假话,那么得满分的同学是 .
16.随机抽取100名年龄在[10,20),[20,30)…,[50,60)年龄段的市民进行问卷调查,由此得到样本的频率分布直方图如图所示,从不小于30岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取22人,则在[50,60)年龄段抽取的人数为 .
三.解答题(17-21每题12分,22题10分,共70分)
17.(1)计算:log3+lg25+lg4++log23•log34;
(2)设集合A={x|≤2﹣x≤4},B={x|m﹣1<x<2m+1}.若A∪B=A,求m的取值范围.
18.已知f(x)=(x∈R,且x≠﹣1),g(x)=x2+2(x∈R).
(1)求f(2)、g(2)的值;
(2)求f[g(3)]的值.
19.已知函数f(x)=sin(2x﹣)+2sin2(x﹣) (x∈R).
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.
20.如图,正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=2AB=4,点E在CC1上且C1E=3EC.
(Ⅰ)证明:A1C⊥平面BED;
(Ⅱ)求向量和所成角的余弦值.
21.设函数f(x)=lnx﹣ax,a∈R.
(1)当x=1时,函数f(x)取得极值,求a的值;
(2)当0<a<时,求函数f(x)在区间[1,2]上的最大值;
(3)当a=﹣1时,关于x的方程2mf(x)=x2(m>0)有唯一实数解,求实数m的值.
22.已知曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ,设直线l的参数方程是(t为参数).
(1)将曲线C的极坐标方程转化为直角坐标方程;
(2)设直线l与x轴的交点是M,N为曲线C上一动点,求|MN|的最大值.
2016-2017学年青海省海东市平安一中高三(上)第一次月考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题(本题共12道小题,每小题5分,共60分)
1.设集合A={x|y=lg(3﹣2x)},集合B={y|y=},则A∩B=( )
A.[0,) B.(﹣∞,1] C.(﹣∞,] D.(,+∞)
【考点】交集及其运算.
【分析】求出A中x的范围确定出A,求出B中y的范围确定出B,找出A与B的交集即可.
【解答】解:由A中y=lg(3﹣2x),得到3﹣2x>0,即x<,
∴A=(﹣∞,),
由B中y=≥0,即B=[0,+∞),
∴A∩B=[0,).
故选:A.
2.复数等于( )
A.1﹣i B.1+i C.﹣1+i D.﹣1﹣i
【考点】复数代数形式的乘除运算.
【分析】利用复数的运算法则即可得出.
【解答】解: ==i+1,
故选:B.
3.若x∈R,则“x<1”是“|x|<1”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系进行判断即可.
【解答】解:由|x|<1得﹣1<x<1,
则“x<1”是“|x|<1””的必要不充分条件,
故选:B
4.已知角θ的终边经过点P(4,m),且sinθ=,则m等于( )
A.﹣3 B.3 C. D.±3
【考点】任意角的三角函数的定义.
【分析】利用任意角的三角函数的定义,求解即可.
【解答】解:角θ的终边经过点P(4,m),且sinθ=,
可得,(m>0)
解得m=3.
故选:B.
5.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )
A.y=﹣x3,x∈R B.y=sinx,x∈R C.y=x,x∈R D.
【考点】函数的图象与图象变化;奇函数.
【分析】根据基本函数的性质逐一对各个答案进行分析.
【解答】解:
A在其定义域内既是奇函数又是减函数;
B在其定义域内是奇函数但不是减函数;
C在其定义域内既是奇函数又是增函数;
D在其定义域内是非奇非偶函数,是减函数;
故选A.
6.曲线y=﹣x3+3x2在点(2,4)处的切线方程为( )
A.x=4 B.y=4 C.x=2 D.y=2x
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】根据曲线方程y=﹣x3+3x2,对f(x)进行求导,求出f′(x)在x=2处的值即为切线的斜率,曲线又过点(2,4),即可求出切线方程.
【解答】解:∵曲线y=﹣x3+3x2,
∴y′=﹣3x2+6x,
∴切线方程的斜率为:k=y′|x=2=0,
又∵曲线y=﹣x3+3x2过点(2,4)
∴切线方程为:y=4,
故选:B.
