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- 2021-06-17 发布
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2016-2017学年上海市闵行区七宝中学高三(下)开学数学试卷
一.填空题
1.不等式的解集是 .
2.已知直线l1: x﹣y+2=0,l2:3x+y﹣5=0,则直线l1与l2的夹角是 .
3.函数f(x)=的最大值是 .
4.i为虚数单位,z=对应的点在第二象限,则θ是第 象限的角.
5.已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差是 .
6.从二项式(1+x)11的展开式中取一项,系数为奇数的概率是 .
7.命题“对任意,tanx<m恒成立”是假命题,则实数m取值范围是 .
8.函数f(x)=loga(x2﹣4x+3)(a>0,a≠1)在x∈[m,+∞)上存在反函数,则m的取值范围是 .
9.若平面向量满足,,则的取值范围为 .
10.已知数列{an},a1=1,,n∈N*,则= .
11.已知函数f(x)=x+(a>0),若对任意的m、n、,长为f(m)、f(n)、f(p)的三条线段均可以构成三角形,则正实数a的取值范围是 .
12.已知数列{an}满足:对任意的n∈N*均有an+1=kan+2k﹣2,其中k为不等于0与1的常数,若ai∈{﹣272,﹣32,﹣2,8,88,888},i=2、3、4、5,则满足条件的a1所有可能值的和为 .
二.选择题
13.已知实数m、n,则“mn>0”是“方程mx2+ny2=1代表的曲线是椭圆”的( )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分也非必要条件
14.将半径为R的半圆形铁皮制作成一个无盖圆锥形容器(不计损耗),则其容积为( )
A. B. C. D.
15.已知数列{an}通项公式为an=,其前m项和为,则双曲线=1的渐近线方程是( )
A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x
16.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,则下列一定成立的是( )
A.若a3>0,则a2016>0 B.若a4>0,则a2017>0
C.若a3>0,则S2017>0 D.若a4>0,则S2016>0
三.解答题
17.如图,用一平面去截球O,所得截面面积为16π,球心O到截面的距离为3,O1为截面小圆圆心,AB为截面小圆的直径;
(1)计算球O的表面积和体积;
(2)若C是截面小圆上一点,∠ABC=30°,M、N分别是线段AO1和OO1的中点,求
异面直线AC与MN所成的角;(结果用反三角表示)
18.△ABC中,角A、B、C所对边分别为a、b、c,cosA=,tan,c=21;
(1)求sinC的值;
(2)求△ABC的面积.
19.已知函数f(x)=x2﹣4x+a+3,a∈R;
(1)若函数y=f(x)在[﹣1,1]上存在零点,求a的取值范围;
(2)设函数g(x)=bx+5﹣2b,b∈R,当a=3时,若对任意的x1∈[1,4],总存在x2∈[1,4],使得g(x1)=f(x2),求b的取值范围.
20.已知抛物线Γ:y2=2px上一点M(3,m)到焦点的距离为4,动直线y=kx(k≠0)交抛物线Γ于坐标原点O和点A,交抛物线Γ的准线于点B,若动点P满足,动点P的轨迹C的方程为F(x,y)=0;
(1)求出抛物线Γ的标准方程;
(2)求动点P的轨迹方程F(x,y)=0;(不用指明范围)
(3)以下给出曲线C的四个方面的性质,请你选择其中的三个方面进行研究:①对称性;②图形范围;③渐近线;④y>0时,写出由F(x,y)=0确定的函数y=f(x)的单调区间,不需证明.
21.已知无穷数列{an},满足an+2=|an+1﹣an|,n∈N*;
(1)若a1=1,a2=2,求数列前10项和;
(2)若a1=1,a2=x,x∈Z,且数列{an}前2017项中有100项是0,求x的可能值;
(3)求证:在数列{an}中,存在k∈N*,使得0≤ak<1.
2016-2017学年上海市闵行区七宝中学高三(下)开学数学试卷
参考答案与试题解析
一.填空题
1.不等式的解集是 {x|0<x<1} .
【考点】其他不等式的解法.
【分析】将不等式>1移项后通分,即可求得不等式的解集.
【解答】解:∵>1,
∴﹣1=>0,
∴>0,
∴0<x<1.
∴不等式的解集为{x|0<x<1}.
故答案为:{x|0<x<1}.
2.已知直线l1: x﹣y+2=0,l2:3x+y﹣5=0,则直线l1与l2的夹角是 .
【考点】两直线的夹角与到角问题.
【分析】先根据直线的斜率求出直线的倾斜角,再利用两条直线的倾斜角的大小求出这两条直线的夹角.
