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- 2021-06-17 发布
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阶段滚动检测（六）
（第一～十一章）
（120分钟 150分）
第I卷(选择题 共50分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.(滚动交汇考查)设全集U=R，集合A={x|2x(x-2)<1},B={x|y=ln(1-x)}，则图中阴影部分表示的集合为( )
(A){x|x≥1} (B){x|x≤1}
(C){x|0的概率是______.
13.(2012·南京模拟)如图是一个算法的程序框图，最后输出的W＝_________.
14.为了了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长(单位：cm).根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如图)，那么在这100株树木中，底部周长小于110 cm的株数是_________.
15.下面给出一个“直角三角形数阵”：
满足每一列的数成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i行第j列的数为aij(i≥j，i，j∈N*)，则a83＝_________.
三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(13分)(滚动交汇考查)(2012·长沙模拟)已知=(cosx+sinx,sinx), =(cosx-sinx,2cosx)，设f(x)=.
(1)求函数f(x)的单调增区间；
(2)设三角形ABC的三个角A、B、C所对边分别是a,b,c，且满足f(B)=1, =10,求边c.
17.(13分)(滚动单独考查)已知矩形ABCD与正三角形AED所在的平面互相垂直，M、N分别为棱BE、AD的中点，AB=1,AD=2，
(1)证明：直线AM∥平面NEC；
(2)求二面角N—CE—D的余弦值．
18.(13分)(2012·济南模拟)某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响.已知学生小张只选修甲的概率为0.08，只选修甲和乙的概率为0.12，至少选修一门的概率为0.88，用ξ表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积.
(1)求学生小张选修甲的概率；
(2)记“函数f(x)=x2+ξx为R上的偶函数”为事件A，求事件A的概率;
(3)求ξ的分布列和数学期望.
19.(13分)(滚动单独考查)(2012·东城模拟)已知数列{an}满足a1=,an=(n≥2,n∈N).
(1)试判断数列{+(-1)n}是否为等比数列，并说明理由;
(2)设cn=ansin,数列{cn}的前n项和为Tn.求证：对任意的n∈N*，Tn<.
20.(14分)(滚动交汇考查)已知椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：
x
3
-2
4
y
0
-4
(1)求C1、C2的标准方程；
(2)请问是否存在直线l满足条件：①过C2的焦点F；②与C1交于不同的两点M、N，且满足？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
21.(14分)(滚动单独考查)已知函数f(x)=ex+2x2-ax.
(1)函数f(x)在区间［0,1］上存在唯一的极值点，求a的取值范围.
(2)若a=3，当x≥时，关于x的不等式f(x)≥x2+(b-3)x+1恒成立，试求实数b的取值范围.
答案解析
1.【解析】选D.由2x(x－2)＜1得x(x－2)＜0，故集合A＝{x|0＜x＜2}，由1－x＞0得x＜1，故B＝{x|x＜1}，所以A∩B＝{x|0＜x＜1}，所以A(A∩B)＝{x|1≤x＜2}，即图中阴影部分表示的集合为{x|1≤x＜2}.
2.【解析】选D.
∴z对应的点()所在的象限是第四象限.
3.【解析】选C.A中,∵a+b≥0,∴a≥-b.
又函数f(x)是R上的增函数，∴f(a)≥f(-b),①
同理可得，f(b)≥f(-a)，②
由①＋②，得f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，即原命题为真命题.又原命题与其逆否命题是等价命题，
∴逆否命题为真.B中若x>1，则|x|>1成立；若|x|>1，则x>1或x<-1，故B正确.
若p且q为假命题，则p、q中至少有一个是假命题，
所以C错误.D正确.
4.【解析】选D.令31－x＝2，∴1－x＝log32.∴x＝1－log32.
又∵log320.∴这个实根符合题意.令x2＋4x＋3＝2，则x2＋4x＋1＝0.解得两根x1＝－2－，x2＝－2＋，x1和x2均小于0，符合题意.
5.【解题指南】f(x)是偶函数，则有f(x)=f(|x|)，列不等式求解.
【解析】选D.∵函数f(x)为偶函数，且在［0，＋∞)上单调递减，f()＝0，∴＞或＜－，∴0＜x＜或x＞2.
6.【解题指南】三视图复原几何体是四棱台，一条侧棱垂直底面，底面是正方形，根据三视图数据，求出几何体的体积.
【解析】选B.三视图复原几何体是四棱台，下底面是边长为2的正方形，一条侧棱长为2，并且垂直底面，上底面是正方形，边长为1.
它的体积是：故选B.
7.【解题指南】由题知周期易验证，再根据正弦函数与余弦函数在对称轴处取得最值，验证性质②即可.
【解析】选D.∵T＝＝π，∴ω＝2.对于选项D，
又2×－，所以x＝为对称轴．
8.【解析】选A.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=0，符合题意，此时倾斜角为，当直线l的斜率存在时，设过点A(0，-1)的直线l方程为：y+1=kx,
即kx-y-1=0，当直线l与圆相切时，有k=±，数形结合，得直线l的倾斜角的取值范围是［,)∪(,］,综上得，直线l的倾斜角的取值范围是［,］.
