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  • 2021-06-17 发布

数学卷·2018届湖南省永州市宁远一中高二上学期第一次月考数学试卷(理科)(a卷)(解析版)

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2016-2017 学年湖南省永州市宁远一中高二(上)第一次月考数 学试卷(理科)(A 卷)   一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.不在 3x+2y<6 表示的平面区域内的一个点是(  ) A.(0,0) B.(1,1) C.(0,2) D.(2,0) 2.在△ABC 中,A:B:C=4:1:1,则 a:b:c=(  ) A. :1:1 B.2:1:1 C. :1:2 D.3:1:1 3.数列 3,5,9,17,33,…的通项公式 an 等于(  ) A.2n B.2n+1 C.2n﹣1 D.2n+1 4.在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,若 ccos A=b,则△ABC(  ) A.一定是锐角三角形 B.一定是钝角三角形 C.一定是直角三角形 D.一定是斜三角形 5.在等比数列{an}中,若 a3a5a7a9a11=243,则 的值为(  ) A.1 B.2 C.3 D.9 6.已知 a+b>0,b<0,那么 a,b,﹣a,﹣b 的大小关系是(  ) A.a>b>﹣b>﹣a B.a>﹣b>﹣a>b C.a>﹣b>b>﹣a D.a>b>﹣a>﹣b 7.数列{an}满足 a1=1,an= (n≥2),则数列{an•an+1}的前 10 项和为(  ) A. B. C. D. 8.设 A= + ,其中 a、b 是正实数,且 a≠b,B=﹣x2+4x﹣2,则 A 与 B 的大小关系是(  ) A.A≥B B.A>B C.A<B D.A≤B 9.若△ABC 的内角 A、B、C 所对的边 a、b、c 满足(a+b)2﹣c2=4,且 C=60°,则△ABC 的面积为(  ) A. B.2 ﹣3 C. D. 10.已知{an}为等差数列,其公差为﹣2,且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项,Sn 为{an}的前 n 项 和,n∈N*,则 S10 的值为(  ) A.﹣110 B.﹣90 C.90 D.110 11.已知 m>n>0,则 m+ 的最小值为(  ) A.1 B.2 C.4 D.8 12.设 x、y 满足约束条件 ,若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最大值 为 10,则 的最小值为(  ) A. B.5 C.25 D.24   二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.函数 y= 的定义域是  . 14.设等比数列{an}的公比 q=2,前 n 项和为 Sn,则 =  . 15.一船以每小时 15km 的速度向东航行,船在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东 60°处;行驶 4h 后,船到达 C 处,看到这个灯塔在北偏东 15°处.这时船与灯塔的距离为  km. 16.观察下面的数阵,则第 20 行第 9 个数是  .   三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.已知 a、b、c 分别是△ABC 的三个内角 A、B、C 的对边,若△ABC 面积为 ,c=2, A=60°,求 a,b 及角 C 的值. 18.已知等差数列{an}中,a2=9,a5=21. (1)求{an}的通项公式; (2)令 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 19.已知函数 f(x)=2 sin xcos x﹣3sin2x﹣cos2x+2. (1)求 f(x)的最大值; (2)若△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足 = ,sin(2A+C)=2sin A+2sin Acos(A+C),求 f(B)的值. 20.舒城某运输公司接受了向我县偏远地区每天送至少 180t 生活物资的任务.