【解答】解:因为直线l1的斜率为,故倾斜角为60°,直线l2的斜率为﹣,倾斜角为120°,故两直线的夹角为60°,
即两直线的夹角为,故答案为 .
3.函数f(x)=的最大值是 5 .
【考点】三角函数的最值.
【分析】f(x)==3sinx+4cosx=5sin(x+θ),即可得出结论.
【解答】解:f(x)==3sinx+4cosx=5sin(x+θ),
∴函数f(x)=的最大值是5,
故答案为5.
4.i为虚数单位,z=对应的点在第二象限,则θ是第 一、三 象限的角.
【考点】复数的代数表示法及其几何意义.
【分析】利用共轭复数的意义可得z==cos2θ+isin2θ对应的点在第二象限,可得cos2θ<0,sin2θ>0,解出θ即可得出结论.
【解答】解:z===cos2θ+isin2θ对应的点在第二象限,
∴cos2θ<0,sin2θ>0,
∴<2θ<2kπ+π,k∈Z.
解得kπ+<θ<kπ+,k∈Z.
k=2n(n∈Z)时,2nπ+<θ<2nπ+,θ为第一象限角.
k=2n﹣1(n∈Z)时,2nπ﹣<θ<2nπ﹣,θ为第三象限角.
综上可得:θ是第一、三象限的角.
故答案为:一、三.
5.已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差是 0.1 .
【考点】极差、方差与标准差.
【分析】先求出数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5的平均数,由此能求出该组数据的方差.
【解答】解:∵数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5的平均数为:
=(4.7+4.8+5.1+5.4+5.5)=5.1,
∴该组数据的方差:
S2= [(4.7﹣5.1)2+(4.8﹣5.1)2+(5.1﹣5.1)2+(5.4﹣5.1)2+(5.5﹣5.1)2]=0.1.
故答案为:0.1.
6.从二项式(1+x)11的展开式中取一项,系数为奇数的概率是 .
【考点】二项式系数的性质.
【分析】二项式(1+x)11的展开式中通项公式Tr+1=xr,(r=0,1,2,…,11).其中r=0,1,2,3,8,9,10,11,为奇数.即可得出.
【解答】解:二项式(1+x)11的展开式中通项公式Tr+1=xr,(r=0,1,2,…,11).
其中r=0,1,2,3,8,9,10,11,为奇数.
∴系数为奇数的概率==.
故答案为:.
7.命题“对任意,tanx<m恒成立”是假命题,则实数m取值范围是 (﹣∞,1] .
【考点】命题的真假判断与应用.
【分析】由x的范围求出tanx的范围,再由tanx<m恒成立求出m的范围,结合补集思想求得命题“对任意,tanx<m恒成立”是假命题的m的取值范围.
【解答】解:当时,tanx∈[0,1],
若tanx<m恒成立,则m>1.
∵命题“对任意,tanx<m恒成立”是假命题,
∴m≤1.
∴实数m取值范围是(﹣∞,1].
故答案为:(﹣∞,1].
8.函数f(x)=loga(x2﹣4x+3)(a>0,a≠1)在x∈[m,+∞)上存在反函数,则m的取值范围是 (3,+∞) .
【考点】反函数.
【分析】由反函数性质得函数f(x)=loga(x2﹣4x+3)(a>0,a≠1)在x∈[m,+∞)单调,由此能求出m的取值范围.
【解答】解:∵函数f(x)=loga(x2﹣4x+3)(a>0,a≠1)在x∈[m,+∞)上存在反函数,
∴函数f(x)=loga(x2﹣4x+3)(a>0,a≠1)在x∈[m,+∞)单调,
∵函数的定义域为(﹣∞,1)∪(3,+∞),y=x2﹣4x+3的对称轴为x=2,
∴m∈(3,+∞),
故答案为:(3,+∞).
9.若平面向量满足,,则的取值范围为 [2,6] .
【考点】平面向量数量积的运算;向量的模.
【分析】利用≤4||+,及≥﹣4||,求出||的取值范围.
【解答】解:设的夹角为θ,∵=2•2•||cosθ+≤4||+,
∴||≥2 或||≤﹣6(舍去).
又∵=2•2||cosθ+≥﹣4||,∴6≥||≥﹣2.
综上,6≥||≥2,
故答案为:[2,6].
10.已知数列{an},a1=1,,n∈N*,则= .
【考点】数列的求和;极限及其运算.
【分析】先根据数列关系式得到a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a2n﹣2+a2n﹣1)=1+++…+,再根据等比数列的求和公式计算,最后求极限.
