数学卷·2018届湖南省永州市宁远一中高二上学期第一次月考数学试卷（理科）（a卷）（解析版） 15页

2016-2017 学年湖南省永州市宁远一中高二（上）第一次月考数 学试卷（理科）（A 卷） 　 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1．不在 3x+2y＜6 表示的平面区域内的一个点是（　　） A．（0，0） B．（1，1） C．（0，2） D．（2，0） 2．在△ABC 中，A：B：C=4：1：1，则 a：b：c=（　　） A． ：1：1 B．2：1：1 C． ：1：2 D．3：1：1 3．数列 3，5，9，17，33，…的通项公式 an 等于（　　） A．2n B．2n+1 C．2n﹣1 D．2n+1 4．在△ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 所对的边，若 ccos A=b，则△ABC（　　） A．一定是锐角三角形 B．一定是钝角三角形 C．一定是直角三角形 D．一定是斜三角形 5．在等比数列{an}中，若 a3a5a7a9a11=243，则 的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．9 6．已知 a+b＞0，b＜0，那么 a，b，﹣a，﹣b 的大小关系是（　　） A．a＞b＞﹣b＞﹣a B．a＞﹣b＞﹣a＞b C．a＞﹣b＞b＞﹣a D．a＞b＞﹣a＞﹣b 7．数列{an}满足 a1=1，an= （n≥2），则数列{an•an+1}的前 10 项和为（　　） A． B． C． D． 8．设 A= + ，其中 a、b 是正实数，且 a≠b，B=﹣x2+4x﹣2，则 A 与 B 的大小关系是（　　） A．A≥B B．A＞B C．A＜B D．A≤B 9．若△ABC 的内角 A、B、C 所对的边 a、b、c 满足（a+b）2﹣c2=4，且 C=60°，则△ABC 的面积为（　　） A． B．2 ﹣3 C． D． 10．已知{an}为等差数列，其公差为﹣2，且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项，Sn 为{an}的前 n 项 和，n∈N*，则 S10 的值为（　　） A．﹣110 B．﹣90 C．90 D．110 11．已知 m＞n＞0，则 m+ 的最小值为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 12．设 x、y 满足约束条件 ，若目标函数 z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值 为 10，则 的最小值为（　　） A． B．5 C．25 D．24 　 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．函数 y= 的定义域是　　． 14．设等比数列{an}的公比 q=2，前 n 项和为 Sn，则 =　　． 15．一船以每小时 15km 的速度向东航行，船在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东 60°处；行驶 4h 后，船到达 C 处，看到这个灯塔在北偏东 15°处．这时船与灯塔的距离为　　km． 16．观察下面的数阵，则第 20 行第 9 个数是　　． 　 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分） 17．已知 a、b、c 分别是△ABC 的三个内角 A、B、C 的对边，若△ABC 面积为 ，c=2， A=60°，求 a，b 及角 C 的值． 18．已知等差数列{an}中，a2=9，a5=21． （1）求{an}的通项公式； （2）令 bn= ，求数列{bn}的前 n 项和 Sn． 19．已知函数 f（x）=2 sin xcos x﹣3sin2x﹣cos2x+2． （1）求 f（x）的最大值； （2）若△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足 = ，sin（2A+C）=2sin A+2sin Acos（A+C），求 f（B）的值． 20．舒城某运输公司接受了向我县偏远地区每天送至少 180t 生活物资的任务．该公司有 8 辆载重 6t 的 A 型卡车与 4 辆载重为 10 t 的 B 型卡车，有 10 名驾驶员，每辆卡车每天往返 的次数为 A 型卡车 4 次，B 型卡车 3 次；每辆卡车每天往返的成本费 A 型为 320 元，B 型 为 504 元．