数学卷·2018届广西桂林市柳州市高三综合模拟金卷（1）理科数学试卷（解析版） 14页

全*品*高*考*网， 用后离不了！‎ 广西桂林市柳州市2018年届高三综合模拟金卷（1）‎ 理科数学 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合，则集合中元素的个数为（ ）‎ A. 5 B. 4 C. 3 D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得，集合A表示除以3之后余数为2的数，结合题意可得：，‎ 即集合中元素的个数为2.‎ 本题选择D选项.‎ ‎2. 已知（为虚数单位），则复数（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：，故选B.‎ 考点：复数 ‎3. 某中学初中部共有120名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（ ）‎ A. 128 B. 144 C. 174 D. 167‎ ‎【答案】B ‎【解析】女教师人数为：．‎ ‎4. 已知的展开式中第4项的二项式系数为20，则 的展开式中的常数项为（ ）‎ A. 60 B. C. 80 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可得=20，求得n=6，‎ 则　= 的展并式的通项公式为Tr+1=••，‎ 令6﹣=0，求得r=4，‎ 可得展并式中的常数项为•4=60.‎ 点睛：利用二项式系数的性质求得n=6，在（x﹣）6 的展并式的通项公式中，令x的幂指数等于零，求得r的值，可得展并式中的常数项．‎ ‎5. 已知点是以为焦点的椭圆上一点，若，则椭圆的离心率（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵点P是以F1，F2为焦点的椭圆+=1（a＞b＞0）上一点，PF1⊥PF2，tan∠PF2F1=2，‎ ‎∴=2，设|PF2|=x，则|PF1|=2x，由椭圆定义知x+2x=2a，∴x=，∴|PF2|=，则|PF1|==，由勾股定理知|PF2|2+|PF1|2=|F1F2|2，∴解得c=a，‎ ‎∴e==．‎ 点睛：本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的灵活运用．‎ ‎6. 下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】对于选项A，因为，且图象关于原点对称，故选A.‎ 考点：三角函数的性质.‎ ‎7. 执行如图所示的程序框图，若输出的值为8，则判断框内可填入的条件是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：模拟执行程序框图，的值依次为，因此（此时），因此可填，故选C.‎ 考点：程序框图及循环结构.‎ ‎8. 已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，则球的直径为（ ）‎ A. B. C. 13 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，‎ 所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直，‎ ‎△ABC的外心是斜边的中点，上下底面的中心连线垂直底面ABC，其中点是球心，‎ 即侧面B1BCC1，经过球的球心，球的直径是侧面B1BCC1的对角线的长，‎ 因为AB=3，AC=4，BC=5，BC1=13，‎ 所以球的直径为：13．‎ 点睛：通过球的内接体，说明几何体的侧面对角线是球的直径，求出球的半径．‎ ‎9. 设等比数列中，公比，前项和为，则的值（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由等比数列的前项和公式得，又，.‎ 考点：等比数列的通项公式、前项和公式及运算.‎ ‎10. 设双曲线上存在一点满足以为边长的正方形的面积等于(其中为坐标原点），则双曲线的离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由条件，，又P为双曲线上一点，从而，∴，∴，‎ 又∵，∴．‎ 考点：双曲线的离心率．‎ ‎11. 已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】函数h（x）=f（x）﹣mx+2有三个不同的零点，‎ 即为f（x）﹣mx+2=0有三个不同的实根，‎ 可令y=f（x），y=g（x）=mx﹣2，‎ 分别画出y=f（x）和y=g（x）的图象，‎ A（0，﹣2），B（3，1），C（4， 0），‎ 则g（x）的图象介于直线AB和AC之间，‎ 介于kAB＜m＜kAC，可得＜m＜1．‎ 故答案为：（，1）．‎ 点睛:函数h（x）=f（x）﹣mx+2有三个不同的零点，即为f（x）﹣mx+2=0有三个不同的实根，可令y=f（x），y=g（x）=mx﹣2，分别画出y=f（x）和y=g（x）的图象，通过图象观察，结合斜率公式，即可得到m的范围．‎ ‎12. 