高考数学人教A版（理）一轮复习：第三篇 第4讲 定积分的概念与微积分基本定理 6页

第4讲 定积分的概念与微积分基本定理 A级　基础演练(时间：30分钟　满分：55分)‎ 一、选择题(每小题5分，共20分)‎ ‎1．(2013·大连模拟)已知f(x)为偶函数且f(x)dx＝8，则－6f(x)dx等于 (　　)．‎ A．0 B．4 C．8 D．16‎ 解析　因为f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，所以 －6f(x)dx＝2f(x)dx＝8×2＝16.‎ 答案　D ‎2．(2013·唐山模拟)已知f(x)＝2－|x|，则－1f(x)dx等于 (　　)．‎ A．3 B．4 C. D. 解析　f(x)＝2－|x|＝ ‎∴－1f(x)dx＝－1(2＋x)dx＋(2－x)dx＝＋＝＋2＝.‎ 答案　C ‎3．函数f(x)满足f(0)＝0，其导函数f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为 (　　)．‎ A. B. C．2 D. 解析　由导函数f′(x)的图象可知函数f(x)为二次函数，且对称轴为x＝－1，开口方向向上．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，由f(0)＝0，得c＝0.f′(x)＝2ax ‎＋b，因过点(－1,0)与(0,2)，则有∴∴f(x)＝x2＋2x，则f(x)的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为S＝－2(－x2－2x)dx＝＝×(－2)3＋(－2)2＝.‎ 答案　B ‎4．若dx＝3＋ln 2(a>1)，则a的值是 (　　)．‎ A．2 B．3 C．4 D．6‎ 解析　dx＝(x2＋ln x)＝a2＋ln a－1＝3＋ln 2，即a＝2.‎ 答案　A 二、填空题(每小题5分，共10分)‎ ‎5．已知t>0，若(2x－1)dx＝6，则t＝________.‎ 解析　(2x－1)dx＝(x2－x)＝t2－t＝6，‎ 解得t＝3(t＝－2舍去)．‎ 答案　3‎ ‎6．(2012·山东)设a>0，若曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________.‎ 解析　S＝dx＝＝a＝a2，∴a＝.‎ 答案　 三、解答题(共25分)‎ ‎7．(12分)已知f(x)是一次函数，且f(x)dx＝5，xf(x)dx＝，求dx的值．‎ 解　∵f(x)是一次函数，∴可设f(x)＝ax＋b(a≠0)．‎ ‎∴f(x)dx＝(ax＋b)dx＝＝a＋b.‎ ‎∴a＋b＝5.①‎ 又xf(x)dx＝x(ax＋b)dx ‎＝＝a＋b.‎ ‎∴a＋b＝.②‎ 解①②得a＝4，b＝3，∴f(x)＝4x＋3，‎ ‎∴dx＝dx＝dx ‎＝(4x＋3ln x)＝4＋3ln 2.‎ ‎8．(13分)如图所示，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．‎ 解　抛物线y＝x－x2与x轴两交点的横坐标为x1＝0，x2＝1，‎ 所以，抛物线与x轴所围图形的面积 S＝(x－x2)dx＝＝.‎ 又抛物线y＝x－x2与y＝kx两交点的横坐标为 x3＝0，x4＝1－k，所以，‎ ＝∫(x－x2－kx)dx＝ ‎＝(1－k)3.‎ 又知S＝，所以(1－k)3＝，‎ 于是k＝1－ ＝1－.‎ B级　能力突破(时间：30分钟　满分：45分)‎ 一、选择题(每小题5分，共10分)‎ ‎1．由曲线y＝x2＋2x与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为 (　　)．‎ A. B. C. D. 解析　在直角坐标系内，画出曲线和直线围成的封闭图形，如图所示，由x2＋2x＝x，解得两个交点坐标为(－1，－1)和(0,0)，封闭图形的面积为S＝‎ －1[x－(x2＋2x)]dx＝＝－－＝.‎ 答案　A ‎2．(2013·郑州质检)如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线y＝x2和曲线y＝围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形AOBC内随机投一点(该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是 (　　)．‎ A. B. C. D. 解析　依题意知，题中的正方形区域的面积为12＝1，阴影区域的面积等于(－x2)dx＝＝，因此所投的点落在叶形图内部的概率等于，选D.‎ 答案　D 二、填空题(每小题5分，共10分)‎ ‎3．已知f(x)＝若f(x)dx＝(k<2)．则k＝________.‎ 解析　f(x)dx＝(2x＋1)dx＋(1＋x2)dx＝，所以得到k2＋k＝0，即k＝0或k＝－1.‎ 答案　0或－1‎ ‎4．设f(x)＝xn＋ax的导函数为f′(x)＝2x＋1且f(－x)dx＝m，则12展开式中各项的系数和为________．‎ 解析　因为f(x)＝xn＋ax的导函数为f′(x)＝2x＋1.故n＝2，a＝1.所以f(－x)dx＝(x2－x)dx＝＝＝m所以12展开式中各项的系数和为12＝1.‎ 答案　1‎ 三、解答题(共25分)‎ ‎5．(12分)已知f(x)为二次函数，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，‎ f(x)dx＝－2，‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)求f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值．‎ 解　(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.‎ 由f(－1)＝2，f′(0)＝0，‎ 得即 ‎∴f(x)＝ax2＋2－a.‎ 又f(x)dx＝(ax2＋2－a)dx ‎＝＝2－a＝－2，‎ ‎∴a＝6，从而f(x)＝6x2－4.‎ ‎(2)∵f(x)＝6x2－4，x∈[－1,1]．‎ ‎∴当x＝0时，f(x)min＝－4；当x＝±1时，f(x)max＝2.‎ ‎6．(13分)在区间[0,1]上给定曲线y＝x2‎ ‎.试在此区间内确定点t的值，使图中的阴影部分的面积S1与S2之和最小，并求最小值．‎ 解　面积S1等于边长为t与t2的矩形面积去掉曲线y＝x2与x轴、直线x＝t所围成的面积，‎ 即S1＝t·t2－x2dx＝t3.‎ S2的面积等于曲线y＝x2与x轴，x＝t，x＝1围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为t2,1－t，‎ 即S2＝x2dx－t2(1－t)＝t3－t2＋.‎ 所以阴影部分面积S＝S1＋S2＝t3－t2＋(0≤t≤1)．‎ 令S′(t)＝4t2－2t＝4t＝0时，得t＝0或t＝.‎ t＝0时，S＝；t＝时，S＝；t＝1时，S＝.‎ 所以当t＝时，S最小，且最小值为.‎ 特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.‎