请为公司安排一下，应如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？若只安排 A 型或 B 型卡车，所花的成本费分别是多少？ 21．已知关于 x 的不等式 tx2﹣6x+t2＜0 的解集是（﹣∞，a）∪（1，+∞）；函数 f（x）=﹣ tx2+ ax﹣8． （1）求 a 和 t 的值； （2）若对一切 x＞2，均有 f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15 成立，求实数 m 的取值范围． 22．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 an+2Sn•Sn﹣1=0（n≥2），a1= ． （1）求证：{ }是等差数列； （2）求 an 表达式； （3）若 bn=2（1﹣n）an（n≥2），求证：b22+b32+…+bn2＜1． 　 2016-2017 学年湖南省永州市宁远一中高二（上）第一次 月考数学试卷（理科）（A 卷） 参考答案与试题解析 　 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1．不在 3x+2y＜6 表示的平面区域内的一个点是（　　） A．（0，0） B．（1，1） C．（0，2） D．（2，0） 【考点】二元一次不等式（组）与平面区域． 【分析】把选项中的每个点的坐标分别代入 3x+2y，看点的坐标是否满足不等式即可 【解答】解：将点（0，0）点代入 3x+2y＜6，得 0＜6，显然成立，点（0，0）在不等式表 示的区域内 将点（1，1）代入 3x+2y＜6，得 5＜6，显然成立，点（1，1）在不等式表示的区域内 将点（0，2）代入 3x+2y＜6，得 4＜6，显然成立，点（0，2）在不等式表示的区域内 将点（2，0）代入 3x+2y＜6，得 6=6，点（2，0）不在不等式表示的区域内 故选 D 　 2．在△ABC 中，A：B：C=4：1：1，则 a：b：c=（　　） A． ：1：1 B．2：1：1 C． ：1：2 D．3：1：1 【考点】正弦定理． 【分析】通过三角形的角的比，求出三个角的大小，利用正弦定理求出 a、b、c 的比即可 【解答】解：∵A+B+C=π，A：B：C=4：1：1， ∴A=120°，B=C=30°， 由正弦定理可知：a：b：c=sinA：sinB：sinC= = ：1：1． 故选：A． 　 3．数列 3，5，9，17，33，…的通项公式 an 等于（　　） A．2n B．2n+1 C．2n﹣1 D．2n+1 【考点】数列的概念及简单表示法． 【分析】研究数列中各项的数与项数的关系，利用归纳法得出结论，再根据所得的结论比对 四个选项，选出正确答案． 【解答】解：∵3=21+1，5=22+1，9=23+1，17=24+1，33=25+1，… ∴an=2n+1 故选 B 　 4．在△ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 所对的边，若 ccos A=b，则△ABC（　　） A．一定是锐角三角形 B．一定是钝角三角形 C．一定是直角三角形 D．一定是斜三角形 【考点】正弦定理． 【分析】已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式变形，得到 cosC 为 0，确定出 C 为直角，即可得到三角形为直角三角形． 【解答】解：已知等式 ccosA=b，利用正弦定理化简得：sinCcosA=sinB=sin（A+C） =sinAcosC+cosAsinC， 整理得：sinAcosC=0， ∵sinA≠0，∴cosC=0，即 C=90°， 则△ABC 为直角三角形． 故选：C． 　 5．在等比数列{an}中，若 a3a5a7a9a11=243，则 的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．9 【考点】等比数列的通项公式． 【分析】由 a3a5a7a9a11=243，可得 =243，而 =a7 即可得出． 【解答】解：∵a3a5a7a9a11=243，∴ =243， ∴a7=3． 则 =a7=3． 故选：C． 　 6．已知 a+b＞0，b＜0，那么 a，b，﹣a，﹣b 的大小关系是（　　） A．a＞b＞﹣b＞﹣a B．a＞﹣b＞﹣a＞b C．a＞﹣b＞b＞﹣a D．a＞b＞﹣a＞﹣b 【考点】不等式比较大小． 【分析】法一：特殊值法，令 a=2，b=﹣1 代入检验即可． 法二：利用不等式的性质，及不等式的符号法则，先把正数的大小比较出来，再把负数的大 小比较出来． 【解答】解：法一：∵A、B、C、D 四个选项中，每个选项都是唯一确定的答案，∴可用特 殊值法． 