高中数学（人教A版）必修5能力强化提升及单元测试：3-3-2 4页

3.3.2　简单的线性规划问题 双基达标　(限时 20 分钟) 1．(2010·福建高考)若 x，y∈R，且Error!且 z＝x＋2y 的最小值等于 (　　)． A．2 B．3 C．5 D．9 解析　可行域如图阴影部分所示，则当直线 x＋2y －z＝0 经过点 M(1,1)时，z＝x＋2y 取得最小值， 为 1＋2＝3. 答案　B 2．设 x，y 满足Error!则 z＝x＋y (　　)． A．有最小值 2，最大值 3 B．有最小值 2，无最大值 C．有最大值 3，无最小值 D．既无最小值，也无最大值 解析　作出不等式组表示的平面区域，即可行域， 如图中阴影部分所示．由 z＝x＋y，得 y＝－x＋z， 令 z＝0，作直线 l：y＝－x.当平移直线 l 至经过 A(2,0) 时，z 取得最小值，zmin＝2，由图可知无最大值．故 选 B. 答案　B 3．已知点 P(x，y)的坐标满足条件Error!，则 x2＋y2 的最大值为 (　　)． A. 10 B．8 C．16 D．10 解析　画出不等式组对应的可行域如图所示：易得 A(1,1)， |OA| ＝ 2，B(2,2)，|OB|＝2 2，C(1,3)，|OC|＝ 10. ∴(x2＋y2)max＝|OC|2＝( 10)2＝10. 答案　D 4．已知Error!，则 z＝3x－y 的最大值为________． 解析　画出可行域如图所示，当直线 z＝3x－y 过点(3,0)时，zmax＝9. 答案　9 5．已知实数 x，y 满足Error!则y x的最大值为________． 解析　画出不等式组 Error!对应的平面区域 Ω， y x＝y－0 x－0表示平面区域 Ω 上的点 P(x，y)与原点的连线的斜 率．A(1,2)，B(3,0)，∴0≤y x≤2. 答案　2 6．已知 f(x)＝3x－y，且－1≤x＋y≤1,1≤x－y≤3，求 f(x)的取值范围． 解　作出不等式组 Error!表示的平面区域，即可行域，如图中 阴影部分所示．在可行域内平移直线 l：3x－y＝0，当直 线 l 向下平移过 B(0，－1)，即直线 x－y－1＝0 与 x＋y ＋1＝0 的交点时，f(x)min＝3×0＋1＝1；当直线 l 向下 平 移过 A(2，－1)即直线 x－y－3＝0 与 x＋y－1＝0 的交点时，f(x)max＝2×3＋1＝7， ∴1≤f(x)≤7. 综合提高　(限时 25 分钟) 7．如图所示的坐标平面的可行域内(包括边界)，若使目标函数 z＝ax＋y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个，则 a 的值 为 (　　)． A.1 4 B.3 5 C．4 D.5 3 解析　由 y＝－ax＋z 知当－a＝kAC 时，最优解有无穷多个．∵kAC＝－3 5，∴a＝3 5. 答案　B 8．已知 x，y 满足Error!且 z＝2x＋4y 的最小值为－6，则常数 k＝ (　　)． A．2 B．9 C．3 10 D．0 解析　由题意知，当直线 z＝2x＋4y 经过直线 x＝3 与 x＋y＋k＝0 的交点(3，－3－k)时， z 最小，所以－6＝2×3＋4×(－3－k)，解得 k＝0.故选 D. 答案　D 9．若实数 x，y 满足Error!则 z＝3x＋2y 的最小值是________． 解析　由不等式组得可行域是以 A(0,0)，B(0,1)，C(－0.5,0.5)为顶点的三角形，易知当 x ＝0，y＝0 时，z′＝x＋2y 取最小值 0.所以 z＝3x＋2y 的最小值是 1. 答案　1 10．某公司租赁甲、乙两种设备生产 A，B 两类产品，甲种设备每天能生产 A 类产品 5 件和 B 类产品 10 件，乙种设备每天能生产 A 类产品 6 件和 B 类产品 20 件．已知设备甲每天 的租赁费为 200 元，设备乙每天的租赁费为 300 元，现该公司至少要生产 A 类产品 50 件，B 类产品 140 件，所需租赁费最少为________元． 解析　设需租赁甲种设备 x 台，乙种设备 y 台， 则Error! 目标函数为 z＝200x＋300y. 作出其可行域，易知当 x＝4，y＝5 时，z＝200x＋300y 有最小值 2 300 元． 答案　2 300 11．某企业生产 A，B 两种产品，生产每吨产品所需的劳动力和煤、电耗如下表： 已知生产每吨 A 产品的利润是 7 万元，生产每吨 B 产品的利润是 12 万元，现因条件限 制，该企业仅有劳动力 300 个，煤 360 t，并且供电局只能供电 200 kW，试问该企业生 产 A，B 两种产品各多少吨，才能获得最大利润？ 产品品种 劳动力(个) 煤(t) 电(kW) A 产品 3 9 4 B 产品 10 4 5 解　设生产 A，B 两种产品各为 x，y 吨，利润为 z 万元，则 Error! z＝7x＋12y. 作出可行域(如图)，作出在一组平行直线 7x＋ 12y＝t(t 为参数)，此直线经过 M(20,24)，故 z 的最优解为(20,24)，z 的最大值为 7×20＋ 12×24＝428(万元)． 12．(创新拓展)(2011·三明高二检测)制订投资计划 时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑 可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最 大盈利率分别为 100%和 50%，可能的最大亏损率分别为 30%和 10%，投资人计划投资金 额不超过 10 万元，要求确保可能的资金亏损不超过 1.8 万元，问投资人对甲、乙两个项 目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？ 解　设投资人分别用 x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目， 由题意知 Error! 目标函数 z＝x＋0.5y， 作出平面区域如图所示： 作直线 l0：x＋0.5y＝0，即 2x＋y＝0.并作平行于直 线 l0 的一组直线 l：z＝x＋0.5y，当 l 过点 M 时，z 最大． 由Error!得 M(4,6)． 此时 zmax＝1×4＋0.5×6＝7(万元)． 所以投资人用 4 万元投资甲项目、6 万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过 1.8 万元的 前提下，使可能的盈利最大．