9.【解析】选A.所表示的平面区域如图，由直线方程联立方程组易得A(1，
)，B(1,1)，C(5,2)，由于3x＋5y－25＝0在y轴上的截距为5，故目标函数z＝kx＋y的斜率－k<－，即k>.将k＝2代入，过B的截距z＝2×1＋1＝3，过C的截距z＝2×5＋2＝12，符合题意,故k＝2，故应选A.
10.【解题指南】令t＝3x，转化为关于t的二次函数的图象恒在t轴的上方处理.或分离参数m，利用最值处理恒成立问题.
【解析】选C.方法一：令t=3x,则问题转化为函数f(t)=t2-mt+m+1对t∈(1,
+∞)的图象恒在t轴的上方，即Δ=(-m)2-4(m+1)<0或
解得m<2+.
方法二：令t=3x,问题转化为m<,t∈(1,+∞)，即m比函数y=,t∈(1,
+∞)的最小值还小，
又y==t-1++2≥
所以m<2+2.
【方法技巧】不等式恒成立的三种解法
(1)转化为求函数的最值.若函数f(x)在区间I上有最大值和最小值.
则不等式f(x)>a在区间I上恒成立⇔f(x)min>a.不等式f(x)≥
a在区间I上恒成立⇔f(x)min ≥a.
不等式f(x)得>5，即>5，∴b>2a，在直角坐标系aOb内作出符合题意的区域如图中阴影部分所示，则阴影部分的面积为图中矩形的面积为2，∴由几何概型概率公式计算得所求的概率为.
答案：
13.【解析】第一次：T＝1，S＝12－0＝1；
第二次：T＝3，S＝32－1＝8；
第三次：T＝5，S＝52－8＝17，
此时满足S≥10.
所以W＝S＋T＝17＋5＝22.
答案：22
14.【解析】底部周长小于110 cm的频率:
10×0.01+10×0.02+10×0.04=0.7.
∴底部周长小于110 cm的株数为：100×0.7=70.
答案：70
15.【解题指南】先根据第1列成等差数列求出第8行第1个数，再根据第8行成等比数列求出a83.
【解析】由题意知，a83位于第8行第3列，且第1列的公差等于，每一行的公比都等于.由等差数列的通项公式知，第8行第1个数为＋(8－1)×＝2，a83＝2×()2＝.
答案：
【变式备选】
把正整数按下表排列：
(1)求200在表中的位置(在第几行第几列)；
(2)试求从上到下的第m行，从左至右的第n列上的数( 其中m≥n )；
(3)求主对角线上的数列：1、3、7、13、21、…的通项公式 .
【解析】把表中的各数按下列方式分组：( 1 )，( 2, 3， 4 )，(5, 6，7, 8， 9 )，…，
(1)由于第n组含有2n-1个数，所以第n组最后一个数是1+3+5+…+(2n-1)=n2.因为不等式n2≥200的最小整数解为n=15 ,这就是说，200在第15组中，由于142=196 ，所以第15组中的第一个数是197，这样200就是第15组中的第4个数，所以200在表中从上至下的第4行，从左至右的第15列上.
(2)因为m≥n ，所以第m行上的数从左至右排成的数列是以 -1为公差的等差数列，这个数列的首项是第m行的第1个数，即分组数列的第m组最后一个数为1+3+5+…+(2m-1)=m2.即从上至下的第m行，从左至右的第n列的数为amn=m2+(n-1)(-1)=m2-n+1.
(3)设主对角线上的数列为{an}，则易知an为表中从上至下的第n行，从左至右的第n列的数,故an=ann=n2+(n-1)(-1)=n2-n+1.
16.【解析】(1)∵f(x)= =(cosx+sinx) (cosx-sinx)+sinx2cosx
=cos2x-sin2x+2sinxcosx=cos2x+sin2x
=
由f(x)递增得-+2kπ≤2x+≤+2kπ,
即k∈Z.
∴f(x)的单调递增区间是［,］,k∈Z.
(2)由f(B)=1⇒sin(2B+)=及0b>0),
把点(-2,0)，()代入得：
解得
∴C1的标准方程为+y2=1.
(2)假设存在这样的直线l，过抛物线焦点F(1,0)，设直线l的方程为x-1=my，两交点坐标为M(x1,y1),N(x2,y2)，由消去x,得
(m2+4)y2+2my-3=0,
∴y1+y2=,y1y2= ①
x1x2=(1+my1)(1+my2)=1+m(y1+y2)+m2y1y2, ②
由得即x1x2+y1y2=0(*)
将①②代入(*)式，得解得m=±.
所以假设成立，即存在直线l满足条件，且l的方程为y=2x-2或y=-2x+2.
21.【解题指南】(1)函数f(x)在区间［0,1］上存在唯一的极值点，即方程
f′(x)=0在区间［0,1］上存在唯一的根；(2)分离参数b，利用最值处理恒成立.
【解析】(1)f′(x)=ex+4x-a,
∵f′(0)=1-a,f′(1)=e+4-a,
又∵函数f(x)在区间［0，1］上存在唯一的极值点，
∴f′(0)·f′(1)<0,
∴10,
∴φ(x)在［，+ ∞)上单调递增，
∴φ(x)≥φ()=
因此g′(x)>0，故g(x)在［,+∞)上单调递增，
则g(x)≥g()=
∴b的取值范围是b≤.
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