【推荐】专题10 立体几何（第01期）-2016-2017学年高三数学（文）期末优质试卷 51页

www.ks5u.com 一．基础题组 ‎1. 【广东湛江市2017届高三上学期期中，4】若直线与平面相交，则（ ）‎ A．平面内存在直线与异面 B．平面内存在唯一直线与平行 ‎ C. 平面内存在唯一直线与垂直 D．平面内的直线与都相交 ‎【答案】A 考点：直线与平面的位置关系.‎ ‎2. 【广东湛江市2017届高三上学期期中，9】已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B．1 C. D．3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由三视图可知，该几何体为一三棱锥，所以其体积为，故选C.‎ 考点：三视图.‎ ‎3. 【四川凉山州2017届高三上学期一诊，6】某四棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由三视图可知，该三棱锥底面是一个等腰直角三角形，直角边长为，该棱锥的高为，所以该三棱锥的体积为，故选A.‎ 考点：三视图.‎ ‎4. 【河北唐山2017届高三上期期末，6】《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为 （ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】B 考点：1、直三棱柱的空间几何体；2、三棱柱的表面积．‎ ‎5. 【天津六校2017届高三上学期期中联考，3】某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为(　)‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎6. 【贵州遵义2017届高三上学期期中联考，7】某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：几何体为一个三棱柱，底面为直角三角形（斜边为4，一角为 ‎），高为4，因此表面积为，选A.‎ 考点：三视图 ‎【名师点睛】(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．‎ ‎7. 【广西柳州2017届高三上学期10月模拟，7】已知长方体同一个顶点的三条棱长分别为2，3,4，则该长方体的外接球的表面积等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎8. 【广西柳州2017届高三上学期10月模拟，8】如图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为的等腰梯形，则该几何体的体积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎9. 【中原名校豫南九校2017届上学期第四次质量考评，4】已知是两条不同直线，是平面，则下列命题是真命题的是（ ）‎ A．若，，则 B．若，，则 ‎ C.若，，则 D．若，，则 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：若，，则有可能；若，，则有可能；若，，则有可能；，所以选B.‎ 考点：线面关系 ‎10. 【云南大理2017届高三上学期第一次统测，10】某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由三视图可知该几何体为底部为正方体，上部为正四棱锥的组合体，所以其体积为,故选B.‎ 考点：三视图与几何体的体积．‎ ‎【方法点睛】本题主要考查了三视图与几何体的体积，考查考生的空间想象能力，属于中档题.解答本题的关键是根据三视图想象出几何体的结构特征，同时要注意三视图之间的关系为“主俯同长，左俯同宽，主左同高”，据此可得几何体中各棱长，最后根据体积公式求解.注意根据三视图求几何体的体积时，要充分利用上述关系，底面积即为俯视图的面积，高为主视图的高.‎ ‎11.【四川2016年普通高考适应性测试，12】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．‎ ‎12. 【天津六校2017届高三上学期期中联考，13】在正三棱柱中，，则与所成角的大小为________． ‎ ‎【答案】90°‎ ‎【解析】‎ 试题分析：过点作平行交CB延长线于M点,连AM，则为与所成角，易求,即与所成角的为 考点：线线角 ‎13. 【广东汕头2017届高三上学期期末，14】一个几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图是两个全等的三角形，俯视图是个圆，则该几何体的体积等于 ．‎ ‎【答案】‎ ‎14. 【四川凉山州2017届高三上学期一诊，13】在棱长为1的正方体中，异面直线与所成角的大小是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：如下图所示，连接，则，所以就是异面直线与所成的角，又，即三角形为等边三角形，所以 ‎，即异面直线与所成的角为.‎ 考点：1.正方体的性质；2.异面直线所成的角.‎ 二．能力题组 ‎1. 【湖南郴州市2017届高三第二次教学质量监测，8】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D 考点：三视图.‎ ‎2. 【河北衡水中学2017届高三上学期五调，9】《九章算术》是我国数学史上堪与欧几里得《几何原本》相媲美的数学名著.其第五卷《商功》中有如下问题：“今有圆堡，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？”这里所说的圆堡就是圆柱体，其底面周长是4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少?若取3，估算该圆堡的体积为（1丈=10尺）（ ）‎ A．1998立方尺 B．2012立方尺 C.2112立方尺 D．2324立方尺 ‎【答案】A 考点：1.数学文化；2.旋转体的表面积与体积.‎ ‎3. 【河北衡水中学2017届高三上学期五调，10】一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A． 24 B．30 C. 48 D．72‎ ‎【答案】C ‎4. 【河北唐山2017届高三上期期末，11】现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为 （ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：当正方体的下底面在半球的大圆面上，上底面的四个顶点在球的表面上时，所得工件体积与原材料体积之比选项取得最大值，此时设正方体的棱长为，则球的半径为，所以所求体积比为，故选A．‎ 考点：1、多面体的外接球；2、球的体积．‎ ‎【技巧点晴】对于几何体的外接球的面积计算的问题，其关键是求出外接球的半径，求解时充分借助正方体和正四棱锥都是对称图形，将球心设在四棱锥与正方体底面的中心的连线上,借助截面圆的圆心与球心连线垂直于截面圆这一事实，运用勾股定理建立．‎ ‎5. 【广东佛山2017届高三教学质量检测（一），11】某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】B 考点：1、几何体的三视图；2、球的表面积．‎ ‎6. 