令 a=2，b=﹣1，则有 2＞﹣（﹣1）＞﹣1＞﹣2， 即 a＞﹣b＞b＞﹣a． 法二：∵a+b＞0，b＜0， ∴a＞﹣b＞0，﹣a＜b＜0， ∴a＞﹣b＞0＞b＞﹣a， 即 a＞﹣b＞b＞﹣a． 　 7．数列{an}满足 a1=1，an= （n≥2），则数列{an•an+1}的前 10 项和为（　　） A． B． C． D． 【考点】数列递推式；数列的求和． 【分析】利用递推关系式，判断数列{ }是以 1 为首项，1 为公差的等差数列，求出通项 公式，然后化简所求的思路的通项公式，利用裂项法求解即可． 【解答】解：数列{an}满足 a1=1，an= （n≥2），依题意 an＞0 且 n≥2 时， an= ，可得 ， ∴数列{ }是以 1 为首项，1 为公差的等差数列， ∴ =n，即 an= ，∴an•an+1 = ， ∴S10=1 = ． 故选 B． 　 8．设 A= + ，其中 a、b 是正实数，且 a≠b，B=﹣x2+4x﹣2，则 A 与 B 的大小关系是（　　） A．A≥B B．A＞B C．A＜B D．A≤B 【考点】不等式比较大小． 【分析】根据基本不等式得到 A 的范围，再根据二次函数的性质得到 B 的范围，即可比较 大小． 【解答】解：∵a，b 都是正实数，且 a≠b，即 A＞2， B=﹣x2+4x﹣2=﹣（x2﹣4x+4）+2=﹣（x﹣2）2+2≤2，即 B≤2， ∴A＞B． 故选：B． 　 9．若△ABC 的内角 A、B、C 所对的边 a、b、c 满足（a+b）2﹣c2=4，且 C=60°，则△ABC 的面积为（　　） A． B．2 ﹣3 C． D． 【考点】余弦定理． 【分析】由已知利用余弦定理可求 ab 的值，进而利用特殊角的三角函数值，三角形面积公 式即可计算得解． 【解答】解：由已知得 a2+b2﹣c2+2ab=4， 由于 C=60°， 所以 cosC= = ，即 a2+b2﹣c2=ab， 因此 ab+2ab=4，ab= ， 所以：S△ABC= absinC= = ． 故选：A． 　 10．已知{an}为等差数列，其公差为﹣2，且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项，Sn 为{an}的前 n 项 和，n∈N*，则 S10 的值为（　　） A．﹣110 B．﹣90 C．90 D．110 【考点】等差数列的前 n 项和；等比数列的性质． 【分析】通过 a7 是 a3 与 a9 的等比中项，公差为﹣2，求出 【解答】解：a7 是 a3 与 a9 的等比中项，公差为﹣2，所以 a72=a3•a9， ∵{an}公差为﹣2， ∴a3=a7﹣4d=a7+8，a9=a7+2d=a7﹣4， 所以 a72=（a7+8）（a7﹣4），所以 a7=8，所以 a1=20， 所以 S10= =110 故选 D 　 11．已知 m＞n＞0，则 m+ 的最小值为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 【考点】一元二次不等式的应用． 【分析】由m＞n＞0 知 m﹣n＞0，m+ =m﹣n+ ，利用基本不等式，即可求 m+ 的最小值． 【解答】解：由 m＞n＞0 知 m﹣n＞0，m+ =m﹣n+ ≥2 =4，当且仅当 m﹣n=2 时取等号． ∴当 m﹣n=2 时，m+ 的最小值为 4． 故选 C． 　 12．设 x、y 满足约束条件 ，若目标函数 z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值 为 10，则 的最小值为（　　） A． B．5 C．25 D．24 【考点】简单线性规划． 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识先求出 a，b 的关系，然后利用 基本不等式求 的最小值． 【解答】解：由 z=ax+by（a＞0，b＞0）得 y=﹣ x+ ， 作出可行域如图： ∵a＞0，b＞0， ∴直线 y=﹣ x+ 的斜率为负，且截距最大时，z 也最大． 平移直线 y=﹣ x+ ， ，由图象可知当 y=﹣ x+ 经过点 A 时， 直线的截距最大，此时 z 也最大． 由 ，解得 ，即 A（4，6）． 此时 z=4a+6b=10， 即 2a+3b﹣5=0， 即 =1， 则 的最小值为（ ）（ ）= ≥ +2× =5， 当且仅当 ，即 a=b=1 时，取等号， 故 的最小值为 5； 故选：B． 　 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．函数 y= 的定义域是　[﹣3，1]　． 【考点】函数的定义域及其求法． 【分析】根据被开方数不小于 0，构造不等式，解得答案． 