该公司有 8 辆载重 6t 的 A 型卡车与 4 辆载重为 10 t 的 B 型卡车,有 10 名驾驶员,每辆卡车每天往返 的次数为 A 型卡车 4 次,B 型卡车 3 次;每辆卡车每天往返的成本费 A 型为 320 元,B 型 为 504 元.请为公司安排一下,应如何调配车辆,才能使公司所花的成本费最低?若只安排 A 型或 B 型卡车,所花的成本费分别是多少? 21.已知关于 x 的不等式 tx2﹣6x+t2<0 的解集是(﹣∞,a)∪(1,+∞);函数 f(x)=﹣ tx2+ ax﹣8. (1)求 a 和 t 的值; (2)若对一切 x>2,均有 f(x)≥(m+2)x﹣m﹣15 成立,求实数 m 的取值范围. 22.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 an+2Sn•Sn﹣1=0(n≥2),a1= . (1)求证:{ }是等差数列; (2)求 an 表达式; (3)若 bn=2(1﹣n)an(n≥2),求证:b22+b32+…+bn2<1.   2016-2017 学年湖南省永州市宁远一中高二(上)第一次 月考数学试卷(理科)(A 卷) 参考答案与试题解析   一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.不在 3x+2y<6 表示的平面区域内的一个点是(  ) A.(0,0) B.(1,1) C.(0,2) D.(2,0) 【考点】二元一次不等式(组)与平面区域. 【分析】把选项中的每个点的坐标分别代入 3x+2y,看点的坐标是否满足不等式即可 【解答】解:将点(0,0)点代入 3x+2y<6,得 0<6,显然成立,点(0,0)在不等式表 示的区域内 将点(1,1)代入 3x+2y<6,得 5<6,显然成立,点(1,1)在不等式表示的区域内 将点(0,2)代入 3x+2y<6,得 4<6,显然成立,点(0,2)在不等式表示的区域内 将点(2,0)代入 3x+2y<6,得 6=6,点(2,0)不在不等式表示的区域内 故选 D   2.在△ABC 中,A:B:C=4:1:1,则 a:b:c=(  ) A. :1:1 B.2:1:1 C. :1:2 D.3:1:1 【考点】正弦定理. 【分析】通过三角形的角的比,求出三个角的大小,利用正弦定理求出 a、b、c 的比即可 【解答】解:∵A+B+C=π,A:B:C=4:1:1, ∴A=120°,B=C=30°, 由正弦定理可知:a:b:c=sinA:sinB:sinC= = :1:1. 故选:A.   3.数列 3,5,9,17,33,…的通项公式 an 等于(  ) A.2n B.2n+1 C.2n﹣1 D.2n+1 【考点】数列的概念及简单表示法. 【分析】研究数列中各项的数与项数的关系,利用归纳法得出结论,再根据所得的结论比对 四个选项,选出正确答案. 【解答】解:∵3=21+1,5=22+1,9=23+1,17=24+1,33=25+1,… ∴an=2n+1 故选 B   4.在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,若 ccos A=b,则△ABC(  ) A.一定是锐角三角形 B.一定是钝角三角形 C.一定是直角三角形 D.一定是斜三角形 【考点】正弦定理. 【分析】已知等式利用正弦定理化简,再利用两角和与差的正弦函数公式变形,得到 cosC 为 0,确定出 C 为直角,即可得到三角形为直角三角形. 【解答】解:已知等式 ccosA=b,利用正弦定理化简得:sinCcosA=sinB=sin(A+C) =sinAcosC+cosAsinC, 整理得:sinAcosC=0, ∵sinA≠0,∴cosC=0,即 C=90°, 则△ABC 为直角三角形. 故选:C.   5.在等比数列{an}中,若 a3a5a7a9a11=243,则 的值为(  ) A.1 B.2 C.3 D.9 【考点】等比数列的通项公式. 【分析】由 a3a5a7a9a11=243,可得 =243,而 =a7 即可得出. 【解答】解:∵a3a5a7a9a11=243,∴ =243, ∴a7=3. 则 =a7=3. 故选:C.   6.已知 a+b>0,b<0,那么 a,b,﹣a,﹣b 的大小关系是(  ) A.a>b>﹣b>﹣a B.a>﹣b>﹣a>b C.a>﹣b>b>﹣a D.a>b>﹣a>﹣b 【考点】不等式比较大小. 【分析】法一:特殊值法,令 a=2,b=﹣1 代入检验即可. 法二:利用不等式的性质,及不等式的符号法则,先把正数的大小比较出来,再把负数的大 小比较出来. 