数学卷·2018届河南省信阳市第六高级中学高二12月月考文科数学试卷 （解析版） 14页

‎2016-2017学年河南省信阳市第六高级中学高二12月月考文科数学 一、选择题：共12题 ‎1．对于任意实数，以下四个命题中 ‎①若，则；     ②若，，则；‎ ‎③若，，则；④若，则.‎ 其中正确的有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎【答案】B ‎【解析】本题主要考查不等式的性质.可用特殊值进行验证.‎ ‎①，可得,根据不等式的性质可得，正确；‎ ‎②若，，根据同向不等式相加可得；正确；‎ ‎③中则不成立，错误；‎ ‎④中若,则不成立,错误;‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎2．已知等差数列的前13项的和为39，则 A.6 B.12 C.18 D.9‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题主要考查等差数列的的性质和前n项和公式的应用.‎ 根据题意可得 ‎,‎ ‎，‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎3．在中，若，，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为 A. B.2 C. D.4‎ ‎【答案】B ‎【解析】此题考查学生灵活运用正弦、余弦定理化简求值，灵活运用三角形的面积公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道中档题．‎ 由，得到,‎ 解得，‎ 根据余弦定理得：，解得 根据正弦定理得:解得，‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎4．已知的面积，则等于 A.-4 B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题考查了余弦定理、三角形面积计算公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎，面积，‎ ‎,‎ ‎，又，‎ 联立解得,‎ 故选D．‎ ‎ ‎ ‎5．已知，，点满足，则的最大值为 A.-5 B.-1 C.0 D.1‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题考查不等式组表示一个平面区域，并能找到这个平面区域，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量数量积的坐标运算，直线在y轴上的截距，线性规划的方法求最值．‎ 表示的平面区域D，如图中阴影部分所示，‎ ‎，点,‎ ‎；‎ ‎；‎ 表示直线在y轴上的截距，所以截距最大时z最大；‎ 如图所示，当该直线经过点时，截距最大，此时z最大；‎ 所以点代入直线即得．‎ 故选D．‎ ‎ ‎ ‎6．已知函数（且）的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为 A.3 B. C.4 D.8‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题考查了对数函数的性质和均值不等式等知识点，运用了整体代换思想，是高考考查的重点内容．‎ 时，‎ ‎∴函数（且）的图象恒过定点即，‎ 点A在直线上，‎ ‎，即，‎ ‎，‎ ‎，‎ 当且仅当时取等号．‎ 故选D．‎ ‎ ‎ ‎7．若是两个命题，则“为真命题”是“为假命题”的 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】本题主要考查复合命题的真假判断.‎ 由于为真命题，可得中至少有一个为真命题，‎ 可得中至少有一个是假命题；‎ 故为假命题.‎ 反之也成立；‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎8．函数的单调递增区间是 A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性.‎ ‎,‎ 令,‎ 解得,‎ 故函数的单调增区间为,‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎9．是定义在上的非负可导函数，且满足.对任意正数a，b，若，则必有 A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】构造函数F(x)＝xf(x)，则F′(x)＝xf′(x)＋f(x).‎ 由题设条件知F(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上单调递减.‎ 若a＜b，则F(a)＞F(b)，即af(a)＞bf(b).‎ 又f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，‎ 所以bf(a)＞af(a)＞bf(b)＞af(b).故选B.‎ ‎ ‎ ‎10．已知等差数列的前项和为，且满足，，则中最大的项为 A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题考查学生灵活运用等差数列的前n项和的公式化简求值，掌握等差数列的性质，属中档题．‎ 等差数列中，，,‎ 即,‎ ‎，‎ ‎∴等差数列为递减数列，‎ 故可知，，，为正，，为负；‎ 为正，为负，‎ ‎，，‎ 又∵‎ 中最大的项为,‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎11．曲线在点处的切线的斜率为 A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题主要考查利用导数的几何意义.‎ ‎,‎ ‎,‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎12．已知函数，，若，，，则实数的取值范围是 A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题考查的知识是指数函数以及对勾函数函数的图象和性质，考察导数的应用，函数的单调性问题，本题是一道中档题．‎ 当时，由得，，‎ 令，解得：，令，解得：，‎ ‎∴在单调递减，在递增，‎ ‎∴是函数的最小值，‎ 当时，为增函数，‎ 是函数的最小值，‎ 又，都，使得，‎ 可得在的最小值不小于在的最小值，‎ 即，解得：‎ 故选C．‎ 二、填空题：共4题 ‎13．若实数满足不等式组，且的最小值等于-2，则实数的值等于__________.‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．‎ 由，得，‎ 作出不等式对应的可行域，‎ 平移直线，‎ 由平移可知当直线经过点A时，‎ 直线的截距最小，此时z取得最小值为-2，即，‎ 由，解得,‎ 即，‎ 点A也在直线上，‎ 则，‎ 故答案为-1.‎ ‎ ‎ ‎14．设的内角所对的边长分别为，且，则的值为__________.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】本题主要考查正弦定理的应用和切化弦的基本应用．三角函数的公式比较多，要注意公式的记忆和熟练应用．‎ 由及正弦定理可得，‎ 即，‎ 即，‎ 即，因此，‎ 所以,‎ 故答案为4.‎ ‎ ‎ ‎15．设等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时，等于___________.‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】本题主要考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和公式化简求值，掌握等差数列的性质，是一道基础题．‎ 由，解得又，‎ 所以解得，‎ 则,‎ 所以,‎ 所以当时，取最小值．‎ 故答案为6.‎ ‎ ‎ ‎16．建造一个容积，深为长的游泳池，若池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则游泳池的最低总造价为__________元.‎ ‎【答案】1760‎ ‎【解析】本题是应用题，考查的是基本不等式的应用，使用时要注意“一正，二定，三相等”．‎ 设池底的一边长为米，另一边长为米，总造价为元，依题意有 ‎，①‎ ‎，②‎ 由①得，代入②得 ‎，‎ 当且仅当时取“=”号．‎ 所以当池底的两边长都为时才能使游泳池的总造价最低，最低的总造价为1760元．‎ 三、解答题：共6题 ‎17．已知命题方程有两个不等的负实根；方程无实根.若“或”为真，“且”为假，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】当为真时，有，‎ 当为真时，有，‎ ‎(1)当真假时:,解.‎ ‎(2)当假真,解得,‎ 综上所述，m的取值范围为 ‎【解析】本题考查命题复合真假的判断与运用，难点在于正确分析题意，转化为集合间的包含关系，综合可得答案．‎ 根据题意，首先求得为真时m的取值范围，再由题意中有且仅有一为真，一为假，分假真与真假两种情况分别讨论，最后综合可得答案．‎ ‎ ‎ ‎18．已知数列中，，，其前项和满足.‎ ‎（1）求证：数列为等差数列，并求的通项公式；‎ ‎（2）设为数列的前项和，求.‎ ‎【答案】（1）由已知，，且，‎ ‎∴数列是以为首项，公差为1的等差数列，∴.‎ ‎（2）,‎ ‎=.‎ ‎【解析】本题主要考查等差数列的概念以及利用裂项法求数列的前n项和.‎ ‎(1)根据与的关系，对递推公式进行变形，结合等差数列的定义可证明.‎ ‎(2)根据(1)中的通项公式，求出的通项公式，再利用裂项法进行求和.‎ ‎ ‎ ‎19．已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，且，，.‎ ‎（1）求数列与的通项公式；‎ ‎（2）求，的值.‎ ‎【答案】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由，得 ‎，，，由条件得方程组，‎ 故，.‎ ‎（2）①，‎ ‎②，‎ ‎①-②得，‎ ‎∴.‎ ‎【解析】本题考查等差数列和等比数列的综合问题，考查数列的求和，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎（1）直接设出公比和公差，根据条件求出公比和公差，即可求出通项；‎ ‎（2）借助于错位相减法求出的表达式.‎ ‎ ‎ ‎20．已知的图象经过点，且在处的切线方程是.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）求的单调递增区间.‎ ‎【答案】（1）的图象经过点，则，‎ ‎，，‎ 切点为，则的图象经过点，‎ 得，得，，‎ ‎.‎ ‎（2），，或，‎ 单调递增区间为，.‎ ‎【解析】本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，训练了利用导数求函数的单调区间，关键是明确导函数的符号与原函数单调性间的关系，是中档题．‎ ‎（Ⅰ）由函数f（x）的图象经过点求得c的值，求出函数f（x）的导函数，由在x=1处的切线方程是得到，，联立后进一步求得的值，则的解析式可求；‎ ‎（Ⅱ）直接由导函数大于0求解不等式得的单调递增区间．‎ ‎ ‎ ‎21．已知为的三内角，且其对边分别为，若.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，，求的面积.‎ ‎【答案】（1）∵，‎ ‎∴，又∵，∴.‎ ‎∵，∴.‎ ‎（2）由余弦定理，‎ 得，即，∴，‎ ‎∴.‎ ‎【解析】本题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．‎ ‎（1）已知等式左边利用两角和与差的余弦函数公式化简，求出的值，确定出的度数，即可求出的度数；‎ ‎（2）利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将与的值代入求出的值，再由的值，利用三角形面积公式即可求出三角形面积．‎ ‎ ‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（1）若，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）若函数的图象与函数的图象在区间上有公共点，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）的导数为，‎ 即有曲线在点处的切线斜率为，‎ 则曲线在点处的切线方程为，‎ 即为.‎ ‎（2）令，‎ 即有，即在上有实数解.‎ 令，，‎ 当时，，递减，‎ 当时，，递增，‎ 即有取得极小值，也为最小值，且为，‎ 即有，‎ 则的取值范围是.‎ ‎【解析】本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间、极值和最值，主要考查导数的几何意义，运用点斜式方程和参数分离法是解题的关键．‎ ‎（1）求出时的导数，求得切线的斜率，由点斜式方程即可得到切线的方程；‎ ‎（2）令，即有，即在上有实数解．令，求出导数，求得单调区间和极值，也为最值，即可得到的范围．‎ ‎ ‎