【解答】解：由 3﹣2x﹣x2≥0 得：x2+2x﹣3≤0， 解得：x∈[﹣3，1]， 故答案为：[﹣3，1] 　 14．设等比数列{an}的公比 q=2，前 n 项和为 Sn，则 =　 　． 【考点】等比数列的前 n 项和． 【分析】由等比数列的通项公式及求和公式可得 = = 代入可求． 【解答】解：∵q=2， ∴ = = = = ． 故答案为： ． 　 15．一船以每小时 15km 的速度向东航行，船在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东 60°处；行驶 4h 后，船到达 C 处，看到这个灯塔在北偏东 15°处．这时船与灯塔的距离为　30 　 km． 【考点】余弦定理；正弦定理． 【分析】根据题意画出相应的图形，求出∠B 与∠BAC 的度数，再由 AC 的长，利用正弦 定理即可求出 BC 的长． 【解答】解：根据题意画出图形，如图所示，可得出∠B=75°﹣30°=45°， 在△ABC 中，根据正弦定理得： = ，即 = ， ∴BC=30 km， 则这时船与灯塔的距离为 30 km． 故答案为：30 　 16．观察下面的数阵，则第 20 行第 9 个数是　392　． 【考点】等差数列的性质． 【分析】通过观察这个数列知，a1=1，a2=3，a3=5，…，an=2n﹣1，它们成等差数列，那么 可知前 20 行的个数，第 20 行第 1 个数为 400，可得第 9 个数． 【解答】解：由题得每一行数字个数分别为 a1=1，a2=3，a3=5，…，an=2n﹣1， 它们成等差数列，则前 20 行总共有 = =400 个数， 在观察：数阵成 S 型，奇数是左边大，右边小，偶数相反．前 20 行是偶数行， 因此第 20 行第 1 个数为 400，第 9 个数即为 392． 故答案为：392． 　 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分） 17．已知 a、b、c 分别是△ABC 的三个内角 A、B、C 的对边，若△ABC 面积为 ，c=2， A=60°，求 a，b 及角 C 的值． 【考点】三角形中的几何计算． 【分析】由已知结合 可求b，然后由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccos60° 可求，进而可求 C 【解答】解：∵c=2，A=60° 又 ∴ ∴b=1 由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccos60°=4 =3 ∴ ∵a2+b2=c2 ∴C=90° 　 18．已知等差数列{an}中，a2=9，a5=21． （1）求{an}的通项公式； （2）令 bn= ，求数列{bn}的前 n 项和 Sn． 【考点】等差数列的通项公式；等比数列的前 n 项和． 【分析】（1）设出数列的公差，分别根据等差数列的通项公式表示出 a2 和 a5 联立方程求得 和 a1 和 d，则数列的通项公式可得． （2）把（1）中求得的 an 代入 bn=2an 中求得 bn，判断出数列{bn}为等比数列，进而利用等 比数列的求和公式求得前 n 项的和． 【解答】解：（1）设数列{an}的公差为 d，由题意得 解得 a1=5，d=4， ∴{an}的通项公式为 an=4n+1． （2）由 an=4n+1 得 bn=24n+1， ∴{bn}是首项为 b1=25，公比 q=24 的等比数列． ∴Sn= ． 　 19．已知函数 f（x）=2 sin xcos x﹣3sin2x﹣cos2x+2． （1）求 f（x）的最大值； （2）若△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足 = ，sin（2A+C）=2sin A+2sin Acos（A+C），求 f（B）的值． 【考点】余弦定理；三角函数的最值． 【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得 f（x）=2sin（2x+ ），利 用正弦函数的性质即可求得 f（x）的最大值． （2）由三角函数恒等变换的应用化简得 sin C=2sin A，由正弦定理得 c=2a．由余弦定理可 求 cosA 的值，进而可求 B，代入即可得解 f（B）的值． 【解答】解：（1）∵f（x）= sin 2x﹣3sin2x﹣cos2x+2（sin2x+cos2x） = sin 2x+cos2x﹣sin2x = sin 2x+cos 2x =2sin（2x+ ）． ∴f（x）的最大值是 2． （2）由 sin（2A+C）=2sin A+2sin Acos（A+C），得： sin Acos （A+C）+cos Asin（A+C）=2sin A+2sin Acos （A+C）； 化简得 sin C=2sin A， 由正弦定理得 c=2a．