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- 2021-06-17 发布
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高中新课标数学选修(2-2)综合测试题
一、选择题
1.函数在区间上的平均变化率为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答案:B
2.已知直线是的切线,则的值为( )
A. B. C. D.
答案:A
3.如果1N的力能拉长弹簧1cm,为了将弹簧拉长6cm(在弹性限度内)所耗费的功为( )
A.0.18J B.0.26J C.0.12J D.0.28J
答案:A
4.方程有实根,且,则( )
A. B. C. D.
答案:A
5.内有任意三点不共线的2002个点,加上三个顶点,共2005个点,把这2005个点连线形成不重叠的小三角形,则一共可以形成小三角形的个数为( )
A.4005 B.4002 C.4007 D.4000
答案:A
6.数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,的第50项( )
A.8 B.9 C.10 D.11
答案:C
7.在证明为增函数的过程中,有下列四个命题:①增函数的定义是大前提;②增函数的定义是小前提;③函数满足增函数的定义是大前提;④函数
满足增函数的定义是大前提.其中正确的命题是( )
A.①② B.②④ C.①③ D.②③
答案:C
8.若,则复数表示的点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
答案:D
9.一圆的面积以速度增加,那么当圆半径时,其半径的增加速率为( )
A.cm/s B. cm/s C. cm/s D. cm/s
答案:C
10.用数学归纳法证明不等式“”时的过程中,由到时,不等式的左边( )
A.增加了一项
B.增加了两项
C.增加了两项,又减少了一项
D.增加了一项,又减少了一项
答案:C
11.在下列各函数中,值域不是的函数共有( )
(1)
(2)
(3)
(4)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案:C
12.如图是函数的大致图象,则等于( )
A. B. C. D.
答案:C
二、填空题
13.函数在闭区间上的最大值与最小值分别为 .
答案:3,
14.若,,且,则的值为 .
答案:
15.用火柴棒按下图的方法搭三角形:
按图示的规律搭下去,则所用火柴棒数与所搭三角形的个数之间的关系式可以是 .
答案:
16.物体的运动速度与时间之间的关系为(的单位是m/s,的单位是s),物体的运动速度与时间之间的关系为,两个物体在相距为405m的同一直线上同时相向运动.则它们相遇时,物体的运动路程为 .
答案:72m
三、解答题
17.已知复数,满足,且为纯虚数,求证:为实数.
证明:由,得,
即,那么,
由于,为纯虚数,可设,
所以,从而,
故为实数.
18.用总长14.8的钢条做一个长方体容器的框架,如果所做容器的底面的一边长比另一边长多0.5m,那么高是多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积.
解:设该容器底面矩形的短边长为cm,则另一边长为m,此容器的高为,
于是,此容器的容积为:,其中,
即,得,(舍去),
因为,在内只有一个极值点,且时,,函数递增;
时,,函数递减;
所以,当时,函数有最大值,
即当高为1.2m时,长方体容器的空积最大,最大容积为.
19.如图所示,已知直线与不共面,直线,直线,又平面,平面,平面,求证:三点不共线.
证明:用反证法,假设三点共线于直线,
,.
,与可确定一个平面.
,.
又,,同理,
直线,共面,与,不共面矛盾.
所以三点不共线.
20.已知函数在上是减函数,求的取值范围.
解:求函数的导数:.
(1)当时,是减函数.
且.
所以,当时,由,知是减函数;
(2)当时,,
由函数在上的单调性,可知当时,是减函数;
(3)当时,在上存在使的区间,
所以,当时,函数不是减函数.
综上,所求的取值范围是.
21.若,观察下列不等式:,,,请你猜测满足的不等式,并用数学归纳法加以证明.
解:满足的不等式为,证明如下:
1.当时,结论成立;
2.假设当时,结论成立,即
.
显然,当时,结论成立.
22.设曲线过点,.
(1)用表示曲线与轴所围成的图形面积;
(2)求的最小值.
解:(1)曲线过点及,故有,
于是且,令,即,得,
记,,由曲线关于轴对称,
有
.
(2),令,
则.
令,得或(舍去).
又时,;
时,.
所以,当时,有最小值,此时有最小值.
