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- 2021-06-17 发布
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2016-2017 学年湖南省永州市宁远一中高二(上)第一次月考数
学试卷(理科)(A 卷)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
1.不在 3x+2y<6 表示的平面区域内的一个点是( )
A.(0,0) B.(1,1) C.(0,2) D.(2,0)
2.在△ABC 中,A:B:C=4:1:1,则 a:b:c=( )
A. :1:1 B.2:1:1 C. :1:2 D.3:1:1
3.数列 3,5,9,17,33,…的通项公式 an 等于( )
A.2n B.2n+1 C.2n﹣1 D.2n+1
4.在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,若 ccos A=b,则△ABC( )
A.一定是锐角三角形 B.一定是钝角三角形
C.一定是直角三角形 D.一定是斜三角形
5.在等比数列{an}中,若 a3a5a7a9a11=243,则 的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.9
6.已知 a+b>0,b<0,那么 a,b,﹣a,﹣b 的大小关系是( )
A.a>b>﹣b>﹣a B.a>﹣b>﹣a>b C.a>﹣b>b>﹣a D.a>b>﹣a>﹣b
7.数列{an}满足 a1=1,an= (n≥2),则数列{an•an+1}的前 10 项和为( )
A. B. C. D.
8.设 A= + ,其中 a、b 是正实数,且 a≠b,B=﹣x2+4x﹣2,则 A 与 B 的大小关系是( )
A.A≥B B.A>B C.A<B D.A≤B
9.若△ABC 的内角 A、B、C 所对的边 a、b、c 满足(a+b)2﹣c2=4,且 C=60°,则△ABC
的面积为( )
A. B.2 ﹣3 C. D.
10.已知{an}为等差数列,其公差为﹣2,且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项,Sn 为{an}的前 n 项
和,n∈N*,则 S10 的值为( )
A.﹣110 B.﹣90 C.90 D.110
11.已知 m>n>0,则 m+ 的最小值为( )
A.1 B.2 C.4 D.8
12.设 x、y 满足约束条件 ,若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最大值
为 10,则 的最小值为( )
A. B.5 C.25 D.24
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13.函数 y= 的定义域是 .
14.设等比数列{an}的公比 q=2,前 n 项和为 Sn,则 = .
15.一船以每小时 15km 的速度向东航行,船在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东 60°处;行驶
4h 后,船到达 C 处,看到这个灯塔在北偏东 15°处.这时船与灯塔的距离为 km.
16.观察下面的数阵,则第 20 行第 9 个数是 .
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)
17.已知 a、b、c 分别是△ABC 的三个内角 A、B、C 的对边,若△ABC 面积为 ,c=2,
A=60°,求 a,b 及角 C 的值.
18.已知等差数列{an}中,a2=9,a5=21.
(1)求{an}的通项公式;
(2)令 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
19.已知函数 f(x)=2 sin xcos x﹣3sin2x﹣cos2x+2.
(1)求 f(x)的最大值;
(2)若△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足 = ,sin(2A+C)=2sin
A+2sin Acos(A+C),求 f(B)的值.
20.舒城某运输公司接受了向我县偏远地区每天送至少 180t 生活物资的任务.该公司有 8
辆载重 6t 的 A 型卡车与 4 辆载重为 10 t 的 B 型卡车,有 10 名驾驶员,每辆卡车每天往返
的次数为 A 型卡车 4 次,B 型卡车 3 次;每辆卡车每天往返的成本费 A 型为 320 元,B 型
为 504 元.请为公司安排一下,应如何调配车辆,才能使公司所花的成本费最低?若只安排
A 型或 B 型卡车,所花的成本费分别是多少?
21.已知关于 x 的不等式 tx2﹣6x+t2<0 的解集是(﹣∞,a)∪(1,+∞);函数 f(x)=﹣ tx2+
ax﹣8.
(1)求 a 和 t 的值;
(2)若对一切 x>2,均有 f(x)≥(m+2)x﹣m﹣15 成立,求实数 m 的取值范围.
22.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 an+2Sn•Sn﹣1=0(n≥2),a1= .
(1)求证:{ }是等差数列;
(2)求 an 表达式;
(3)若 bn=2(1﹣n)an(n≥2),求证:b22+b32+…+bn2<1.