7.将函数f(x)=sin(2x+φ)(|φ|<)的图象向左平移个单位后的图形关于原点对称,则函数f(x)在[0,]上的最小值为( )
A. B. C.﹣ D.﹣
【考点】正弦函数的图象.
【分析】由条件根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的图象的对称性可得+φ=kπ,k∈z,由此根据|φ|<求得φ的值.
【解答】解:函数f(x)=sin(2x+φ)(|φ|<)的图象向左平移个单位后,得到函数y=sin[2(x+)+φ]=sin(2x++φ)的图象,
再根据所得图象关于原点对称,可得+φ=kπ,k∈z,
∴φ=﹣,f(x)=sin(2x﹣),
由题意x∈[0,],得2x﹣∈[﹣,],
∴sin(2x﹣)∈[﹣,1]
∴函数y=sin(2x﹣)在区间[0,]的最小值为﹣.
故选:D.
8.由直线y=x﹣4,曲线y=以及x轴所围成的图形面积为( )
A. B.13 C. D.15
【考点】函数的图象;定积分在求面积中的应用.
【分析】由题意画出图形,数形结合把曲边梯形的面积用定积分表示,求定积分得答案.
【解答】解:如图,
由曲线y=,直线y=x﹣4以及x轴所围成的图形OAB的面积为:
dx+ (﹣x+4)dx=+(﹣x2+4x)=.
故选:C.
9.将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有( )
A.12种 B.10种 C.9种 D.8种
【考点】排列、组合及简单计数问题.
【分析】将任务分三步完成,在每步中利用排列和组合的方法计数,最后利用分步计数原理,将各步结果相乘即可得结果
【解答】解:第一步,为甲地选一名老师,有=2种选法;
第二步,为甲地选两个学生,有=6种选法;
第三步,为乙地选1名教师和2名学生,有1种选法
故不同的安排方案共有2×6×1=12种
故选 A
10.已知函数y=f(x)(x∈R)的图象如图所示,f′(x)是f(x)的导函数,则不等式(x﹣1)f′(x)<0的解集为( )
A.(﹣∞,)∪(1,2) B.(﹣1,1)∪(1,3) C.(﹣1,)∪(3,+∞) D.(﹣∞,﹣1)∪(3,+∞)
【考点】利用导数研究函数的单调性.
【分析】先由(x﹣1)f'(x)<0,分成x﹣1>0且f'(x)<0或x﹣1<0且f'(x)>0两种情况分别讨论即可
【解答】解:当x﹣1>0,即x>1时,f'(x)<0,
即找在f(x)在(1,+∞)上的减区间,
由图象得,1<x<2;
当x﹣1<0时,即x<1时,f'(x)>0,
即找f(x)在(﹣∞,1)上的增区间,
由图象得,x<.
故不等式解集为(﹣∞,)∪(1,2)
故选:A.
11.执行如图所示的程序框图,输出s的值为( )
A.﹣ B. C.﹣ D.
【考点】程序框图.
【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的k的值,当k=5时满足条件k>4,计算并输出S的值为.
【解答】解:模拟执行程序框图,可得
k=1
k=2
不满足条件k>4,k=3
不满足条件k>4,k=4
不满足条件k>4,k=5
满足条件k>4,S=sin=,
输出S的值为.
故选:D.
12.在不等式组,所表示的平面区域内随机地取一点M,则点M恰好落在第二象限的概率为( )
A. B. C. D.
【考点】简单线性规划.
【分析】先画出满足条件的平面区域,分别求出满足条件的三角形的面积,从而求出其概率.
【解答】解:画出满足条件的平面区域,如图示:
,
由,解得:P(,),
不等式组所表示的平面区域为RT△,
其面积为×3×=,
点M恰好落在第二象限表示的平面区域为一直角三角形,
其面积是×1×1=,
∴点M恰好落在第二象限的概率为P=,
故选:B.
二、填空题(每小题5分,共20分)
13.已知在等差数列{an}中,a1,a2017为方程x2﹣10x+16=0的两根,则a2+a1009+a2016的值为 15 .
【考点】等差数列的性质.
【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系可得a1+a2017=10再利用等差数列的性质即可得出.
【解答】解:∵a1,a2017为方程x2﹣10x+16=0的两根,
∴a1+a2017=10=2a1009,
∵数列{an}是等差数列,
则a2+a1009+a2016=3a1009=15.
