高中数学 1-2-1 几种常用函数的导数及导数的运算法则双基限时训练 新人教版选修2-2 4页

‎【名师一号】2014-2015学年高中数学 ‎1-2-1‎几种常用函数的导数及导数的运算法则双基限时训练 新人教版选修2-2‎ ‎1．下列各式中正确的是(　　)‎ A．(sina)′＝cosa(a为常数)‎ B．(cosx)′＝sinx C．(sinx)′＝cosx D．(x－5)′＝－x－6‎ 答案　C ‎2．已知函数f(x)＝x3的切线斜率等于1，则其切线方程有(　　)‎ A．1条　　　　　　　　 B. 2条 C．3条 D．不确定 解析　令f′(x)＝3x2＝1，得x＝±，‎ ‎∴切线斜率为1的点有两个，故有两条．‎ 答案　B ‎3．函数y＝cosx在x＝处的切线的斜率为(　　)‎ A. B．－ C. D．－ 解析　y′＝(cosx)′＝－sinx，‎ ‎∴k＝y′|x＝＝－sin＝－.‎ 答案　D ‎4．曲线y＝在点(1,1)处的切线方程为(　　)‎ A．y＝x＋1 B．y＝x C．y＝x＋ D．y＝－x＋ 解析　∵y＝＝x，∴y′＝x－.∴k＝y′|x＝1＝.故切线方程为y－1＝(x－1)，即y＝x＋.‎ 答案　C ‎5．已知f(x)＝xn.若f′(－1)＝－4，则n的值为(　　)‎ A．4 B．－4‎ C．5 D．－5‎ 解析　∵f(x)＝xn，f′(x)＝nxn－1，‎ ‎∴f′(－1)＝n(－1)n－1＝－4.∴n＝4.‎ 答案　A ‎6．过原点作曲线y＝ex的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为________．‎ 解析　∵y＝ex，∴y′＝ex.‎ 设切点为(x0，y0)，切线方程为y＝kx，‎ 则 ‎∴x0＝1，y0＝e.故切点(1，e)，k＝e.‎ 答案　(1，e)　e ‎7．已知函数f(x)＝f′cosx＋sinx，则f的值为________．‎ 解析　∵f(x)＝f′cosx＋sinx.f′为常数，‎ ‎∴f′(x)＝－f′sinx＋cosx，‎ ‎∴f′＝－f′×＋，得f′＝－1.‎ ‎∴f(x)＝(－1)cosx＋sinx.‎ ‎∴f＝(－1)×＋＝1.‎ 答案　1‎ ‎8．已知f(x)＝x2，g(x)＝lnx，若f′(x)－g′(x)＝1，则x＝________.‎ 解析　f′(x)－g′(x)＝2x－＝1，即2x2－x－1＝0.解得x＝－或x＝1，又x>0，∴x＝1.‎ 答案　1‎ ‎9．已知曲线y＝x3－3x，过点(0,16)作曲线的切线，求曲线的切线方程．‎ 解　设切点为(x1，y1)，则切线的斜率 k＝y′x＝x1＝3x－3，‎ ‎∴切线方程为y＝(3x－3)x＋16.‎ 又切点在切线上，‎ ‎∴y1＝(3x－3)x1＋16.‎ ‎∴x－3x1＝(3x－3)x1＋16，解得x1＝－2.‎ ‎∴切线方程为y＝9x＋16，‎ 即9x－y＋16＝0.‎ ‎10．证明：过曲线y＝上的任何一点P(x0，y0)(x0>0)的切线与两坐标轴围成的三角形的面积是一个常数．‎ 证明　由y＝，得y′＝－.‎ ‎∴k＝f′(x0)＝－.∴过点P(x0，y0)的切线方程为y－y0＝－(x－x0)．‎ 令x＝0，得y＝y0＋＝；‎ 令y＝0，得x＝2x0.‎ ‎∴过点P(x0，y0)(x0>0)的切线与两坐标轴围成的三角形的面积S＝×2x0×＝2是一个常数．‎ ‎11．在曲线y＝(x<0)上求一点P，使P到直线x＋2y－4＝0的距离最小．‎ 解　由题意知，平行于直线x＋2y－4＝0与y＝(x<0)相切的切点即为所求．‎ 设切点P(x0，y0)，由y′＝－，得k＝y′|x＝x0＝－，‎ 又x＋2y－4＝0的斜率为－，‎ ‎∴－＝－，∴x0＝，或x0＝－.‎ ‎∵x<0，∴x0＝－.y0＝－＝－.‎ ‎∴P(－，－)为所求．‎ ‎12．已知P(－1,1)，Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，求：‎ ‎(1)过点P，Q的曲线y＝x2的切线方程；‎ ‎(2)求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．‎ 解　(1)∵y′＝2x，且P(－1,1)，Q(2,4)都是曲线y＝x2上的点，‎ ‎∴过点P的切线的斜率为k1＝y′|x＝－1＝－2.‎ 过点Q的切线的斜率为k2＝y′|x＝2＝4.‎ 故过点P的切线方程为y－1＝－2(x＋1)，‎ 即2x＋y＋1＝0.‎ 过点Q的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.‎ ‎(2)设切点坐标为(x0，x)，‎ 则y′|x＝x0＝2x0，又直线PQ的斜率k＝＝1，‎ ‎∴2x0＝1，x0＝.故切点坐标为.‎ 故平行于PQ的切线方程为y－＝x－，‎ 即4x－4y－1＝0.‎