【解答】解:法一:∵A、B、C、D 四个选项中,每个选项都是唯一确定的答案,∴可用特 殊值法. 令 a=2,b=﹣1,则有 2>﹣(﹣1)>﹣1>﹣2, 即 a>﹣b>b>﹣a. 法二:∵a+b>0,b<0, ∴a>﹣b>0,﹣a<b<0, ∴a>﹣b>0>b>﹣a, 即 a>﹣b>b>﹣a.   7.数列{an}满足 a1=1,an= (n≥2),则数列{an•an+1}的前 10 项和为(  ) A. B. C. D. 【考点】数列递推式;数列的求和. 【分析】利用递推关系式,判断数列{ }是以 1 为首项,1 为公差的等差数列,求出通项 公式,然后化简所求的思路的通项公式,利用裂项法求解即可. 【解答】解:数列{an}满足 a1=1,an= (n≥2),依题意 an>0 且 n≥2 时, an= ,可得 , ∴数列{ }是以 1 为首项,1 为公差的等差数列, ∴ =n,即 an= ,∴an•an+1 = , ∴S10=1 = . 故选 B.   8.设 A= + ,其中 a、b 是正实数,且 a≠b,B=﹣x2+4x﹣2,则 A 与 B 的大小关系是(  ) A.A≥B B.A>B C.A<B D.A≤B 【考点】不等式比较大小. 【分析】根据基本不等式得到 A 的范围,再根据二次函数的性质得到 B 的范围,即可比较 大小. 【解答】解:∵a,b 都是正实数,且 a≠b,即 A>2, B=﹣x2+4x﹣2=﹣(x2﹣4x+4)+2=﹣(x﹣2)2+2≤2,即 B≤2, ∴A>B. 故选:B.   9.若△ABC 的内角 A、B、C 所对的边 a、b、c 满足(a+b)2﹣c2=4,且 C=60°,则△ABC 的面积为(  ) A. B.2 ﹣3 C. D. 【考点】余弦定理. 【分析】由已知利用余弦定理可求 ab 的值,进而利用特殊角的三角函数值,三角形面积公 式即可计算得解. 【解答】解:由已知得 a2+b2﹣c2+2ab=4, 由于 C=60°, 所以 cosC= = ,即 a2+b2﹣c2=ab, 因此 ab+2ab=4,ab= , 所以:S△ABC= absinC= = . 故选:A.   10.已知{an}为等差数列,其公差为﹣2,且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项,Sn 为{an}的前 n 项 和,n∈N*,则 S10 的值为(  ) A.﹣110 B.﹣90 C.90 D.110 【考点】等差数列的前 n 项和;等比数列的性质. 【分析】通过 a7 是 a3 与 a9 的等比中项,公差为﹣2,求出 【解答】解:a7 是 a3 与 a9 的等比中项,公差为﹣2,所以 a72=a3•a9, ∵{an}公差为﹣2, ∴a3=a7﹣4d=a7+8,a9=a7+2d=a7﹣4, 所以 a72=(a7+8)(a7﹣4),所以 a7=8,所以 a1=20, 所以 S10= =110 故选 D   11.已知 m>n>0,则 m+ 的最小值为(  ) A.1 B.2 C.4 D.8 【考点】一元二次不等式的应用. 【分析】由m>n>0 知 m﹣n>0,m+ =m﹣n+ ,利用基本不等式,即可求 m+ 的最小值. 【解答】解:由 m>n>0 知 m﹣n>0,m+ =m﹣n+ ≥2 =4,当且仅当 m﹣n=2 时取等号. ∴当 m﹣n=2 时,m+ 的最小值为 4. 故选 C.   12.设 x、y 满足约束条件 ,若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最大值 为 10,则 的最小值为(  ) A. B.5 C.25 D.24 【考点】简单线性规划. 【分析】作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识先求出 a,b 的关系,然后利用 基本不等式求 的最小值. 【解答】解:由 z=ax+by(a>0,b>0)得 y=﹣ x+ , 作出可行域如图: ∵a>0,b>0, ∴直线 y=﹣ x+ 的斜率为负,且截距最大时,z 也最大. 平移直线 y=﹣ x+ , ,由图象可知当 y=﹣ x+ 经过点 A 时, 直线的截距最大,此时 z 也最大. 由 ,解得 ,即 A(4,6). 此时 z=4a+6b=10, 即 2a+3b﹣5=0, 即 =1, 则 的最小值为( )( )= ≥ +2× =5, 当且仅当 ,即 a=b=1 时,取等号, 故 的最小值为 5; 故选:B.   二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.