【广东汕头2017届高三上学期期末，11】已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，，，，则此球的表面积等于（ ） ‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由题意知三棱柱是直三棱柱，且底面是直角三角形，，设分别是的中点，是中点，可证就是三棱柱外接球球心，，＝，即，，所以＝＝，故选B．‎ 考点：1、三棱柱的体积；2、球的表面积．‎ ‎【技巧点睛】在确定球心时，注意应用球的一个性质得：如果一个多面体存在外接球，则多面体的各个面一定存在外接圆，球心一定在过此外心且与此平面垂直的直线上，对四面体而言，注意四面体的面是直角三角形的情形．‎ ‎7. 【山东枣庄2017届高三上学期期末，10】《 九章九术》是我国古代数学名著,‎ 它在几何学中的研究比西方早一千多年.例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵中，，若，当阳马体积最大时，则堑堵的体积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】C 考点：空间几何体的体积．‎ ‎8. 【湖南五市十校教研教改共同体2017届高三上学期12月联考，8】如图，小方格是边长为1的正方形，一个几何体的三视图如图，则几何体的表面积为（ ）．‎ ‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：几何体为一个圆锥（高为4，半径为2，母线为 ）与一个正方体（边长为4）的组合，所以表面积为 ，选D.‎ 考点：三视图 ‎【名师点睛】(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．‎ ‎9. 【湖南五市十校教研教改共同体2017届高三上学期12月联考，11】圆锥的母线长为，过顶点的最大截面的面积为，则圆锥底面半径与母线长的比的取值范围是（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D 考点：圆锥曲线轴截面 ‎10. 【安徽“皖南八校”2017届高三第二次联考，12】如图，四棱锥中，为正三角形，四边形为正方形且边长为2，，四棱锥的五个顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由题意球的半径满足,所以球的表面积是 ‎，选D.‎ 考点：球的表面积 ‎【思想点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法 ‎(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．‎ ‎(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．‎ ‎11. 【广东2017届高三上学期阶段性测评，8】三棱柱的侧棱垂直于底面，且，，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】C ‎12. 【中原名校豫南九校2017届上学期第四次质量考评，9】在直三棱柱中，‎ 分别为棱的中点，则平面将三棱柱分成的两部分的体积比为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：设直三棱柱高为，底面积为，则 所以两部分的体积比为，选C.‎ 考点：柱体体积 ‎【思想点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 ‎(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．‎ ‎(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．‎ ‎(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．‎ ‎13. 【中原名校豫南九校2017届上学期第四次质量考评，10】已知某几何体的三视图（单位：）如图所示，则该几何体的表面积是（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎【答案】C 量．‎ ‎(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．‎ ‎(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．‎ ‎14. 【云南大理2017届高三上学期第一次统测，11】已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，为球的直径，若该三棱锥的体积为，，则球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎15. 【广东2017届高三上学期阶段性测评，11】一块边长为的正方形铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形，则该容器的体积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：如图（2），为该四棱锥的正视图，由图（1）可知，，且.‎ 由为等腰直角三角形，可知，.‎ 设中点为，则，∴，‎ ‎∴.选D.‎ 考点：三视图 ‎【名师点睛】(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．‎ ‎16. 【河南豫北名校联盟2017届高三上学期精英对抗赛，15】若某多面体的三视图如图所示（单位：）则此多面体的体积是____________.‎ ‎【答案】‎ ‎17. 【中原名校豫南九校2017届上学期第四次质量考评，15】在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，，，则的最大值是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎18. 【安徽“皖南八校”2017届高三第二次联考，15】某几何体三视图如下，则该几何体体积是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：几何体为一个三棱锥，如图, ，体积是 O D C B A 考点：三视图 ‎【思想点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 ‎(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．‎ ‎(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．‎ ‎(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．‎ ‎19. 【贵州遵义2017届高三上学期期中联考，16】已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为1的正三角形，为球的直径，该三棱锥的体积为，则球的表面积为__________．‎ ‎【答案】‎ 把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．‎ ‎20. 【山东枣庄2017届高三上学期期末，14】如图，网格纸上每个小正方形的边长为，若粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎21. 