西藏自治区山南市第三高级中学2020届高三第三次模拟考试前自查自测调研考试数学（理）三试卷 22页

理 科 数 学（三）‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，‎ 只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．设（是虚数单位），则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知等差数列的前项和为，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．空气质量指数是反映空气质量状况的指数，指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表：‎ 如图是某市月日日指数变化趋势：‎ 下列说法错误的是（ ）‎ A．这天中指数值的中位数略高于 B．这天中的中度污染及以上的天数占 C．该市月的前半个月的空气质量越来越好 D．总体来说，该市月上旬的空气质量比中旬的空质量好 ‎5．已知函数的图象如图所示，则可以为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．若两个非零向量、满足，且，则与夹角的余弦值 为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知为等比数列，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知、分别是双曲线（，）的左、右焦点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，分别交两条渐近线于点、，过点作轴的垂线，垂足恰为，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．过抛物线的焦点的直线与抛物线交于、两点，且，抛物线的准线与轴交于，的面积为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知函数（，，），将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的部分图象如图所示，则是的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎12．年末，武汉出现新型冠状病毒肺炎（）疫情，并快速席卷我国其他地区，传播速度很快．因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，所以目前没有特异治疗方法，防控难度很大．武汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控力最大，武汉市从月日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人．在排查期间，一户口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”．设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为且相互独立，该家庭至少检测了个人才能确定为“感染高危户”的概率为，当时，最大，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．若、满足约束条件，则的最小值为 ．‎ ‎14．已知函数为奇函数，则 ．‎ ‎15．五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”．中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，如果把这五个音阶全用上，排成一个五个音阶的音序，且要求宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧，可排成 种不同的音序．‎ ‎16．在三棱锥中，，三角形为等边三角形，二面角的余弦值为，当三棱锥的体积最大值为时，三棱锥的外接球的表面积为 ．‎ 三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）如图，在中，，，点在线段上．‎ ‎（1），求的长；‎ ‎（2）若，，求的面积．‎ ‎18．（12分）如图，在四棱柱中，底面为菱形，．‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若，是等边三角形，求二面角的余弦值．‎ ‎19．（12分）某工厂生产-种产品的标准长度为，只要误差的绝对值不超过就认为合格，工厂质检部抽检了某批次产品件，检测其长度，绘制条形统计图如图：‎ ‎（1）估计该批次产品长度误差绝对值的数学期望；‎ ‎（2）如果视该批次产品样本的频率为总体的概率，要求从工厂生产的产品中随机抽取件，假设其中至少有件是标准长度产品的概率不小于时，该设备符合生产要求现有设备是否符合此要求？若不符合此要求，求出符合要求时，生产一件产品为标准长度的概率的最小值．‎ ‎20．（12分）已知椭圆经过点，离心率为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点的直线交椭圆于、两点，若，在线段上取点，使，求证：点在定直线上．‎ ‎21．（12分）设函数，是函数的导数．‎ ‎（1）若，证明：在区间上没有零点；‎ ‎（2）在上恒成立，求的取值范围．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ 在直角坐标系中，倾斜角为的直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线与曲线交于两点，且，求直线的倾斜角．‎ ‎23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】‎ 已知函数．‎ ‎（1）求的最小值；‎ ‎（2）若不等式的解集为，且，求的值 理 科 数 学（三）答 案 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，‎ 只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．【答案】B ‎【解析】∵，而，‎ ‎∴，故选B．‎ ‎2．【答案】A ‎【解析】∵，∴，故选A．‎ ‎3．【答案】C ‎【解析】设等差数列的首项为，公差为，‎ 则，解得，，‎ ‎∴，即有，故选C．‎ ‎4．