函数 y= 的定义域是 [﹣3,1] . 【考点】函数的定义域及其求法. 【分析】根据被开方数不小于 0,构造不等式,解得答案. 【解答】解:由 3﹣2x﹣x2≥0 得:x2+2x﹣3≤0, 解得:x∈[﹣3,1], 故答案为:[﹣3,1]   14.设等比数列{an}的公比 q=2,前 n 项和为 Sn,则 =   . 【考点】等比数列的前 n 项和. 【分析】由等比数列的通项公式及求和公式可得 = = 代入可求. 【解答】解:∵q=2, ∴ = = = = . 故答案为: .   15.一船以每小时 15km 的速度向东航行,船在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东 60°处;行驶 4h 后,船到达 C 处,看到这个灯塔在北偏东 15°处.这时船与灯塔的距离为 30   km. 【考点】余弦定理;正弦定理. 【分析】根据题意画出相应的图形,求出∠B 与∠BAC 的度数,再由 AC 的长,利用正弦 定理即可求出 BC 的长. 【解答】解:根据题意画出图形,如图所示,可得出∠B=75°﹣30°=45°, 在△ABC 中,根据正弦定理得: = ,即 = , ∴BC=30 km, 则这时船与灯塔的距离为 30 km. 故答案为:30   16.观察下面的数阵,则第 20 行第 9 个数是 392 . 【考点】等差数列的性质. 【分析】通过观察这个数列知,a1=1,a2=3,a3=5,…,an=2n﹣1,它们成等差数列,那么 可知前 20 行的个数,第 20 行第 1 个数为 400,可得第 9 个数. 【解答】解:由题得每一行数字个数分别为 a1=1,a2=3,a3=5,…,an=2n﹣1, 它们成等差数列,则前 20 行总共有 = =400 个数, 在观察:数阵成 S 型,奇数是左边大,右边小,偶数相反.前 20 行是偶数行, 因此第 20 行第 1 个数为 400,第 9 个数即为 392. 故答案为:392.   三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.已知 a、b、c 分别是△ABC 的三个内角 A、B、C 的对边,若△ABC 面积为 ,c=2, A=60°,求 a,b 及角 C 的值. 【考点】三角形中的几何计算. 【分析】由已知结合 可求b,然后由余弦定理可得,a2=b2+c2﹣2bccos60° 可求,进而可求 C 【解答】解:∵c=2,A=60° 又 ∴ ∴b=1 由余弦定理可得,a2=b2+c2﹣2bccos60°=4 =3 ∴ ∵a2+b2=c2 ∴C=90°   18.已知等差数列{an}中,a2=9,a5=21. (1)求{an}的通项公式; (2)令 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 【考点】等差数列的通项公式;等比数列的前 n 项和. 【分析】(1)设出数列的公差,分别根据等差数列的通项公式表示出 a2 和 a5 联立方程求得 和 a1 和 d,则数列的通项公式可得. (2)把(1)中求得的 an 代入 bn=2an 中求得 bn,判断出数列{bn}为等比数列,进而利用等 比数列的求和公式求得前 n 项的和. 【解答】解:(1)设数列{an}的公差为 d,由题意得 解得 a1=5,d=4, ∴{an}的通项公式为 an=4n+1. (2)由 an=4n+1 得 bn=24n+1, ∴{bn}是首项为 b1=25,公比 q=24 的等比数列. ∴Sn= .   19.已知函数 f(x)=2 sin xcos x﹣3sin2x﹣cos2x+2. (1)求 f(x)的最大值; (2)若△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足 = ,sin(2A+C)=2sin A+2sin Acos(A+C),求 f(B)的值. 【考点】余弦定理;三角函数的最值. 【分析】(1)利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得 f(x)=2sin(2x+ ),利 用正弦函数的性质即可求得 f(x)的最大值. (2)由三角函数恒等变换的应用化简得 sin C=2sin A,由正弦定理得 c=2a.由余弦定理可 求 cosA 的值,进而可求 B,代入即可得解 f(B)的值. 