【湖南郴州市2017届高三第二次教学质量监测，15】底面为正方形，顶点在底面的投影为底面中心的棱锥的五个顶点在同一球面上．若该棱锥的底面边长为，侧棱长为，则这个球的表面积为____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：正四棱锥的外接球的球心在它的高上，，在中，，解得，所以球的表面积.‎ 考点：1.球的切接问题；2.球的表面积.‎ ‎【名师点睛】本题考查球的切接问题与球的表面积，属中档题；球与旋转体的组合，通常通过作出它的轴截面解题；球与多面体的组合，通常通过多面体的一条侧棱和球心或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题.‎ 三、拔高题组 ‎1. 【广东湛江市2017届高三上学期期中，18】（本小题满分12分）‎ 四棱锥的侧面是等边三角形，，，是棱的中点.‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）求四棱锥的体积.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ 又，‎ ‎∴.‎ ‎∴四边形是平行四边形.‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎∴.‎ 理、线面平行的性质、面面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.‎ ‎2. 【河南豫北名校联盟2017届高三上学期精英对抗赛，19】（本小题满分12分）‎ 如图，在直三棱柱中，是的中点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若，求证：.‎ ‎【答案】(1)(2)均见解析.‎ 又因为平面，所以，即.………………12分 考点：1.线面平行的判定与性质；2.线面、面面垂直的判定与性质.‎ ‎3. 【湖南郴州市2017届高三第二次教学质量监测，20】（本小题满分12分）‎ 如图甲，在直角梯形中，，，，，是的中点，是与的交点，将沿折起到的位置，如图乙．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面；‎ ‎（Ⅱ）若平面平面，求点到平面的距离．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.‎ ‎（Ⅱ）解：由已知，，平面平面，，‎ 平面，，……………………………………………………………（7分）‎ ‎，又由（Ⅰ）知，平面，平面，‎ ‎．‎ ‎，．………………………………………………………………………（9分）‎ 设到平面的距离为，且，，，‎ 由得：，…………………………（11分）‎ ‎，故到平面的距离为．………………………………………………………（12分）‎ 考点：1.线面垂直的判定与性质；2.多面体的体积.‎ ‎4. 【四川凉山州2017届高三上学期一诊，19】如图，已知四边形和均为直角梯形，，且，平面平面，．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】(1)见解析；（2）.‎ ‎∴平面，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 考点：1.线面平行的判定与性质；2.线面垂直的判定与性质；3.空间向量的应用.‎ ‎5. 【河北衡水中学2017届高三上学期五调，19】（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为菱形， ，，点在线段上，且，为的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若平面平面，求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎∴.……（9分）‎ ‎∵平面，∴平面.（10分）‎ ‎∵，∴.（12分）‎ ‎【考点】1.线面垂直的判定与性质；2.面面垂直的判定与性质；3.多面体的体积.‎ ‎【名师点睛】本题考查线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定与性质、多面体的体积，属中档题；‎ 证明面面垂直的关键是证明线面垂直，证明线面垂直可由面面垂直得到，但由面面垂直得到线面垂直一定要注意找两个面的交线，否则很容易出现错误．求几何体的体积的方法主要有公式法、割补法、等积法等，本题求三棱锥的体积，采用了等积法．‎ ‎6. 【河北唐山2017届高三上期期末，19】（本小题满分12分）如图，四棱锥中，底面为线段上一点，为的中点． ‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求点到平面的距离．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）．‎ ‎7. 【广东佛山2017届高三教学质量检测（一），19】（本小题满分12分）如图，四棱锥中，为正三角形，，，，，为棱的中点.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若，求点到平面的距离.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）．‎ ‎（2）因为，，所以，‎ 又，，所以平面，‎ 由（1）知，所以平面，‎ 所以为三棱锥的高，且.………………7分 易得的面积.………………………………8分 在中，，.…………………………9分 在矩形中，，，所以，‎ 在中，，，，由平几知识可求得边上的高；‎ 所以的面积.……………………10分 设点到平面的距离为，由得，……11分 即，解得.‎ 所以点到平面的距离为.……………………………………12分 考点：1、面面垂直的判定定理；2、三棱锥的体积．‎ ‎【方法点睛】立体几何多以推理论证与计算相结合，证明问题考查线线，线面，面面的平行与垂直关系为主，计算以求长度、体积和面积问题为主.解决问题时要结合线线、线面、面面平行与垂直的判定与性质定理，恰当把空间转化为平面，特别是定量运算多是转化到一个三角形中来解决．‎ ‎8. 【广东汕头2017届高三上学期期末，19】（本小题满分12分）已知如图正四面体的侧面积为，为底面正三角形的中心.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求点到侧面的距离.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）．‎ 解法二： 连结，则，‎ 由题意可知点在上，设正四面体的棱长为，．‎ 正四面体的侧面积为，，．‎ 在等边三角形中，是的中点，．‎ 为底面正三角形的中心，‎ ‎，，‎ 在中，．‎ ‎，‎ ‎．‎ 设点到侧面的距离为，‎ 由得，，‎ ‎，即点到侧面的距离为.‎ 考点：1、空间直线与直线的位置关系；2、点到平面的距离．‎ ‎9. 【山东枣庄2017届高三上学期期末，19】（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧面是直角三角形，，点是的中点，且平面平面.求证:‎ ‎（1）平面；‎ ‎（2）平面.‎ ‎【答案】【答案】(1)见解析；(2) 见解析．‎ 注： 不写条件平面平面,各扣 1 分.‎ ‎(2) 因为平面平面平面,平面平面,‎ 所以平面,所以.‎ 因为底面是菱形, 所以.‎ 又,所以平面.‎ 考点：1、线面平行的判定定理；2、线面垂直的判定定理．‎ ‎10. 【天津六校2017届高三上学期期中联考，17】（本题13分）如图，四棱锥中，平面为线段上一点，为的中点．