2016-2017 学年湖南省永州市宁远一中高二(上)第一次
月考数学试卷(理科)(A 卷)
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
1.不在 3x+2y<6 表示的平面区域内的一个点是( )
A.(0,0) B.(1,1) C.(0,2) D.(2,0)
【考点】二元一次不等式(组)与平面区域.
【分析】把选项中的每个点的坐标分别代入 3x+2y,看点的坐标是否满足不等式即可
【解答】解:将点(0,0)点代入 3x+2y<6,得 0<6,显然成立,点(0,0)在不等式表
示的区域内
将点(1,1)代入 3x+2y<6,得 5<6,显然成立,点(1,1)在不等式表示的区域内
将点(0,2)代入 3x+2y<6,得 4<6,显然成立,点(0,2)在不等式表示的区域内
将点(2,0)代入 3x+2y<6,得 6=6,点(2,0)不在不等式表示的区域内
故选 D
2.在△ABC 中,A:B:C=4:1:1,则 a:b:c=( )
A. :1:1 B.2:1:1 C. :1:2 D.3:1:1
【考点】正弦定理.
【分析】通过三角形的角的比,求出三个角的大小,利用正弦定理求出 a、b、c 的比即可
【解答】解:∵A+B+C=π,A:B:C=4:1:1,
∴A=120°,B=C=30°,
由正弦定理可知:a:b:c=sinA:sinB:sinC= = :1:1.
故选:A.
3.数列 3,5,9,17,33,…的通项公式 an 等于( )
A.2n B.2n+1 C.2n﹣1 D.2n+1
【考点】数列的概念及简单表示法.
【分析】研究数列中各项的数与项数的关系,利用归纳法得出结论,再根据所得的结论比对
四个选项,选出正确答案.
【解答】解:∵3=21+1,5=22+1,9=23+1,17=24+1,33=25+1,…
∴an=2n+1
故选 B
4.在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,若 ccos A=b,则△ABC( )
A.一定是锐角三角形 B.一定是钝角三角形
C.一定是直角三角形 D.一定是斜三角形
【考点】正弦定理.
【分析】已知等式利用正弦定理化简,再利用两角和与差的正弦函数公式变形,得到 cosC
为 0,确定出 C 为直角,即可得到三角形为直角三角形.
【解答】解:已知等式 ccosA=b,利用正弦定理化简得:sinCcosA=sinB=sin(A+C)
=sinAcosC+cosAsinC,
整理得:sinAcosC=0,
∵sinA≠0,∴cosC=0,即 C=90°,
则△ABC 为直角三角形.
故选:C.
5.在等比数列{an}中,若 a3a5a7a9a11=243,则 的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.9
【考点】等比数列的通项公式.
【分析】由 a3a5a7a9a11=243,可得 =243,而 =a7 即可得出.
【解答】解:∵a3a5a7a9a11=243,∴ =243,
∴a7=3.
则 =a7=3.
故选:C.
6.已知 a+b>0,b<0,那么 a,b,﹣a,﹣b 的大小关系是( )
A.a>b>﹣b>﹣a B.a>﹣b>﹣a>b C.a>﹣b>b>﹣a D.a>b>﹣a>﹣b
【考点】不等式比较大小.
【分析】法一:特殊值法,令 a=2,b=﹣1 代入检验即可.
法二:利用不等式的性质,及不等式的符号法则,先把正数的大小比较出来,再把负数的大
小比较出来.
【解答】解:法一:∵A、B、C、D 四个选项中,每个选项都是唯一确定的答案,∴可用特
殊值法.
令 a=2,b=﹣1,则有 2>﹣(﹣1)>﹣1>﹣2,
即 a>﹣b>b>﹣a.
法二:∵a+b>0,b<0,
∴a>﹣b>0,﹣a<b<0,
∴a>﹣b>0>b>﹣a,
即 a>﹣b>b>﹣a.
7.数列{an}满足 a1=1,an= (n≥2),则数列{an•an+1}的前 10 项和为( )
A. B. C. D.
【考点】数列递推式;数列的求和.
【分析】利用递推关系式,判断数列{ }是以 1 为首项,1 为公差的等差数列,求出通项
公式,然后化简所求的思路的通项公式,利用裂项法求解即可.
