高考数学复习课时提能演练(七十五) 选修4-2_2 7页

‎ ‎ 课时提能演练(七十五)‎ ‎1.已知M=求矩阵M.‎ ‎2.已知A=‎ ‎(1)求逆矩阵A-1;‎ ‎(2)若矩阵X满足AX=求矩阵X.‎ ‎3.已知且(AB)C=求矩阵A.‎ ‎4.如图:平行四边形OABC 在变换T的作用下变成了 矩形OA′B′C′,求变换 T所对应的矩阵M.‎ ‎5.(2011·常州模拟)已知a,b∈R,矩阵M=如果矩阵M对应的变换将直线x+2y=1变换为自身,求M的逆矩阵.‎ ‎6.(2012·盐城模拟)已知矩阵 ‎(1)计算AB;‎ ‎(2)若矩阵B把直线l:x+y+2=0变为直线l′,求直线l′的方程.‎ ‎7.(2011·福建高考)设矩阵M= (其中a＞0，b＞0).‎ ‎(1)若a=2，b=3，求矩阵M的逆矩阵M-1；‎ ‎(2)若曲线C：x2+y2=1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C′：求a，b的值.‎ ‎8.求曲线2x2-2xy+1=0在矩阵MN对应的变换作用下得到的曲线方程,其中 ‎9.(2012·宿迁模拟)已知矩阵A=将直线l:x+y-1=0变换成直线l′.‎ ‎(1)求直线l′的方程;‎ ‎(2)判断矩阵A是否可逆?若可逆,求出矩阵A的逆矩阵A-1;若不可逆,请说明理由.‎ ‎10.(2012·莆田模拟)直线l1:x=-4先经过矩阵A=作用,再经过矩阵B=‎ 作用,变为直线l2:2x-y=4,求矩阵A.‎ 答案解析 ‎1.【解析】令A=∴|A|=1×2-1×0=2,‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎2.【解析】(1)|A|=1×(-1)-(-2)×2=3,‎ ‎∴‎ ‎(2)∵AX=‎ ‎∴X=‎ ‎3.【解析】∵BC=‎ 又∵(AB)C=A(BC),‎ ‎∴令M=‎ ‎∴|M|=(-1)×(-2)-3×1=-1≠0,‎ ‎∴∴A=‎ ‎4.【解题指南】从平行四边形到矩形实质经历了两次变换,一次为旋转变换,一次为切变变换,分别确定出其对应的矩阵后相乘,即得变换T对应的矩阵.‎ ‎【解析】由平行四边形OABC变换成矩形OA′B′C′,可以看成先将平行四边形OABC绕着O点顺时针旋转90°,得到平行四边形OA″B″C″,然后再将平行四边形OA″B″C″作切变变换得矩形OA′B′C′.‎ 故旋转矩阵为: ‎ 切变变换 ‎∴切变矩阵为 ‎∴矩阵M=‎ ‎5.【解析】设在M的变换下得到 则∴‎ 由题意,得(x+ay)+2(bx+2y)=1,‎ 即(1+2b)x+(a+4)y=1.‎ ‎∴∴‎ ‎∴M=∴‎ ‎6.【解析】(1)AB=‎ ‎(2)任取直线l上一点P(x,y),‎ P经矩阵B变换后为P′(x′,y′),‎ 则 ‎∴∴‎ 由于P(x,y)在直线l上,‎ 所以代入x+y+2=0,得x′+2y′+y′+2=0,‎ ‎∴x′+3y′+2=0,‎ ‎∴直线l′的方程为x+3y+2=0.‎ ‎【变式备选】试求曲线y=sinx在矩阵MN变换下的函数解析式,其中 ‎【解析】MN=‎ 即在矩阵MN变换下 即曲线y=sinx在矩阵MN变换下的函数解析式为y=2sin2x.‎ ‎7.【解析】(1)设矩阵M的逆矩阵 则 又M=所以 所以2x1=1,2y1=0,3x2=0,3y2=1,即故所求的逆矩阵 ‎(2)设曲线C上任意一点P(x,y)，它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点 P′(x′,y′).‎ 则即 又点P′(x′,y′)在曲线C′上，所以 则为曲线C的方程.‎ 又已知曲线C的方程为x2+y2=1，故 又a＞0,b＞0，所以 ‎8.【解析】MN=‎ 设P(x,y)是曲线2x2-2xy+1=0上任意一点,点P在矩阵MN对应的变换下变为点 P′(x′,y′),‎ 则有 于是 代入2x2-2xy+1=0得x′y′=1,‎ 所以曲线2x2-2xy+1=0在MN对应的变换作用下得到的曲线方程为xy=1.‎ ‎9.【解析】(1)在直线l上任取一点P(x0,y0),设它在矩阵A=对应的变换作用下变为Q(x,y),‎ ‎∵‎ ‎∴即 又∵点P(x0,y0)在直线l:x+y-1=0上,‎ ‎∴即直线l′的方程为4x+y-7=0.‎ ‎(2)∵=7≠0,∴矩阵A可逆.‎ 设∴‎ ‎∴解之得 ‎∴‎ ‎10.【解析】设C=BA=则直线l1上的点(x,y)经矩阵C变换为直线l2上的点(x′,y′),则x′=(n+4)x+(m-4)y,y′=-nx+4y,代入2x′-y′=4,得(3n+8)x+(‎2m-12)y=4与l1:x=-4比较系数得,m=6,n=-3,∴A=‎