高中数学 第二章 推理与证明单元综合测试 新人教版选修2-2 9页

‎【名师一号】2014-2015学年高中数学 第二章 推理与证明单元综合测试 新人教版选修2-2 ‎ ‎(时间：120分钟，满分：150分)‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．若实数a，b满足b>a>0，且a＋b＝1，则下列四个数最大的是(　　)‎ A．a2＋b2　　　　　　　 B．2ab C. D．a 答案　A ‎2．下面用“三段论”形式写出的演练推理：因为指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数，y＝()x是指数函数，所以y＝()x在(0，＋∞)上是增函数．‎ 该结论显然是错误的，其原因是(　　)‎ A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．以上都可能 解析　大前提是：指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数，这是错误的．‎ 答案　A ‎3．设a，b，c都是非零实数，则关于a，bc，ac，－b四个数，有以下说法：‎ ‎①四个数可能都是正数；②四个数可能都是负数；③四个数中既有正数又有负数．‎ 则说法中正确的个数有(　　)‎ A．0　　　　 B．1 ‎ C．2　　　　 D．3‎ 解析　可用反证法推出①，②不正确，因此③正确．‎ 答案　B ‎4．下面使用类比推理正确的是(　　)‎ A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类比推出“若a·0＝b·0，则a＝b”‎ B．“(a＋b)·c＝ac＋bc”类比推出“(a·b)·c＝ac·bc”‎ C．“(a＋b)·c＝ac＋bc”类比推出“＝＋(c≠0)”‎ D．“(ab)n＝anbn”类比推出“(a＋b)n＝an＋bn”‎ 解析　由类比出的结果应正确知选C.‎ 答案　C ‎5．在证明命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的过程：cos4θ－sin4θ ‎＝(cos2θ＋sin2θ)(cos2θ－sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ中应用了(　　)‎ A．分析法 B．综合法 C．分析法和综合法综合使用 D．间接证法 答案　B ‎6．已知f(x)＝sin(x＋1)－cos(x＋1)，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2011)＝(　　)‎ A．2 B. C．－ D．0‎ 解析　∵f(x)＝2[sin(x＋1)－cos(x＋1)]＝2sinx，∴周期T＝6，且f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝2(＋＋0－－＋0)＝0，∴f(2011)＝f(6×335＋1)＝f(1)＝2sin＝.‎ 答案　B ‎7．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋1)，由n＝k(k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数为(　　)‎ A．2k－1 B．2k＋1‎ C．2k－1 D．2k 解析　当n＝k＋1时，左边＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋，所以增加的项数为(2k＋1－1)－2k＋1＝2k＋1－2k＝2k.‎ 答案　D ‎8．若数列{an}是等比数列，则数列{an＋an＋1}(　　)‎ A．一定是等比数列 B．一定是等差数列 C．可能是等比数列也可能是等差数列 D．一定不是等比数列 解析　设等比数列{an}的公比为q，则 an＋an＋1＝an(1＋q)．‎ ‎∴当q≠－1时，{an＋an＋1}一定是等比数列；‎ 当q＝－1时，an＋an＋1＝0，此时为等差数列．‎ 答案　C ‎9．如果a，b为非零实数，则不等式>成立的充要条件是(　　)‎ A．a>b且ab<0 B．a0‎ C．a>b，ab<0或ab>0 D．a2b－ab2<0‎ 解析　∵ab≠0，∴>⇔－>0⇔>0⇔(b－a)ab>0⇔ab2－a2b>0⇔a2b－ab2<0.‎ 答案　D ‎10．由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是(　　)‎ A．平行四边形的对角线相等 B．正方形的对角线相等 C．正方形是平行四边形 D．以上都不是 解析　大前提②，小前提③，结论①.