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  • 2021-06-19 发布

专题42+不等式选讲-2019年高考数学(理)考点分析与突破性讲练

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一、考纲要求:‎ ‎1.理解绝对值的几何意义,并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件:|a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R),|a-b|≤|a-c|+|c-b|(a,b,c∈R).‎ ‎2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:|ax+b|≤c;|ax+b|≥c;|x-a|+|x-b|≥c.‎ ‎3.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法.‎ 二、概念掌握和解题上注意点:‎ ‎1.解绝对值不等式的基本方法 ‎(1)利用绝对值的定义,通过分类讨论,用零点分段法转化为解不含绝对值符号的普通不等式,零点分段法的操作程序是:找零点,分区间,分段讨论;‎ ‎(2)当不等式两端均非负时,可通过两边平方的方法转化为解不含绝对值符号的普通不等式;‎ ‎(3)利用绝对值的几何意义,数形结合求解.‎ ‎2.作差比较法证明不等式的步骤:(1)作差;(2)变形;(3)判断差的符号;(4)下结论.其中“变形”是关键,通常将差变形成因式连乘的形式或平方和的形式,再结合不等式的性质判断出差的正负.‎ ‎3.综合法证明不等式,要着力分析已知与求证之间,不等式的左右两端之间的差异与联系.合理进行转换,恰当选择已知不等式,这是证明的关键.‎ ‎4.分析法证明不等式的注意事项:用分析法证明不等式时,不要把“逆求”错误地作为“逆推”,分析法的过程仅需要寻求充分条件即可,而不是充要条件,也就是说,分析法的思维是逆向思维,因此在证题时,应正确使用“要证”“只需证”这样的连接“关键词”.‎ 三、高考考题题例分析 例1.(2018全国卷I)已知f(x)=|x+1|﹣|ax﹣1|.‎ ‎(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;‎ ‎(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.‎ ‎【答案】(1)(,+∞);(2)0,2]‎ ‎【解析】:(1)当a=1时,f(x)=|x+1|﹣|x﹣1|=,‎ 由f(x)>1,‎ ‎∴或,‎ 解得x>,‎ 故不等式f(x)>1的解集为(,+∞),‎ 例2.(2018全国卷II)设函数f(x)=5﹣|x+a|﹣|x﹣2|.‎ ‎(1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集;‎ ‎(2)若f(x)≤1,求a的取值范围.‎ ‎【答案】(1)[﹣2,3];(2)[﹣6,2]‎ ‎【解析】:(1)当a=1时,f(x)=5﹣|x+1|﹣|x﹣2|=.‎ 当x≤﹣1时,f(x)=2x+4≥0,解得﹣2≤x≤1,‎ 当﹣1<x<2时,f(x)=2≥0恒成立,即﹣1<x<2,‎ 当x≥2时,f(x)=﹣2x+6≥0,解得2≤x≤3,‎ 综上所述不等式f(x)≥0的解集为[﹣2,3],‎ 例3.(2018全国卷III)设函数f(x)=|2x+1|+|x﹣1|.‎ ‎(1)画出y=f(x)的图象;‎ ‎(2)当x∈[0,+∞)时,f(x)≤ax+b,求a+b的最小值.‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】:(1)当x≤﹣时,f(x)=﹣(2x+1)﹣(x﹣1)=﹣3x,‎ 当﹣<x<1,f(x)=(2x+1)﹣(x﹣1)=x+2,‎ 当x≥1时,f(x)=(2x+1)+(x﹣1)=3x,‎ 则f(x)=对应的图象为:‎ 画出y=f(x)的图象; ‎ 例10.(2016全国卷Ⅱ)已知函数f(x)=+,M为不等式f(x)<2的解集.‎ ‎(1)求M;‎ ‎(2)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.‎ ‎【答案】(1) M={x|-1<x<1};(2)见解析 不等式选讲练习题 ‎1.已知|2x-3|≤1的解集为[m,n].