【解答】解:数列{an}满足 a1=1,an= (n≥2),依题意 an>0 且 n≥2 时,
an= ,可得 ,
∴数列{ }是以 1 为首项,1 为公差的等差数列,
∴ =n,即 an= ,∴an•an+1 = ,
∴S10=1 = .
故选 B.
8.设 A= + ,其中 a、b 是正实数,且 a≠b,B=﹣x2+4x﹣2,则 A 与 B 的大小关系是( )
A.A≥B B.A>B C.A<B D.A≤B
【考点】不等式比较大小.
【分析】根据基本不等式得到 A 的范围,再根据二次函数的性质得到 B 的范围,即可比较
大小.
【解答】解:∵a,b 都是正实数,且 a≠b,即 A>2,
B=﹣x2+4x﹣2=﹣(x2﹣4x+4)+2=﹣(x﹣2)2+2≤2,即 B≤2,
∴A>B.
故选:B.
9.若△ABC 的内角 A、B、C 所对的边 a、b、c 满足(a+b)2﹣c2=4,且 C=60°,则△ABC
的面积为( )
A. B.2 ﹣3 C. D.
【考点】余弦定理.
【分析】由已知利用余弦定理可求 ab 的值,进而利用特殊角的三角函数值,三角形面积公
式即可计算得解.
【解答】解:由已知得 a2+b2﹣c2+2ab=4,
由于 C=60°,
所以 cosC= = ,即 a2+b2﹣c2=ab,
因此 ab+2ab=4,ab= ,
所以:S△ABC= absinC= = .
故选:A.
10.已知{an}为等差数列,其公差为﹣2,且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项,Sn 为{an}的前 n 项
和,n∈N*,则 S10 的值为( )
A.﹣110 B.﹣90 C.90 D.110
【考点】等差数列的前 n 项和;等比数列的性质.
【分析】通过 a7 是 a3 与 a9 的等比中项,公差为﹣2,求出
【解答】解:a7 是 a3 与 a9 的等比中项,公差为﹣2,所以 a72=a3•a9,
∵{an}公差为﹣2,
∴a3=a7﹣4d=a7+8,a9=a7+2d=a7﹣4,
所以 a72=(a7+8)(a7﹣4),所以 a7=8,所以 a1=20,
所以 S10= =110
故选 D
11.已知 m>n>0,则 m+ 的最小值为( )
A.1 B.2 C.4 D.8
【考点】一元二次不等式的应用.
【分析】由m>n>0 知 m﹣n>0,m+ =m﹣n+ ,利用基本不等式,即可求
m+ 的最小值.
【解答】解:由 m>n>0 知 m﹣n>0,m+ =m﹣n+ ≥2
=4,当且仅当 m﹣n=2 时取等号.
∴当 m﹣n=2 时,m+ 的最小值为 4.
故选 C.
12.设 x、y 满足约束条件 ,若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最大值
为 10,则 的最小值为( )
A. B.5 C.25 D.24
【考点】简单线性规划.
【分析】作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识先求出 a,b 的关系,然后利用
基本不等式求 的最小值.
【解答】解:由 z=ax+by(a>0,b>0)得 y=﹣ x+ ,
作出可行域如图:
∵a>0,b>0,
∴直线 y=﹣ x+ 的斜率为负,且截距最大时,z 也最大.
平移直线 y=﹣ x+ ,
,由图象可知当 y=﹣ x+ 经过点 A 时,
直线的截距最大,此时 z 也最大.
由 ,解得 ,即 A(4,6).
此时 z=4a+6b=10,
即 2a+3b﹣5=0,
即 =1,
则 的最小值为( )( )= ≥ +2× =5,
当且仅当 ,即 a=b=1 时,取等号,
故 的最小值为 5;
故选:B.
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13.函数 y= 的定义域是 [﹣3,1] .
【考点】函数的定义域及其求法.
【分析】根据被开方数不小于 0,构造不等式,解得答案.
【解答】解:由 3﹣2x﹣x2≥0 得:x2+2x﹣3≤0,
解得:x∈[﹣3,1],
故答案为:[﹣3,1]
14.设等比数列{an}的公比 q=2,前 n 项和为 Sn,则 = .
【考点】等比数列的前 n 项和.
【分析】由等比数列的通项公式及求和公式可得 = = 代入可求.