又 b= a， 由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccos A=3a2+4a2﹣4 a2cos A， ∴cosA= ，∴A= ，B= ，C= ， ∴f（B）=f（ ）=2sin =1． 　 20．舒城某运输公司接受了向我县偏远地区每天送至少 180t 生活物资的任务．该公司有 8 辆载重 6t 的 A 型卡车与 4 辆载重为 10 t 的 B 型卡车，有 10 名驾驶员，每辆卡车每天往返 的次数为 A 型卡车 4 次，B 型卡车 3 次；每辆卡车每天往返的成本费 A 型为 320 元，B 型 为 504 元．请为公司安排一下，应如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？若只安排 A 型或 B 型卡车，所花的成本费分别是多少？ 【考点】简单线性规划的应用． 【分析】设每天应派出 A 型 x 辆、B 型车 y 辆，根据条件列出不等式组，即得线性约束条 件，列出目标函数，画出可行域求解． 【解答】解：设每天应派出 A 型 x 辆、B 型车 y 辆，则 x，y 满足的条件为：公司总成本为 z=320x+504y 满足约束条件的可行域 如图示： 由图可知，当 x=7.5，y=0 时，z 有最小值，但是（7.5，0）不是整点，目标函数向上平移过 （8，0）时，z=320×8+504×0=2560 有最小值，最小值为 2560 元； 即当每天应派出 A 型车 8 辆、B 型车 0 辆，能使公司总成本最低，最低成本为 2560 元． 只安排 A 型或 B 型卡车，所花的成本费分别： 元， 元． 　 21．已知关于 x 的不等式 tx2﹣6x+t2＜0 的解集是（﹣∞，a）∪（1，+∞）；函数 f（x）=﹣ tx2+ ax﹣8． （1）求 a 和 t 的值； （2）若对一切 x＞2，均有 f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15 成立，求实数 m 的取值范围． 【考点】函数恒成立问题． 【分析】（1）利用不等式的解集，列出不等式组，即可求 a 和 t 的值； （2）通过对一切 x＞2，均有 f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15 成立，分离变量，利用基本不等 式求出最值，然后求实数 m 的取值范围． 【解答】解：（1）依题意可得 ，解得 t=﹣3，a=﹣3． （2）由（1）f（x）=x2﹣2x﹣8．当 x＞2 时，f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15 恒成立， ∴x2﹣2x﹣8≥（m+2）x﹣m﹣15，即 x2﹣4x+7≥m（x﹣1）．∴对一切 x＞2，均有不等式 ≥m 成立． 而 =（x﹣1）+ ﹣2≥2 ﹣2=2．（当且仅当 x﹣1= 即 x=3 时等号成立） ∴实数 m 的取值范围是（﹣∞，2]． 　 22．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 an+2Sn•Sn﹣1=0（n≥2），a1= ． （1）求证：{ }是等差数列； （2）求 an 表达式； （3）若 bn=2（1﹣n）an（n≥2），求证：b22+b32+…+bn2＜1． 【考点】数列递推式；等差关系的确定；数列的求和． 【分析】（1）根据题中已知条件化简可得出 Sn 与 Sn﹣1 的关系，再求出 S1 的值即可证明 { }是等差数列； （2）根据（1）中求得的 Sn 与 Sn﹣1 的关系先求出数列{ }的通项公式，然后分别讨论 n=1 和 n≥2 时 an 的表达式； （3）根据（2）中求得的 an 的表达式即可求出 bn 的表达式，然后将 bn 的表达式代入 b22+b32+…+bn2 中，利用缩放法即可证明 b22+b32+…+bn2＜1． 【解答】解（1）∵﹣an=2SnSn﹣1， ∴﹣Sn+Sn﹣1=2SnSn﹣1（n≥2） Sn≠0，∴ ﹣ =2，又 = =2， ∴{ }是以 2 为首项，公差为 2 的等差数列． （2）由（1） =2+（n﹣1）2=2n， ∴Sn= 当 n≥2 时，an=Sn﹣Sn﹣1=﹣ n=1 时，a1=S1= ， ∴an= ； （3）由（2）知 bn=2（1﹣n）an= ∴b22+b32+…+bn2= + +…+ ＜ + +…+ =（1﹣ ）+（ ﹣ ）+…+（ ﹣ ）=1﹣ ＜1． 　 2017 年 1 月 11 日