故答案为:15.
14.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆(x﹣3)2+y2=16相切,则p的值为 2 .
【考点】抛物线的简单性质;直线与圆的位置关系.
【分析】根据抛物线的标准方程可知准线方程为x=﹣,根据抛物线的准线与圆相切可知3+=4求得p.
【解答】解:抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=﹣,
因为抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆(x﹣3)2+y2=16相切,
所以3+=4,p=2;
故答案为:2.
15.甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分,当他们被问到谁考了满分时,
甲说:丙没有考满分;
乙说:是我考的;
丙说:甲说真话.
事实证明:在这三名同学中,只有一人说的是假话,那么得满分的同学是 甲 .
【考点】进行简单的合情推理.
【分析】利用反证法,即可得出结论.
【解答】解:假设甲说的是假话,即丙考满分,则乙也是假话,不成立;
假设乙说的是假话,即乙没有考满分,又丙没有考满分,故甲考满分;
故答案为:甲.
16.随机抽取100名年龄在[10,20),[20,30)…,[50,60)年龄段的市民进行问卷调查,由此得到样本的频率分布直方图如图所示,从不小于30岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取22人,则在[50,60)年龄段抽取的人数为 2 .
【考点】频率分布直方图.
【分析】根据频率分布直方图,求出样本中不小于30岁人的频率与频数,再求用分层抽样方法抽取的人数
【解答】解:根据频率分布直方图,得;
样本中不小于30岁的人的频率是1﹣0.020×10+0.025×10=0.55,
∴不小于30岁的人的频数是100×0.55=55;
从不小于30岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取22人,
在[50,60)年龄段抽取的人数为
22×=22×=2.
故答案为:2.
三.解答题(17-21每题12分,22题10分,共70分)
17.(1)计算:log3+lg25+lg4++log23•log34;
(2)设集合A={x|≤2﹣x≤4},B={x|m﹣1<x<2m+1}.若A∪B=A,求m的取值范围.
【考点】对数的运算性质;并集及其运算.
【分析】(1)根据对数的运算性质即可求出,
(2)先化简集合A,在分类讨论即可求出m的范围.
【解答】解:(1)log3+lg25+lg4++log23•log34=+lg100+2+•=﹣+2+2+2=.
(2)设集合A={x|≤2﹣x≤4}=[﹣2,5],B={x|m﹣1<x<2m+1}.
∵A∪B=A,
∴B⊆A,
当B=∅时,即m﹣1≥2m+1时,解得m≤﹣2,满足题意,
当B≠∅时,则解得﹣1≤m≤2,
综上所述m的取值范围为(﹣∞,﹣2]∪[﹣1,2]
18.已知f(x)=(x∈R,且x≠﹣1),g(x)=x2+2(x∈R).
(1)求f(2)、g(2)的值;
(2)求f[g(3)]的值.
【考点】函数的值.
【分析】利用函数的性质求解.
【解答】解:(1)∵f(x)=(x∈R,且x≠﹣1),g(x)=x2+2(x∈R),
∴f(2)=,
g(2)=22+2=6.
(2)g(3)=32+2=11,
f[g(3)]=f(11)==.
19.已知函数f(x)=sin(2x﹣)+2sin2(x﹣) (x∈R).
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.
【考点】三角函数的周期性及其求法.
【分析】(1)先将函数f(x)化简为:f(x)=2sin(2x﹣)+1,根据T==π得到答案.
(2)因为f(x)取最大值时应该有sin(2x﹣)=1成立,即2x﹣=2kπ+,可得答案.
【解答】解:(1)f(x)=sin(2x﹣)+1﹣cos2(x﹣)
=2[sin2(x﹣)﹣cos2(x﹣)]+1
=2sin[2(x﹣)﹣]+1
=2sin(2x﹣)+1
∴T==π
(2)当f(x)取最大值时,sin(2x﹣)=1,有2x﹣=2kπ+
即x=kπ+(k∈Z)
∴所求x的集合为{x∈R|x=kπ+,(k∈Z)}.
20.如图,正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=2AB=4,点E在CC1上且C1E=3EC.
(Ⅰ)证明:A1C⊥平面BED;
(Ⅱ)求向量和所成角的余弦值.
【考点】平面向量数量积的运算;直线与平面垂直的判定.