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求四面体的体积．‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）‎ 考点：线面平行判定定理，三棱锥体积 ‎【思想点睛】求空间几何体体积的思想与方法 ‎①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．‎ ‎11. 【湖南五市十校教研教改共同体2017届高三上学期12月联考，19】（本小题满分12分）‎ 在多面体中，四边形与是边长均为的正方形，四边形是直角梯形，，且．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若，求四棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）‎ ‎（1）证明：连接，由可知：‎ ‎；，‎ 可得，从而．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 ‎∵，∴平面，‎ 又∵，∴平面，∴，∴平面，‎ ‎∵平面，∴平面平面．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ‎12. 【贵州遵义2017届高三上学期期中联考，19】（本小题满分12分）‎ 如图，四边形是边长为2的菱形，平面，为的中点．　‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若，求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）1‎ ‎（2）解：∵四边形是边长为2的菱形，‎ ‎∴，‎ ‎∵平面，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∵，∴，∴，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　9分 ‎．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：面面垂直判定定理，锥的体积 ‎【思想点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 ‎(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．‎ ‎(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．‎ ‎(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．‎ ‎13. 【四川2016年普通高考适应性测试，19】（本小题满分12分）‎ 如图，在边长为2的正方形中，点，分别是，的中点，将分别沿，折起，使两点重合于.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求四棱锥的体积.‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）‎ ‎14. 【安徽“皖南八校”2017届高三第二次联考，19】（本小题满分12分）‎ 如图，四棱锥中，底面四边形为菱形，.‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）若，，求四棱锥的体积.‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）2‎ 考点：线面垂直性质定理，棱锥体积 ‎【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.‎ ‎(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.‎ ‎(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.‎ ‎(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.‎ ‎15. 【广东2017届高三上学期阶段性测评，20】（本小题满分12分）‎ 如图，三棱锥中，，底面为正三角形.‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）若平面，，，求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）‎ ‎（Ⅱ）平面且交于，，‎ ‎∴，即为三棱锥的高.‎ 又，，，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ 则三棱锥的体积为.………………………………12分 考点：线面垂直性质与判定定理，锥的体积 ‎【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.‎ ‎(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.‎ ‎(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.‎ ‎(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.‎ ‎16. 【广西柳州2017届高三上学期10月模拟，19】在直三棱柱中，，，，，、分别是，的中点．‎ ‎（1）证明：⊥平面；‎ ‎（2）设是的中点，求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）‎ 过作交与，则⊥平面，‎ 在等边△中可知⊥，∴，‎ 在中，可得，‎ ‎．‎ 考点：线面垂直判定定理，锥的体积 ‎【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.‎ ‎(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.‎ ‎(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.‎ ‎(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.‎ ‎17. 【中原名校豫南九校2017届上学期第四次质量考评，20】（本小题满分12分）‎ 如图，在矩形中，，，分别为中点，点是上一个动点.‎ ‎（1）当是中点时，求证：平面平面；‎ ‎（2）当时，求的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）‎ 考点：面面平行判定定理，线面垂直判定与性质定理 ‎【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.‎ ‎(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.‎ 在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，且，分别为的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若，求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ 由平面得，‎ 所以．．．．．．．．．．．．．．．11分 从而 …………………12分 考点：空间中的平行与垂直关系及棱锥的体积.‎ ‎ ‎