高中新课标数学选修(2-2)综合测试题
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.函数的导数为 ( )
(A) (B) (C) (D)
2.下列说法正确的是 ( )
(A)当时,为的极大值
(B)当时,为的极小值
(C)当时,为的极值
(D)当为的极值时,
3.如果是的共轭复数,则对应的向量的模是 ( )
(A)1 (B) (C) (D)5
4.若函数的递减区间为,则的取值范围是 ( )
(A) (B) (C) (D)
5.下列四条曲线(直线)所围成的区域的面积是 ( )
(1);(2) ; (3);(4)
(A) (B) (C)0 (D)
6.由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,叫 ( )
(A)合情推理 (B)演绎推理 (C)类比推理 (D)归纳推理
7.复数与的积是实数的充要条件是 ( )
(A) (B) (C) (D)
8.已知函数,那么是 ( )
(A)仅有最小值的奇函数 (B)既有最大值又有最小值的偶函数
(C)仅有最大值的偶函数 (D)非奇非偶函数
9.用边长为48厘米的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时,在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形,然后把四边折起,就能焊成铁盒。当所做的铁盒的容积最大时,在四角截去的正方形的边长为 ( )
(A)12 (B)10 (C)8 (D)6
10.用数学归纳法证明:
,在验证n=1时,左端计算所得的式子是 ( )
(A)1 (B)1+a (C) (D)
11.给出下列四个命题:(1)任一两个复数都不能比较大小;(2)为实数为实数(3)虚轴上的点都表示纯虚数;(4)复数集与复平面内的向量所成的集合是一一对应的。
其中正确命题的个数是 ( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
12.用数学归纳法证明:,由到,不等式左端变化的是 ( )
(A)增加一项 (B)增加和两项
(C)增加和两项,同时减少一项
(D)增加一项,同时减少一项
二、填空题:(每小题4分,四小题共16分)
13.已知(为常数),则 ;
14.在数列中,, ,则 ;
15.已知:△ABC中,AD⊥BC于D,三边分别是a,b,c,则有;类比上述结论,写出下列条件下的结论:四面体P-ABC中,△ABC,△PAB,△PBC,△PCA的面积分别是,二面角的度数分别是,则 ;
16.对于函数定义域中任意的(),有如下结论:
(1);(2);
(3);(4);试分别写出对应上述一个结论成立的四个函数:
适合结论(1) ;
适合结论(2) ;
适合结论(3) ;
适合结论(4) 。
三、解答题(17-19,21题,每题12分;20,22题,每题14分;共76分)
17.求过点(1,2)且与曲线相切的直线方程。
18.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是,且。
(1)求的值;(2)若,求的最大值。
19.半径为的球的内接圆柱,问圆柱的底半径与高多大,才能使圆柱的体积最大。
20.在数列中,,且前n项的算术平均数等于第n项的2n-1倍()。
(1)写出此数列的前5项;(2)归纳猜想的通项公式,并加以证明。
x
y
O
21题
21.求由抛物线与它在点A(0,-3)和点B(3,0)的切线所围成的区域的面积。
22.已知函数,。
(1) 若,且函数存在单调递减区间,求的取值范围;
(2)当时,求函数的取值范围。
以下为参考答案
高中新课标数学选修(2-2)综合测试题参考答案
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.解析:
故选B
2.反例:,,但=0既不是极大值也不是极小值, 故选D
3.解析:,所以, 故选D
4.解析:,令,则,当时,
不合题意;当时,,, 故选A
5.解析:故选A
6.解析:概念题 选D
7.解析: 选C
8.解析: 故选B
9.解析:设小正方形的边长为x厘米,则
令 故选C
10.解析:n=1时,左端最后一项为,所以左端的式子是 故选C
11.解析:(1)两个实数可以比较大小,(2)为实数,可以为纯虚数;(3)原点,(4)正确, 故选A
12.解析:当时,左端=;
当时,左端= 显然选C
二、填空题:(每小题4分,四小题共16分)
13.解析:,故填 ;
14.解析:,,,所以
也可以用归纳法。 故填
15.解析:作面ABC于D,连结DA,DB,可得,同理可得:,所以,
故填
16.解析:(1);(2);(3)
(4)
三、解答题(17-19,21题,每题12分;20,22题,每题14分;共76分)
17.解析:因为点(1,2)不在曲线上,所以设所求切线与的切点为,则,所以切线方程为,
代入,即,得,,
所以,即,或
所求的切线方程为或
18.解析:(1)
(2)由余弦定理得,所以
,当且仅当时,等号成立,即的最大值为。
19.解析:设球的内接圆柱的底半径为,则其高为,所以圆柱的体积是,
+
0
-
极大值
令,则, ,列表:
所以函数在时取得最大值,此时,即当圆柱的底半径为,高为时,圆柱的体积最大,是。
20.解析:(1)由已知,,分别取,得:
, ,
,
所以数列的前5项是:,,,,
(2)由(1)中的分析可以猜想。下面用数学归纳法证明:
①当n=1时,公式显然成立。②假设当时成立,即,那么由已知,得,
即 所以
即,又归纳假设,得:
所以,即当时,公式也成立
由①,②,对一切,都有成立。
x
y
O
21.解析:,,所以过点A(0,-3)和点B(3,0)的切线方程分别是,两条切线的交点是(),围成的区域如图所示:区域被直线分成了两部分,分别计算再相加,得:
即所求区域的面积是。
22.解析:(1)时,,则
因为函数存在单调递减区间,所以有解,即,又因为,
则的解。①当时,为开口向上的抛物线,的解;②当时,为开口向下的抛物线,的解,所以,且方程至少有一个正根,所以。综上可知,得取值范围是。
(2)时,,,
令,则,所以
+
0
-
极大值
列表:
所以当时,取的最大值
又当时,
所以的取值范围是。