数学理卷·2018届吉林省百校联盟高三TOP20九月联考（全国II卷）（2017 10页

百校联盟2018届TOP20九月联考(全国Ⅱ卷)‎ 理科数学 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合,,则( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎2.已知实数、满足（为虚数单位），则在复平面内，复数对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎ ‎3.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆被的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.已知等差数列的前项和为，若，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎5.甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后，甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用．若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ）‎ A．丙被录用了 B．乙被录用了 C．甲被录用了 D．无法确定谁被录用了 ‎ ‎6.运行如图所示的程序框图，若输入的（…，10）分别为1.5、2.6、3.7、4.8、7.2、8.6、9.1、5.3、6.9、7.0，则输出的值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎8.已知抛物线：的焦点到其准线的距离为2，过焦点且倾斜角为的直线与抛物线交于，两点，若，，垂足分别为，，则的面积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎9.已知，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎10.已知单位向量与的夹角为，向量与的夹角为，则（ ）‎ A． B． C．或 D．或 ‎ ‎11.如图，在长方体中，，，点是长方体外的一点，过点作直线，记直线与直线，的夹角分别为，，若，则满足条件的直线（ ）‎ A．有1条 B．有2条 C．有3条 D．有4条 ‎ ‎12.已知当时，关于的方程有唯一实数解，则距离最近的整数为（ ）‎ A．2 B．3 C．4 D．5 ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.展开式中的系数为 ．‎ ‎14.函数在上的单调递增区间为 ．‎ ‎15.已知实数，满足则的取值范围为 ．‎ ‎16.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点且与双曲线的一条渐进线垂直的直线与的两条渐进线分别交于，两点，若，则双曲线的渐进线方程为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.已知中，角，，所对的边分别是，，，且，其中是的面积，．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求的值．‎ ‎18.如图所示，在已知三棱柱中，，，，平面平面，点在线段上，点是线段的中点．‎ ‎（1）试确定点的位置，使得平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎19.已知某产品的历史收益率的频率分布直方图如图所示．‎ ‎（1）试估计该产品收益率的中位数；‎ ‎（2）若该产品的售价（元）与销量（万份）之间有较强线性相关关系，从历史销售记录中抽样得到如表5组与的对应数据：‎ 售价（元）‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎38‎ ‎45‎ ‎52‎ 销量（万份）‎ ‎7.5‎ ‎7.1‎ ‎6.0‎ ‎5.6‎ ‎4.8‎ 根据表中数据算出关于的线性回归方程为，求的值；‎ ‎（3）若从表中五组销量数据中随机抽取两组，记其中销量超过6万份的组数为，求的分布列及期望．‎ ‎20.已知等差数列的前项和为，若，，（，且）．‎ ‎（1）求数列的通项；‎ ‎（2）求数列的前项和．‎ ‎21.已知椭圆：的离心率为，且过点，，是椭圆上异于长轴端点的两点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知直线：，且，垂足为，，垂足为，若，且的面积是面积的5倍，求面积的最大值．‎ ‎22.已知函数．　‎ ‎（1）求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）若，，且对于任意的，，都有成立，求实数的取值范围．‎ 百校联盟2018届TOP20九月联考(全国Ⅱ卷)理科数学答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: 11、12：‎ 二、填空题 ‎13.210 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解:∵，得，得，‎ 即，所以，‎ 又，∴，故，，‎ 故．‎ ‎（2），所以，得①，‎ 由（1）得，所以，‎ 在中，由正弦定理，得，即②‎ 联立①②，解得，，则，所以．‎ ‎18.解：（1）取的中点，连接交于点，点即为所求的点．‎ 连接，∵是的中点，是的中点，∴，‎ 又平面，平面，所以直线平面，‎ ‎∵，，∴，∴，‎ 故点为线段上靠近点的三等分点．‎ ‎（2）不妨设，由（1）知，‎ 又平面平面，平面平面，‎ 平面，∴平面．‎ 故，，以为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，‎ ‎∵，，‎ ‎∴为正三角形，，‎ ‎∴，，，，‎ ‎∴，，‎ 设平面的一个法向量，则由，可得令，则，‎ ‎∵，且，故，故，‎ 故直线与平面所成角的正弦值为．‎ ‎19.解：（1）依题意，设中位数为，，解得．‎ ‎（2），，‎ ‎∴．‎ ‎（3）的可能取值为0,1,2，故，，，‎ 故的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 故．‎ ‎20.解：（1）由已知得，且，‎ 设数列的公差为，则由，∴，‎ 由，得，即，∴，‎ ‎∴，故．‎ ‎（2）；下面先求的前项和，‎ ‎①；‎ ‎②；‎ 两式相减得，‎ ‎∴（）．‎ 故的前项和为．‎ ‎21.解：（1）依题意解得 故椭圆的方程为．‎ ‎（2）设直线与轴相交于点，，‎ 由于且，‎ 得，（舍去）或，‎ 即直线经过点，‎ 设，，的直线方程为：，‎ 由即，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 令，所以，‎ 因为，所以在上单调递增，所以在上单调递增，‎ 所以，所以（当且仅当，即时“”成立），‎ 故的最大值为3．‎ ‎22.解：（1）依题意，，‎ 令，解得，故函数的单调递增区间为．‎ ‎（2）当，对任意的，都有；‎ 当时，对任意的，都有；‎ 故对恒成立，或对恒成立，‎ 而，设函数，．　‎ 则对恒成立，或对恒成立，，‎ ‎①当时，∵,∴，∴恒成立，‎ ‎∴在上单调递增，，‎ 故在上恒成立，符合题意．　‎ ‎②当时，令，得，令，得，‎ 故在上单调递减，所以，‎ 而，设函数，，‎ 则，令，则（）恒成立，‎ ‎∴在上单调递增，∴恒成立，‎ ‎∴在上单调递增，∴恒成立，‎ 即，而，不合题意．　‎ 综上，故实数的取值范围为.‎