已知圆和圆只有一条公切线，若且，则的最小值为（ ）‎ A. 2 B. 4 C. 8 D. 9‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得两圆相内切，两圆的标准方程分别为 （x+2a）2+y2=4，x2+（y﹣b）2=1，‎ 圆心分别为（﹣2a，0），（0，b），半径分别为2和1，故有=1，∴4a2+b2=1，‎ ‎∴+=（+）（4a2+b2）=5++≥5+4=9，当且仅当=时，等号成立，‎ ‎∴+的最小值为9．‎ 点睛：由题意可得两圆相内切，根据两圆的标准方程求出圆心和半径，可得4a2+b2=1，再利用“1”的代换，使用基本不等式求得+的最小值．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为__________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】试题分析：作出平面区域如图，易知目标函数在A处取得最大值，又由得，故A(2，2)，目标函数的最大值为 考点：线性规划 ‎14. 已知是等差数列，公差不为零，若成等比数列，且，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：成等比数列，，即，化简得,由得，联立得，故.‎ 考点：（1）等差数列的定义；（2）等比中项.‎ ‎15. 设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵f（x）为奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，f（1）=0，‎ ‎∴f（1）=﹣f（﹣1）=0，在（﹣∞，0）内也是增函数 ‎∴=＜0，即或 ‎ 根据在（﹣∞，0）和（0，+∞）内是都是增函数,解得：x∈（﹣1，0）∪（0，1）‎ 点睛: 根据函数为奇函数求出f（1）=0，再将不等式x f（x）＜0分成两类加以分析，再分别利用函数的单调性进行求解，可以得出相应的解集．‎ ‎16. 在正四棱柱中，为底面的中心，是的中点，若存在实数 使得时，平面平面，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO．‎ 理由如下：‎ ‎ 当Q为CC1的中点时，∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，∴QB∥PA．‎ ‎∵P、O为DD1、DB的中点，∴D1B∥PO．又PO∩PA=P，D1B∩QB=B，‎ D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，∴平面D1BQ∥平面PAO．‎ 点睛: 当Q为CC1的中点时，QB∥PA，D1B∥PO，由此能求出平面D1BQ∥平面PAO．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 的内角所对的边分别为，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求的面积.‎ ‎【答案】(1) ,(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）因为正弦定理，所以化为，因为三角形内角有，所以即，所以；‎ ‎（2）由余弦定理，得，而，，得，即，因为三角形的边，所以，则．‎ 试题解析：（1）因为由正弦定理，得，又，从而，由于所以 ‎（2）解法一：由余弦定理，得，而，，‎ 得，即因为，所以，‎ 故面积为．‎ 解法二：由正弦定理，得 从而又由知，所以 故 ，‎ 所以面积为．‎ 考点：1．正弦定理与余弦定理；2．三角形的面积公式．‎ ‎18. 某商家对他所经销的一种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的统计结果如表:‎ 若以上表中频率作为概率，且每天的销售量相互独立. （1）求6天中该种商品恰好有两天的销售量为1.5吨的概率； （2）已知每吨该商品的销售利润为2千元，表示该种商品某两天销售利润的和（单位：千元），求的分布列和数学期望．‎ ‎【答案】(1) ,(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1） 销售量为吨的概率 ‎ ‎；（2）的可能取值为 ，‎ ‎，可列出分 布列，并求出期望.‎ 试题解析： （1），‎ 依题意，随机选取一天，销售量为吨的概率，‎ 设天中该种商品有天的销售量为吨，则，‎ ‎（2）的可能取值为，‎ 则：，‎ ‎，‎ 所以的分布列为：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 的数学期望 考点：1、频率与概率；2、分布列；3、数学期望.‎ ‎19. 如图，在三棱柱中，底面为等边三角形，过作平面平行于，交于点.‎ ‎（1）求证:；‎ ‎（2）若四边形是边长为2的正方形，且，求二面角的正弦值.‎ ‎【答案】(1),(2) .‎ ‎【解析】（1）证明：连接，设与相交于点，连接，则为中点，‎ ‎∵平面，平面平面，‎ ‎∴，∴为的中点，‎ 又∵是等边三角形，∴；‎ ‎（2）因为，所以，‎ 又，所以，又，所以平面，‎ 设的中点为，的中点为，以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系.