【解答】解:∵,n∈N,
∴a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a2n﹣2+a2n﹣1),
=1+++…+,
=1+,
=1+﹣,
=﹣,
∴=(﹣)=,
故答案为:
11.已知函数f(x)=x+(a>0),若对任意的m、n、
,长为f(m)、f(n)、f(p)的三条线段均可以构成三角形,则正实数a的取值范围是 (,)∪[1,) .
【考点】函数的最值及其几何意义.
【分析】求出f(x)的导数,讨论当≥1即a≥1时;当≤<1且f()≤f(1)即≤a≤时;当≤<1且f()>f(1)即<a<1时;当<,即0<a<时.由单调性可得最小值和最大值,由题意可得最小值的2倍大于最大值,解不等式即可得到所求a的范围.
【解答】解:函数f(x)=x+(a>0)的导数为f′(x)=1﹣,
当x>时,f′(x)>0,f(x)递增;当x<时,f′(x)<0,f(x)递减.
当≥1即a≥1时,[,1]为减区间,即有f(x)的最大值为+3a;
最小值为1+a.
由题意可得只要满足2(1+a)>+3a,解得1≤a<;
当≤<1且f()≤f(1)即≤a≤时,[,]为减区间,(,1)为增区间,
即有f(x)的最大值为1+a;最小值为2.
由题意可得只要满足1+a>4,解得0<a<7﹣4,不成立;
当≤<1且f()>f(1)即<a<1时,[,]为减区间,(,1)为增区间,
即有f(x)的最大值为+3a;最小值为2.
由题意可得只要满足+3a>4,解得0<a<,不成立;
当<,即0<a<时,[,1]为增区间,即有f(x)的最小值为+3a;
最大值为1+a.
由题意可得只要满足2(+3a)>1+a,解得<a<.
综上可得,a的取值范围是(,)∪[1,).
故答案为:(,)∪[1,).
12.已知数列{an}满足:对任意的n∈N*均有an+1=kan+2k﹣2,其中k为不等于0与1的常数,若ai∈{﹣272,﹣32,﹣2,8,88,888},i=2、3、4、5,则满足条件的a1所有可能值的和为 .
【考点】数列递推式.
【分析】依题意,可得an+1+2=k(an+2),再对a1=﹣2与a1≠﹣2讨论,特别是a1≠﹣2时对公比k分|k|>1与|k|<1,即可求得a1所有可能值,从而可得答案.
【解答】解:∵an+1=kan+2k﹣2,
∴an+1+2=k(an+2),
∴①若a1=﹣2,则a1+1+2=k(a1+2)=0,a2=﹣2,同理可得,a3=a4=a5=﹣2,即a1=﹣2复合题意;
②若a1≠﹣2,k为不等于0与1的常数,则数列{an+2}是以k为公比的等比数列,
∵ai∈{﹣272,﹣32,﹣2,8,88,888},i=2,3,4,5,
an+2可以取﹣270,﹣30,10,90,
∴若公比|k|>1,则k=﹣3,由a2+2=10=﹣3(a1+2)得:a1=﹣;
若公比|k|<1,则k=﹣,由a2+2=﹣270=﹣(a1+2)得:a1=808.
综上所述,满足条件的a1所有可能值为﹣2,﹣,808.
∴a1所有可能值的和为:﹣2=.
故答案为:.
二.选择题
13.已知实数m、n,则“mn>0”是“方程mx2+ny2=1代表的曲线是椭圆”的( )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分也非必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】先根据mn>0看能否得出方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆;这里可以利用举出特值的方法来验证,再看方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆,根据椭圆的方程的定义,可以得出mn>0,即可得到结论.
【解答】解:当mn>0时,方程mx2+ny2=1的曲线不一定是椭圆,
例如:当m=n=1时,方程mx2+ny2=1的曲线不是椭圆而是圆;
或者是m,n都是负数,曲线表示的也不是椭圆;
故前者不是后者的充分条件;
当方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆时,应有m,n都大于0,且两个量不相等,得到mn>0;
由上可得:“mn>0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的必要不充分条件.
故选B.
14.将半径为R的半圆形铁皮制作成一个无盖圆锥形容器(不计损耗),则其容积为( )
A. B. C. D.
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.
【分析】推导出设这个盖圆锥形底面半径r=,母线长l=R,高h==,由此能求出这个无盖圆锥形容器(不计损耗)的容积.
【解答】解:将半径为R的半圆形铁皮制作成一个无盖圆锥形容器,
设这个盖圆锥形底面半径为r,则πR=2πr,解得r=,
这个盖圆锥形母线长l=R,
∴这个盖圆锥形的高h==,
∴这个无盖圆锥形容器(不计损耗)的容积:
V==
=
=.