【解答】解:∵q=2,
∴ = = = = .
故答案为: .
15.一船以每小时 15km 的速度向东航行,船在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东 60°处;行驶
4h 后,船到达 C 处,看到这个灯塔在北偏东 15°处.这时船与灯塔的距离为 30
km.
【考点】余弦定理;正弦定理.
【分析】根据题意画出相应的图形,求出∠B 与∠BAC 的度数,再由 AC 的长,利用正弦
定理即可求出 BC 的长.
【解答】解:根据题意画出图形,如图所示,可得出∠B=75°﹣30°=45°,
在△ABC 中,根据正弦定理得: = ,即 = ,
∴BC=30 km,
则这时船与灯塔的距离为 30 km.
故答案为:30
16.观察下面的数阵,则第 20 行第 9 个数是 392 .
【考点】等差数列的性质.
【分析】通过观察这个数列知,a1=1,a2=3,a3=5,…,an=2n﹣1,它们成等差数列,那么
可知前 20 行的个数,第 20 行第 1 个数为 400,可得第 9 个数.
【解答】解:由题得每一行数字个数分别为 a1=1,a2=3,a3=5,…,an=2n﹣1,
它们成等差数列,则前 20 行总共有 = =400 个数,
在观察:数阵成 S 型,奇数是左边大,右边小,偶数相反.前 20 行是偶数行,
因此第 20 行第 1 个数为 400,第 9 个数即为 392.
故答案为:392.
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)
17.已知 a、b、c 分别是△ABC 的三个内角 A、B、C 的对边,若△ABC 面积为 ,c=2,
A=60°,求 a,b 及角 C 的值.
【考点】三角形中的几何计算.
【分析】由已知结合 可求b,然后由余弦定理可得,a2=b2+c2﹣2bccos60°
可求,进而可求 C
【解答】解:∵c=2,A=60°
又
∴
∴b=1
由余弦定理可得,a2=b2+c2﹣2bccos60°=4 =3
∴
∵a2+b2=c2
∴C=90°
18.已知等差数列{an}中,a2=9,a5=21.
(1)求{an}的通项公式;
(2)令 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
【考点】等差数列的通项公式;等比数列的前 n 项和.
【分析】(1)设出数列的公差,分别根据等差数列的通项公式表示出 a2 和 a5 联立方程求得
和 a1 和 d,则数列的通项公式可得.
(2)把(1)中求得的 an 代入 bn=2an 中求得 bn,判断出数列{bn}为等比数列,进而利用等
比数列的求和公式求得前 n 项的和.
【解答】解:(1)设数列{an}的公差为 d,由题意得
解得 a1=5,d=4,
∴{an}的通项公式为 an=4n+1.
(2)由 an=4n+1 得
bn=24n+1,
∴{bn}是首项为 b1=25,公比 q=24 的等比数列.
∴Sn= .
19.已知函数 f(x)=2 sin xcos x﹣3sin2x﹣cos2x+2.
(1)求 f(x)的最大值;
(2)若△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足 = ,sin(2A+C)=2sin
A+2sin Acos(A+C),求 f(B)的值.
【考点】余弦定理;三角函数的最值.
【分析】(1)利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得 f(x)=2sin(2x+ ),利
用正弦函数的性质即可求得 f(x)的最大值.
(2)由三角函数恒等变换的应用化简得 sin C=2sin A,由正弦定理得 c=2a.由余弦定理可
求 cosA 的值,进而可求 B,代入即可得解 f(B)的值.
【解答】解:(1)∵f(x)= sin 2x﹣3sin2x﹣cos2x+2(sin2x+cos2x)
= sin 2x+cos2x﹣sin2x
= sin 2x+cos 2x
=2sin(2x+ ).
∴f(x)的最大值是 2.
(2)由 sin(2A+C)=2sin A+2sin Acos(A+C),得:
sin Acos (A+C)+cos Asin(A+C)=2sin A+2sin Acos (A+C);
化简得 sin C=2sin A,
由正弦定理得 c=2a.又 b= a,
由余弦定理得:a2=b2+c2﹣2bccos A=3a2+4a2﹣4 a2cos A,
∴cosA= ,∴A= ,B= ,C= ,
∴f(B)=f( )=2sin =1.