‎ 则，‎ 即，‎ 设平面的法向量为，‎ 由，得，‎ 令，得，‎ 设平面的法向量为,‎ 由，得，‎ 令，得，‎ ‎∴‎ 点睛：本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法．‎ ‎20. 已知椭圆的离心率为，为椭圆的左右焦点，为椭圆短轴的端点，的面积为2.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设为原点，若点在椭圆上，点在直线上，且，试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论.‎ ‎【答案】(1) ,(2) 此时直线与圆相切.‎ ‎【解析】试题分析：（1）椭圆的离心率为，；的面积为2，；（2）写出直线的方程为 ‎，圆心到直线的距离．‎ 解析：（1）由题意，，解得，‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）直线与圆相切.证明如下：‎ 设点的坐标分别为，其中.‎ 因为，‎ 所以，即，解得.‎ 当时，，代入椭圆的方程，得，‎ 故直线的方程为.‎ 圆心到直线的距离.‎ 此时直线与圆相切.‎ 当时，直线的方程为.‎ 即.‎ 又，故 ‎.‎ 此时直线与圆相切.‎ 点睛：利用向量垂直关系得两点的坐标关系，再求圆心到直先得距离恰为半径．‎ ‎21. 已知为实数，函数.‎ ‎（1）若是函数的一个极值点，求实数的取值；‎ ‎（2）设，若，使得成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ,(2) 实数的取值范围为.‎ ‎【解析】试题分析：（1）求出函数f（x）定义域，函数的导函数f′（x），假设存在实数a，使f（x）在x=3处取极值，则f′（3）=0，求出a，验证推出结果．‎ ‎（2）由f （x0）≤g（x0） 得：（x0﹣lnx0）a≥x02﹣2x0，记F（x）=x﹣lnx（x＞0），求出F′（x），推出F（x）≥F（1）=1＞0，转化a≥，记G（x）=，x∈[，e]求出导函数，求出最大值，列出不等式求解即可．‎ 解析：（1）函数定义域为 ，‎ ‎.‎ ‎∵是函数的一个极值点，∴，解得.‎ 经检验时，是函数的一个极小值点，符合题意，‎ ‎∴.‎ ‎ （2）由，得，‎ 记，‎ ‎∴，‎ ‎∴当 时，，单调递减；‎ ‎ 当时，，单调递増.‎ ‎∴，‎ ‎∴，记，‎ ‎∴ .‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴时，，单调递减；‎ 时，，单调递增，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ 故实数的取值范围为.‎ 点睛：本题考查函数的动手的综合应用，函数的最值的求法，极值的求法，用到了变量集中的方法.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. 选修4一4:坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合，圆的极坐标方程为，‎ 直线的参数方程为 (为参数）.‎ ‎（1）若，是直线与轴的交点，是圆上一动点，求的最小值；‎ ‎（2）若直线被圆截得的弦长等于圆的半径的倍，求的值.‎ ‎【答案】(1) 的最小值为,(2) 解得或.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）首先，根据所给a的值，将圆的极坐标方程化为普通方程，将直线的参数方程化为直角坐标方程，然后，根据圆的性质，将所求的最值转化为到圆心的距离；（Ⅱ）首先，得到原点普通方程，然后，结合圆的弦长公式，建立关系式求解a的值即可．‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）当时，圆的极坐标方程为，可化为，‎ 化为直角坐标方程为，即.‎ 直线的普通方程为，与轴的交点的坐标为，‎ ‎∵圆心与点的距离为，‎ ‎∴的最大值为.‎ ‎（Ⅱ）由，可化为，‎ ‎∴圆的普通方程为.‎ ‎∵直线被圆截得的弦长等于圆的半径的倍，‎ ‎∴由垂径定理及勾股定理得：圆心到直线的距离为圆半径的一半，‎ ‎∴，解得或．‎ ‎23. 选修4一5:不等式选讲 已知，不等式的解集是.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若存在实数解，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ,(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）通过讨论a的范围，求出不等式的解集，根据对应关系求出a的值即可；‎ ‎（2）根据不等式的性质求出最小值，得到关于k的不等式，解出即可．‎ 解析：（1）由，得，即，‎ 当时，，‎ 所以，解得；‎ 当时，，‎ 所以无解.‎ 所以. ‎ ‎(2)因为 ，‎ 所以要使存在实数解，‎ 只需，所以实数的取值范围是.‎ 点睛：本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，以及函数恒成立求参的方法．‎ ‎ ‎