【解答】解:(1)∵f(x)= sin 2x﹣3sin2x﹣cos2x+2(sin2x+cos2x) = sin 2x+cos2x﹣sin2x = sin 2x+cos 2x =2sin(2x+ ). ∴f(x)的最大值是 2. (2)由 sin(2A+C)=2sin A+2sin Acos(A+C),得: sin Acos (A+C)+cos Asin(A+C)=2sin A+2sin Acos (A+C); 化简得 sin C=2sin A, 由正弦定理得 c=2a.又 b= a, 由余弦定理得:a2=b2+c2﹣2bccos A=3a2+4a2﹣4 a2cos A, ∴cosA= ,∴A= ,B= ,C= , ∴f(B)=f( )=2sin =1.   20.舒城某运输公司接受了向我县偏远地区每天送至少 180t 生活物资的任务.该公司有 8 辆载重 6t 的 A 型卡车与 4 辆载重为 10 t 的 B 型卡车,有 10 名驾驶员,每辆卡车每天往返 的次数为 A 型卡车 4 次,B 型卡车 3 次;每辆卡车每天往返的成本费 A 型为 320 元,B 型 为 504 元.请为公司安排一下,应如何调配车辆,才能使公司所花的成本费最低?若只安排 A 型或 B 型卡车,所花的成本费分别是多少? 【考点】简单线性规划的应用. 【分析】设每天应派出 A 型 x 辆、B 型车 y 辆,根据条件列出不等式组,即得线性约束条 件,列出目标函数,画出可行域求解. 【解答】解:设每天应派出 A 型 x 辆、B 型车 y 辆,则 x,y 满足的条件为:公司总成本为 z=320x+504y 满足约束条件的可行域 如图示: 由图可知,当 x=7.5,y=0 时,z 有最小值,但是(7.5,0)不是整点,目标函数向上平移过 (8,0)时,z=320×8+504×0=2560 有最小值,最小值为 2560 元; 即当每天应派出 A 型车 8 辆、B 型车 0 辆,能使公司总成本最低,最低成本为 2560 元. 只安排 A 型或 B 型卡车,所花的成本费分别: 元, 元.   21.已知关于 x 的不等式 tx2﹣6x+t2<0 的解集是(﹣∞,a)∪(1,+∞);函数 f(x)=﹣ tx2+ ax﹣8. (1)求 a 和 t 的值; (2)若对一切 x>2,均有 f(x)≥(m+2)x﹣m﹣15 成立,求实数 m 的取值范围. 【考点】函数恒成立问题. 【分析】(1)利用不等式的解集,列出不等式组,即可求 a 和 t 的值; (2)通过对一切 x>2,均有 f(x)≥(m+2)x﹣m﹣15 成立,分离变量,利用基本不等 式求出最值,然后求实数 m 的取值范围. 【解答】解:(1)依题意可得 ,解得 t=﹣3,a=﹣3. (2)由(1)f(x)=x2﹣2x﹣8.当 x>2 时,f(x)≥(m+2)x﹣m﹣15 恒成立, ∴x2﹣2x﹣8≥(m+2)x﹣m﹣15,即 x2﹣4x+7≥m(x﹣1).∴对一切 x>2,均有不等式 ≥m 成立. 而 =(x﹣1)+ ﹣2≥2 ﹣2=2.(当且仅当 x﹣1= 即 x=3 时等号成立) ∴实数 m 的取值范围是(﹣∞,2].   22.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 an+2Sn•Sn﹣1=0(n≥2),a1= . (1)求证:{ }是等差数列; (2)求 an 表达式; (3)若 bn=2(1﹣n)an(n≥2),求证:b22+b32+…+bn2<1. 【考点】数列递推式;等差关系的确定;数列的求和. 【分析】(1)根据题中已知条件化简可得出 Sn 与 Sn﹣1 的关系,再求出 S1 的值即可证明 { }是等差数列; (2)根据(1)中求得的 Sn 与 Sn﹣1 的关系先求出数列{ }的通项公式,然后分别讨论 n=1 和 n≥2 时 an 的表达式; (3)根据(2)中求得的 an 的表达式即可求出 bn 的表达式,然后将 bn 的表达式代入 b22+b32+…+bn2 中,利用缩放法即可证明 b22+b32+…+bn2<1. 【解答】解(1)∵﹣an=2SnSn﹣1, ∴﹣Sn+Sn﹣1=2SnSn﹣1(n≥2) Sn≠0,∴ ﹣ =2,又 = =2, ∴{ }是以 2 为首项,公差为 2 的等差数列. (2)由(1) =2+(n﹣1)2=2n, ∴Sn= 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=﹣ n=1 时,a1=S1= , ∴an= ; (3)由(2)知 bn=2(1﹣n)an= ∴b22+b32+…+bn2= + +…+ < + +…+ =(1﹣ )+( ﹣ )+…+( ﹣ )=1﹣ <1.   2017 年 1 月 11 日