故选:A.
15.已知数列{an}通项公式为an=,其前m项和为,则双曲线=1的渐近线方程是( )
A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】利用数列求和,推出m,然后求解双曲线的渐近线方程.
【解答】解:数列{an}通项公式为an=,其前m项和为,
可得1﹣=,
即1﹣=.解得m=9.
双曲线=1的渐近线方程:y=±x.
故选:C.
16.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,则下列一定成立的是( )
A.若a3>0,则a2016>0 B.若a4>0,则a2017>0
C.若a3>0,则S2017>0 D.若a4>0,则S2016>0
【考点】等比数列的通项公式.
【分析】设等比数列{an}的公比为q,利用通项公式与求和公式即可判断出结论.
【解答】解:设等比数列{an}的公比为q,
若a3>0,则>0,则a1>0.∴S2017=>0.a2016=与0的大小关系不确定.
若a4>0,则>0,则a1与q同号,则a2017=,S2016=
与0的大小关系不确定.
故选:C.
三.解答题
17.如图,用一平面去截球O,所得截面面积为16π,球心O到截面的距离为3,O1为截面小圆圆心,AB为截面小圆的直径;
(1)计算球O的表面积和体积;
(2)若C是截面小圆上一点,∠ABC=30°,M、N分别是线段AO1和OO1的中点,求
异面直线AC与MN所成的角;(结果用反三角表示)
【考点】球的体积和表面积.
【分析】(1)求出小圆的半径,然后利用球心到该截面的距离为3cm,小圆的半径,通过勾股定理求出球的半径,即可求出球的表面积.
(2)由MN∥OA得,∠OAC为异面直线AC与MN所成的角(或补角),连接OC,然后利用余弦定理求出此角的余弦值,最后利用反三角表示出此角即可.
【解答】解:(1)连接OA,由题意得,截面小圆半径为4,
在Rt△OAO1中,O1A=4,OO1=3,
由勾股定理知,AO=5,
∴球O的表面积为:4π•25=100π
(2)由MN∥OA得,∠OAC为异面直线AC与MN所成的角(或补角).
在Rt△ABC中,AB=8,∠ABC=30°,则AC=4,
连接OC,在△OAC中,OA=OC=5,
由余弦定理知:
cos∠OAC===,
∴∠OAC=,
∴异面直线AC与MN所成的角为.
18.△ABC中,角A、B、C所对边分别为a、b、c,cosA=,tan,c=21;
(1)求sinC的值;
(2)求△ABC的面积.
【考点】两角和与差的正切函数;三角函数中的恒等变换应用.
【分析】(1)先根据弦切之间的关系对tan进行化简,再由二倍角公式可得到sinB的值,结合cosA的值可判断B为锐角,进而由sinC=sin(A+B)根据两角和与差的正弦公式和(1)中的sinB,sinA,cosB,cosA的值可求得sinC的值.
(2)再由正弦定理可求得a的值,最后根据三角形的面积公式可求得答案.
【解答】解:(1)由tan==,
得sinB=,
∵cosA=,∴sinA=>sinB,∴B为锐角,可得cosB=,
∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=×+×=.
(2)∵c=21,
∴a===20,
∴S△ABC=acsinB=×20×21×=126.
19.已知函数f(x)=x2﹣4x+a+3,a∈R;
(1)若函数y=f(x)在[﹣1,1]上存在零点,求a的取值范围;
(2)设函数g(x)=bx+5﹣2b,b∈R,当a=3时,若对任意的x1∈[1,4],总存在x2∈[1,4],使得g(x1)=f(x2),求b的取值范围.
【考点】二次函数的性质;函数的最值及其几何意义.
【分析】(1)根据f(x)在[﹣1,1]上单调递减且存在零点可得f(﹣1)f(1)≤0,从而解出a的范围;
(2)对b进行讨论,判断g(x)的单调性,分别求出f(x),g(x)在[1,4]上的值域,令g(x)的值域为f(x)的值域的子集列出不等式组得出b的范围.
【解答】解:(1)∵f(x)=x2﹣4x+a+3的函数图象开口向上,对称轴为x=2,
∴f(x)在[﹣1,1]上是减函数,
∵函数y=f(x)在[﹣1,1]上存在零点,
∴f(﹣1)f(1)≤0,即a(8+a)≤0,
解得:﹣8≤a≤0.