【分析】(Ⅰ)建立空间直角坐标系,求出•=0, •=0,证明A1C⊥平面DBE.
(Ⅱ)根据向量的夹角公式,即可求出余弦值.
【解答】解:(Ⅰ)以D为坐标原点,射线DA为x轴的正半轴,建立如图所示直角坐标系D﹣xyz.
依题设,B(2,2,0),C(0,2,0),E(0,2,1),A1(2,0,4),C1=(0,2,4),D(0,0,0)
=(0,2,1),=(2,2,0),=(﹣2,2,﹣4),=(0,2,4),
∴•=﹣2×2+2×2+0×(﹣4)=0, •=0+4﹣4=0
∴A1C⊥BD,A1C⊥DE.
又DB∩DE=D,
∴A1C⊥平面DBE.
(Ⅱ)∵=(﹣2,2,﹣4),=(0,2,4),
∴•=﹣2×0+2×2+(﹣4)×4=﹣12,||==2, ==2
∴cos<,>===.
21.设函数f(x)=lnx﹣ax,a∈R.
(1)当x=1时,函数f(x)取得极值,求a的值;
(2)当0<a<时,求函数f(x)在区间[1,2]上的最大值;
(3)当a=﹣1时,关于x的方程2mf(x)=x2(m>0)有唯一实数解,求实数m的值.
【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.
【分析】(1)先求函数的定义域,然后求出导函数,根据f(x)在x=1处取得极值,则f'(1)=0,求出a的值,然后验证即可;
(2)由a的范围,然后利用导数研究函数的单调性,从而求出函数f(x)在区间[1,2]的最大值;
(3)研究函数是单调性得到函数的极值点,根据函数图象的变化趋势,判断何时方程2mf(x)=x2有唯一实数解,得到m所满足的方程,解方程求解m.
【解答】解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),所以f′(x)=﹣a=. …
因为当x=1时,函数f(x)取得极值,所以f′(1)=1﹣a=0,所以a=1.
经检验,a=1符合题意.(不检验不扣分) …
(2)f′(x)=﹣a=,x>0.
令f′(x)=0得x=.
因为0<a<,1≤x≤2,∴0<ax<1,∴1﹣ax>0,∴f′(x)>0,
∴函数f(x)在[1,2]上是增函数,
∴当x=2时,f(x)max=f(2)=ln2﹣2a.
(3)因为方程2mf(x)=x2有唯一实数解,
所以x2﹣2mlnx﹣2mx=0有唯一实数解,
设g(x)=x2﹣2mlnx﹣2mx,
则g′(x)=,令g′(x)=0,x2﹣mx﹣m=0.
因为m>0,x>0,所以x1=<0(舍去),x2=,
当x∈(0,x2)时,g′(x)<0,g(x)在(0,x2)上单调递减,
当x∈(x2,+∞)时,g′(x)>0,g(x)在(x2,+∞)单调递增,
当x=x2时,g(x)取最小值g(x2). …
则即
所以2mlnx2+mx2﹣m=0,因为m>0,所以2lnx2+x2﹣1=0(*),
设函数h(x)=2lnx+x﹣1,因为当x>0时,h(x)是增函数,所以h(x)=0至多有一解.
因为h(1)=0,所以方程(*)的解为x2=1,即=1,
解得m=. …
22.已知曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ,设直线l的参数方程是(t为参数).
(1)将曲线C的极坐标方程转化为直角坐标方程;
(2)设直线l与x轴的交点是M,N为曲线C上一动点,求|MN|的最大值.
【考点】直线和圆的方程的应用;点的极坐标和直角坐标的互化;参数方程化成普通方程.
【分析】(1)极坐标直接化为直角坐标,可求结果.
(2)直线的参数方程化为直角坐标方程,求出M,转化为两点的距离来求最值.
【解答】解:(1)曲C的极坐标方程可化为:ρ2=2ρsinθ,
又x2+y2=ρ2,x=ρcosθ,y=ρsinθ.
所以,曲C的直角坐标方程为:x2+y2﹣2y=0.
(2)将直线L的参数方程化为直角坐标方程得:.
令y=0得x=2即M点的坐标为(2,0)
又曲线C为圆,圆C的圆心坐标为(0,1)
半径,∴.
2016年12月16日