‎ ‎(1)求m+n的值;‎ ‎(2)若|x-a|<m,求证:|x|<|a|+1.‎ ‎【答案】(1) m+n=3;(2)见解析 ‎2.已知函数f(x)=|x-4|+|x-a|(a∈R)的最小值为a.‎ ‎(1)求实数a的值;‎ ‎(2)解不等式f(x)≤5. ‎ ‎【答案】(1) a=2;(2) ‎【解析】: (1)f(x)=|x-4|+|x-a|≥|a-4|=a,从而解得a=2.‎ ‎(2)由(1)知,f(x)=|x-4|+|x-2|‎ ‎= 故当x≤2时,令-2x+6≤5,得≤x≤2,‎ 当24时,令2x-6≤5,得40).‎ ‎(1)证明:f(x)≥2;‎ ‎(2)当a=1时,求不等式f(x)≥5的解集.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2) ‎5.设函数f(x)=|x-1|-|2x+1|的最大值为m. ‎ ‎(1)作出函数f(x)的图象;‎ ‎(2)若a2+2c2+3b2=m,求ab+2bc的最大值.‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】: (1)f(x)= 画出图象如图,‎ ‎6.已知函数f(x)=(a≠0).‎ ‎(1)求函数f(x)的定义域;‎ ‎(2)若当x∈[0,1]时,不等式f(x)≥1恒成立,求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ;(2) -1≤a≤5且a≠0.‎ ‎【解析】: (1)|ax-2|≤4⇔-4≤ax-2≤4⇔-2≤ax≤6,‎ 当a>0时,函数f(x)的定义域为;‎ 当a<0时,函数f(x)的定义域为.‎ ‎(2)f(x)≥1⇔|ax-2|≤3,记g(x)=|ax-2|,‎ 因为x∈[0,1],‎ 所以只需⇔⇔-1≤a≤5,‎ 又a≠0,所以-1≤a≤5且a≠0.‎ ‎7.已知函数f(x)=|x-2|.‎ ‎(1)求不等式f(x)+x2-4>0的解集;‎ ‎(2)设g(x)=-|x+7|+3m,若关于x的不等式f(x)2或x<-1};(2) (3,+∞)‎ ‎8.已知函数f(x)=|x+a2|+|x-a-1|.‎ ‎(1)证明:f(x)≥;‎ ‎(2)若f(4)<13,求a的取值范围.‎ ‎【答案】(1)见解析 ;(2) (-2,3).‎ ‎【解析】: (1)证明:f(x)=|x+a2|+|x-a-1|‎ ‎≥|(x+a2)-(x-a-1)|‎ ‎=|a2+a+1|‎ ‎=+≥.‎ ‎(2)因为f(4)=|a2+4|+|a-3|= 所以f(4)<13⇔或 解得-2a+b ‎【解析】: (1)由|2x-1|<1得-1<2x-1<1,‎ 解得00.‎ 故ab+1>a+b.‎ ‎12.已知函数f(x)=|x|+|x-1|.‎ ‎(1)若f(x)≥|m-1|恒成立,求实数m的最大值M;‎ ‎(2)在(1)成立的条件下,正实数a,b满足a2+b2=M,证明:a+b≥2ab.‎ ‎【答案】(1) m的最大值M=2.;(2)见解析 ‎13.已知a,b,c∈R,且2a+2b+c=8,求(a-1)2+(b+2)2+(c-3)2的最小值.‎ ‎【答案】 ‎【解析】: 由柯西不等式得 ‎(4+4+1)×[(a-1)2+(b+2)2+(c-3)2]≥[2(a-1)+2(b+2)+c-3]2,‎ ‎∴9[(a-1)2+(b+2)2+(c-3)2]‎ ‎≥(2a+2b+c-1)2.‎ ‎∵2a+2b+c=8,‎ ‎∴(a-1)2+(b+2)2+(c-3)2≥,‎ 当且仅当==c-3时等号成立,‎ ‎∴(a-1)2+(b+2)2+(c-3)2的最小值是.‎ ‎14.已知函数f(x)=k-|x-3|,k∈R,且f(x+3)≥0的解集为[-1,1].‎ ‎(1)求k的值;‎ ‎(2)若a,b,c是正实数,且++=1.‎ 求证:a+2b+3c≥9.‎ ‎【答案】(1) k=1;(2)见解析 ‎15.已知函数f(x)=|x+1|.‎ ‎(1)求不等式f(x)<|2x+1|-1的解集M;‎ ‎(2)设a,b∈M,证明:f(ab)>f(a)-f(-b). ‎ ‎【答案】(1) M={x|x<-1或x>1};‎ ‎ (2)见解析 ‎【解析】: (1)①当x≤-1时,原不等式可化为-x-1<-2x-2,解得x<-1;‎ ‎②当-1<x<-时,原不等式可化为x+1<-2x-2,解得x<-1,此时原不等式无解;‎ ‎③当x≥-时,原不等式可化为x+1<2x,解得x>1.‎ 综上,M={x|x<-1或x>1}.‎