(2)a=3时,f(x)=x2﹣4x+6,
∴f(x)在[1,2]上单调递减,在[2,4]上单调递增,
∴f(x)在[2,4]上的最小值为f(2)=2,最大值为f(4)=6.
即f(x)在[2,4]上的值域为[2,6].
设g(x)在[1,4]上的值域为M,
∵对任意的x1∈[1,4],总存在x2∈[1,4],使得g(x1)=f(x2),
∴M⊆[2,6].
当b=0时,g(x)=5,即M={5},符合题意,
当b>0时,g(x)=bx+5﹣2b在[1,4]上是增函数,
∴M=[5﹣b,5+2b],
∴,解得0<b≤.
当b<0时,g(x)=bx+5﹣2b在[1,4]上是减函数,
∴M=[5+2b,5﹣b],
∴,解得﹣1≤b<0.
综上,b的取值范围是.
20.已知抛物线Γ:y2=2px上一点M(3,m)到焦点的距离为4,动直线y=kx(k≠0)交抛物线Γ于坐标原点O和点A,交抛物线Γ的准线于点B,若动点P满足,动点P的轨迹C的方程为F(x,y)=0;
(1)求出抛物线Γ的标准方程;
(2)求动点P的轨迹方程F(x,y)=0;(不用指明范围)
(3)以下给出曲线C的四个方面的性质,请你选择其中的三个方面进行研究:①对称性;②图形范围;③渐近线;④y>0时,写出由F(x,y)=0确定的函数y=f(x)的单调区间,不需证明.
【考点】直线与抛物线的位置关系;抛物线的标准方程.
【分析】(1)利用抛物线的定义,可得抛物线Γ的标准方程;
(2)求出A,B的坐标,利用动点P满足,求出动点P的轨迹C的方程;
(3)根据方程,可得结论.
【解答】解:(1)由题意,3+=4,∴p=2,
∴抛物线Γ的标准方程为y2=4x;
(2)设P(x,y),则y=kx,与抛物线方程联立,可得x=,y=,即A(,),
与x=﹣1联立,可得B(﹣1,﹣k),
∵,
∴(x,y)=(+1, +k),
∴x=+1,y=+k,
消去k可得;
(3)由,可得①关于x轴对称;②x∈(1,+∞),y∈(﹣∞,﹣4]∪[4,+∞);③渐近线x=1;④在(1,2]上递减,在[2,+∞)上递增.
21.已知无穷数列{an},满足an+2=|an+1﹣an|,n∈N*;
(1)若a1=1,a2=2,求数列前10项和;
(2)若a1=1,a2=x,x∈Z,且数列{an}前2017项中有100项是0,求x的可能值;
(3)求证:在数列{an}中,存在k∈N*,使得0≤ak<1.
【考点】数列递推式;数列的求和.
【分析】(1)由条件分别计算前10项,即可得到所求和;
(2)讨论x=1,2,3,…,计算得到数列进入循环,求得数列中0的个数,即可得到所求值;
(3)运用反证法证明,结合条件及无穷数列的概念,即可得证.
【解答】解:(1)数列{an},满足an+2=|an+1﹣an|,n∈N*;a1=1,a2=2,
则a3=1,a4=1,a5=0,a6=1,a7=1,a8=0,a9=a10=1.
∴数列前10项和S10=1+2+6=9.
(2)当x=1时,数列数列{an}的各项为1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0…
所以在前2017项中恰好含有672项为0;
当x=2时,数列数列{an}的各项为1,2,1,1,0,1,1,0,1,1,0…
所以在前2017项中恰好含有671项为0;
当x=3时,数列数列{an}的各项为1,3,2,1,1,0,1,1,0,1,1,0…
所以在前2017项中恰好含有671项为0;
当x=4时,数列数列{an}的各项为1,4,3,1,2,1,1,0,1,1,0,…
所以在前2017项中恰好含有670项;
当x=5时,数列数列{an}的各项为1,5,4,1,3,2,1,1,0,1,1,0…
所以在前2017项中恰好含有670项为0;
…
由上面可以得到当x=1144或x=1145时,在前2017项中恰好含有100项为0;
当x=﹣1141或x=﹣1140时,在前2017项中恰好含有100项为0;
(3)证明:假设数列{an}中不存在ak(k∈N*),使得0≤ak<1,
则ak<0或ak≥1(k=1,2,3,…).
由无穷数列{an},满足an+2=|an+1﹣an|,n∈N*,
可得ak≥1,由于无穷数列{an},对于给定的a1,a2,总可以相减后得到0,
故假设不成立.
在数列{an}中,存在k∈N*,使得0≤ak<1.