【答案】C ‎【解析】对A，因为第天与第天指数值都略高，所以中位数略高于，正确；‎ 对B，中度污染及以上的有第，，，，天，共天占，正确；‎ 对C，由图知，前半个月中，前天的空气质量越来越好，后天该市的空气质量越来越差，错误；‎ 对D，由图知，月上旬大部分指数在以下，月中旬大部分指数在以上，‎ 所以正确，‎ 故选C．‎ ‎5．【答案】A ‎【解析】首先对个选项进行奇偶性判断，可知，为偶函数，不符合题意，排除B；‎ 其次，在剩下的个选项，对其在上的零点个数进行判断，在上无零点，不符合题意，排除D；‎ 然后，对剩下的个选项，进行单调性判断，在上单调递减，不符合题意，‎ 排除C，‎ 故选A．‎ ‎6．【答案】A ‎【解析】设平面向量与的夹角为，‎ ‎∵，可得，‎ 在等式两边平方，得，‎ 化简得，‎ 故选A．‎ ‎7．【答案】C ‎【解析】∵，∴，‎ 又，可解得或，‎ 设等比数列的公比为，‎ 则当时，，∴；‎ 当时，，∴，‎ 故选C．‎ ‎8．【答案】B ‎【解析】设点位于第二象限，由于轴，‎ 则点的横坐标为，纵坐标为，即点，‎ 由题意可知，直线与直线垂直，，‎ ‎∴，‎ 因此，双曲线的离心率为，故选B．‎ ‎9．【答案】D ‎【解析】∵，即，‎ ‎，即，‎ ‎，即，‎ ‎∴，，即，‎ ‎∵，即，‎ ‎∴，‎ 综上，，故选D．‎ ‎10．【答案】B ‎【解析】设点、，并设直线的方程为，‎ 将直线的方程与抛物线方程联立，消去，‎ 得，‎ 由韦达定理得，，‎ ‎，，‎ ‎∵，∴，∴，∴，‎ 可得，，‎ 抛物线的准线与轴交于，‎ 的面积为，解得，‎ 则抛物线的方程为，‎ 所以，故选B．‎ ‎11．【答案】B ‎【解析】设，根据图象可知，，，‎ 再由，取，∴．‎ 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，‎ ‎∴，‎ ‎，，‎ 令，则，‎ 显然，，‎ ‎∴是的必要不充分条件，故选B．‎ ‎12．【答案】A ‎【解析】设事件：检测个人确定为“感染高危户”，‎ 事件：检测个人确定为“感染高危户”，‎ ‎∴，，‎ 即，‎ 设，则，‎ ‎∴，‎ 当且仅当，即时取等号，即，故选A．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．【答案】‎ ‎【解析】作出不等式所表示的可行域如下图所示：‎ 联立，解得，即点，‎ 平移直线，当直线经过可行域的顶点时，‎ 该直线在轴上的截距最小，此时取最小值，即，‎ 故答案为．‎ ‎14．【答案】‎ ‎【解析】由于函数为奇函数，则，‎ 即，∴，‎ 整理得，解得，‎ 当时，真数，不合乎题意；‎ 当时，，解不等式，解得或，‎ 此时函数的定义域为，定义域关于原点对称，合乎题意，‎ 综上所述，，故答案为．‎ ‎15．【答案】‎ ‎【解析】①若“角”在两端，则宫、羽两音阶一定在角音阶同侧，此时有；‎ ‎②若“角”在中间，则不可能出现宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧；‎ ‎③若“角”在第二个或第四个位置上则有种；‎ 综上，共有种，故答案为．‎ ‎16．【答案】‎ ‎【解析】如图所示：‎ 过点作面，垂足为，过点作交于点，连接．‎ 则为二面角的平面角的补角，即有．‎ ‎∵易证面，∴，‎ 而三角形为等边三角形，∴为的中点，‎ 设，，，‎ ‎∴，‎ 故三棱锥的体积为，‎ 当且仅当时，，即，，‎ ‎∴，，三点共线，设三棱锥的外接球的球心为，半径为．‎ 过点作于，∴四边形为矩形，‎ 则，，，‎ 在中，，解得，‎ 三棱锥的外接球的表面积为，故答案为．‎ 三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）由，得，所以．‎ 由正弦定理得，即，得．‎ ‎（2）由正弦定理，在中，，①‎ 在中，，②‎ 又，，，‎ 由，得，‎ 由余弦定理得，‎ 即，解得，‎ 所以的面积．‎ ‎18．【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）如图，设与相交于点，连接，‎ 又为菱形，故，为的中点，‎ 又，故，‎ 又平面，平面，且，‎ 故平面，‎ 又平面，所以平面平面．‎ ‎（2）由是等边三角形，可得，故平面，‎ 所以，，两两垂直．‎ 如图以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，‎ 建立空间直角坐标系．‎ 不妨设，则，，‎ 则，，，，，，‎ 设为平面的法向量，‎ 则，即，可取；‎ 设为平面的法向量，‎ 则，即，可取，‎ 所以，所以二面角的余弦值为．‎ ‎19．【答案】（1）；（2）不符合，最小值为．‎ ‎【解析】（1）由柱状图，该批次产品长度误差的绝对值的频率分布列为下表：‎ 所以的数学期望的估计为．‎ ‎（2）由（1）可知任取一件产品是标准长度的概率为，‎ 设至少有件是标准长度产品为事件，则，‎ 故不符合概率不小于的要求．‎ 设生产一件产品为标准长度的概率为，由题意，‎ 又，解得，‎ 所以符合要求时，生产一件产品为标准长度的概率的最小值为．‎ ‎20．【答案】（1）；（2）证明见解析．‎ ‎【解析】（1）由题意得，解得，，‎ 所以椭圆的方程是．‎ ‎（2）设直线的方程为，、、，‎ 由，得，‎ ‎，‎ 则有，，‎ 由，得，‎ 由，可得，，‎ ‎，‎ 综上，点在定直线上．‎ ‎21．【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）若，则，，‎ 设，则，，，故函数是奇函数．‎ 当时，，，这时，‎ 又函数是奇函数，所以当时，，‎ 综上，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减．‎ 又，，‎ 故在区间上恒成立，所以在区间上没有零点．‎ ‎（2），‎ 由，所以恒成立，‎ 若，则，‎ 设，．‎ 故当时，，‎ 又，所以当时，，满足题意；‎ 当时，有，与条件矛盾，舍去；‎ 当时，令，则，‎ 又，故在区间上有无穷多个零点，‎ 设最小的零点为，则当时，，‎ 因此在上单调递增，，所以．‎ 于是，当时，，得，与条件矛盾，‎ 故的取值范围是．‎ ‎22．【答案】（1）直线的普通方程见解析，；（2）或．‎ ‎【解析】（1）因为直线的参数方程为（为参数），‎ 当时，直线的直角坐标方程为；‎ 当时，直线的直角坐标方程为．‎ 因为，，‎ 因为，所以，‎ 所以的直角坐标方程为．‎ ‎（2）直线与圆交于两点，且，‎ 故圆心到直线的距离．‎ ‎①当时，直线的直角坐标方程为，符合题意；‎ ‎②当时，直线的方程为，‎ 所以，‎ 整理得．解得，‎ 综上所述，直线的倾斜角为或．‎ ‎23．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1），‎ 时，的最小值为．‎ ‎（2）当，即时，的解集为，‎ ‎，符合；‎ 当，即时，的解集为，‎ ‎，‎ 综上可得