20.舒城某运输公司接受了向我县偏远地区每天送至少 180t 生活物资的任务.该公司有 8
辆载重 6t 的 A 型卡车与 4 辆载重为 10 t 的 B 型卡车,有 10 名驾驶员,每辆卡车每天往返
的次数为 A 型卡车 4 次,B 型卡车 3 次;每辆卡车每天往返的成本费 A 型为 320 元,B 型
为 504 元.请为公司安排一下,应如何调配车辆,才能使公司所花的成本费最低?若只安排
A 型或 B 型卡车,所花的成本费分别是多少?
【考点】简单线性规划的应用.
【分析】设每天应派出 A 型 x 辆、B 型车 y 辆,根据条件列出不等式组,即得线性约束条
件,列出目标函数,画出可行域求解.
【解答】解:设每天应派出 A 型 x 辆、B 型车 y 辆,则 x,y 满足的条件为:公司总成本为
z=320x+504y
满足约束条件的可行域 如图示:
由图可知,当 x=7.5,y=0 时,z 有最小值,但是(7.5,0)不是整点,目标函数向上平移过
(8,0)时,z=320×8+504×0=2560 有最小值,最小值为 2560 元;
即当每天应派出 A 型车 8 辆、B 型车 0 辆,能使公司总成本最低,最低成本为 2560 元.
只安排 A 型或 B 型卡车,所花的成本费分别: 元,
元.
21.已知关于 x 的不等式 tx2﹣6x+t2<0 的解集是(﹣∞,a)∪(1,+∞);函数 f(x)=﹣
tx2+ ax﹣8.
(1)求 a 和 t 的值;
(2)若对一切 x>2,均有 f(x)≥(m+2)x﹣m﹣15 成立,求实数 m 的取值范围.
【考点】函数恒成立问题.
【分析】(1)利用不等式的解集,列出不等式组,即可求 a 和 t 的值;
(2)通过对一切 x>2,均有 f(x)≥(m+2)x﹣m﹣15 成立,分离变量,利用基本不等
式求出最值,然后求实数 m 的取值范围.
【解答】解:(1)依题意可得 ,解得 t=﹣3,a=﹣3.
(2)由(1)f(x)=x2﹣2x﹣8.当 x>2 时,f(x)≥(m+2)x﹣m﹣15 恒成立,
∴x2﹣2x﹣8≥(m+2)x﹣m﹣15,即 x2﹣4x+7≥m(x﹣1).∴对一切 x>2,均有不等式
≥m 成立.
而 =(x﹣1)+ ﹣2≥2 ﹣2=2.(当且仅当 x﹣1= 即
x=3 时等号成立)
∴实数 m 的取值范围是(﹣∞,2].
22.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 an+2Sn•Sn﹣1=0(n≥2),a1= .
(1)求证:{ }是等差数列;
(2)求 an 表达式;
(3)若 bn=2(1﹣n)an(n≥2),求证:b22+b32+…+bn2<1.
【考点】数列递推式;等差关系的确定;数列的求和.
【分析】(1)根据题中已知条件化简可得出 Sn 与 Sn﹣1 的关系,再求出 S1 的值即可证明
{ }是等差数列;
(2)根据(1)中求得的 Sn 与 Sn﹣1 的关系先求出数列{ }的通项公式,然后分别讨论 n=1
和 n≥2 时 an 的表达式;
(3)根据(2)中求得的 an 的表达式即可求出 bn 的表达式,然后将 bn 的表达式代入
b22+b32+…+bn2 中,利用缩放法即可证明 b22+b32+…+bn2<1.
【解答】解(1)∵﹣an=2SnSn﹣1,
∴﹣Sn+Sn﹣1=2SnSn﹣1(n≥2)
Sn≠0,∴ ﹣ =2,又 = =2,
∴{ }是以 2 为首项,公差为 2 的等差数列.
(2)由(1) =2+(n﹣1)2=2n,
∴Sn=
当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=﹣
n=1 时,a1=S1= ,
∴an= ;
(3)由(2)知 bn=2(1﹣n)an=
∴b22+b32+…+bn2= + +…+ < + +…+
=(1﹣ )+( ﹣ )+…+( ﹣ )=1﹣ <1.
2017 年 1 月 11 日