‎ 答案　B ‎11．观察下表：‎ ‎ 1　 2　 3　 4……第一行 ‎ 2 3 4 5……第二行 ‎ 3 4 5 6……第三行 ‎ 4 5 6 7……第四行 ‎⋮ ⋮ ⋮ ⋮‎ ‎⋮ ⋮ ⋮ ⋮‎ 第一列 第二列 第三列 第四列 根据数表所反映的规律，第n行第n列交叉点上的数应为(　　)‎ A．2n－1　　　　　　　　　 B．2n＋1‎ C．n2－1 D．n2‎ 解析　观察数表可知，第n行第n列交叉点上的数依次为1,3,5,7，…，2n－1.‎ 答案　A ‎12．对于任意的两个实数对(a，b)和(c，d)，规定：(a，b)＝(c，d)当且仅当a＝c，b＝d；运算“⊗”为：(a，b)⊗(c，d)＝(ac－bd，bc＋ad)；运算“⊕”为：(a，b)⊕(c，d)＝(a＋c，b＋d)．设p，q∈R，若(1,2)⊗(p，q)＝(5,0)，则(1,2)⊕(p，q)等于(　　)‎ A．(4,0) B．(2,0)‎ C．(0,2) D．(0，－4)‎ 解析　由(1,2)⊗(p，q)＝(5,0)，得 ⇒ 所以(1,2)⊕(p，q)＝(1,2)⊕(1，－2)＝(2,0)．‎ 答案　B 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)‎ ‎13．已知a>0，b>0，m＝lg，n＝lg，则m，n的大小关系是________．‎ 解析　ab>0⇒>0⇒a＋b＋2>a＋b⇒(＋)2>()2⇒＋>⇒>⇒lg>lg.‎ 答案　m>n ‎14．在正三角形中，设它的内切圆的半径为r，容易求得正三角形的周长C(r)＝6r，面积S(r)＝3r2，发现S′(r)＝C(r)．这是平面几何中的一个重要发现．请用类比推理的方法猜测对空间正四面体存在的类似结论为________．‎ 解析　设正四面体的棱长为a，内切球的半径为r，利用等积变形易求得正四面体的高h＝4r.由棱长a，高h和底面三角形外接圆的半径构成直角三角形，得a2＝(4r)2＋2，解得a＝2r.于是正四面体的表面积S(r)＝4××(2r)2×sin60°＝24r2，体积V(r)＝××(2r)2×sin60°×4r＝8r3，所以V′(r)＝24r2＝S(r)．‎ 答案　V′(r)＝S(r)‎ ‎15．观察下列等式：‎ ‎12＝1‎ ‎12－22＝－3‎ ‎12－22＋32＝6‎ ‎12－22＋32－42＝－10‎ ‎…‎ 照此规律，第n个等式为________________．‎ 解析　分n为奇数、偶数两种情况．第n个等式的左边为12－22＋32－…＋(－1)n－1n2.‎ 当n为偶数时，分组求和(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n－1)2－n2]＝－[3＋7＋…＋(2n－1)]＝－.‎ 当n为奇数时，(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n－1)2－n2]＋n2＝－＋n2＝‎ eq f(n(n＋1),2).‎ 综上，第n个等式：12－22＋32－…＋(－1)n－1n2＝‎ n(n＋1)．‎ 答案　12－22＋32－…＋(－1)n－1n2＝n(n＋1)‎ ‎16．对于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别对应垂直，那么这两个角相等或互补”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“_________________________________________”．‎ 答案　如果两个二面角的两个半平面分别对应垂直，那么这两个二面角相等或互补 三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(10分)已知00，‎ ‎∴要证＋≥9，‎ 只需证1－a＋‎4a≥‎9a(1－a)，‎ 即证1＋‎3a≥‎9a(1－a)，‎ 即证‎9a2－‎6a＋1≥0，‎ 即证(‎3a－1)2≥0，‎ 上式显然成立．‎ ‎∴原命题成立．‎ 证法2　(综合法)‎ ‎ ∵(‎3a－1)2≥0，‎ 即‎9a2－‎6a＋1≥0，‎ ‎∴1＋‎3a≥‎9a(1－a)．‎ ‎∵00，‎ ‎∴(‎3a－1)2<0，与(‎3a－1)2≥0相矛盾，‎ ‎∴原命题成立．‎ ‎18．(12分)下列推理是否正确？若不正确，指出错误之处．‎ ‎(1) 求证：四边形的内角和等于360°.‎ 证明：设四边形ABCD是矩形，则它的四个角都是直角，有∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝90°＋90°＋90°＋90°＝360°，所以四边形的内角和为360°.‎ ‎(2) 已知和都是无理数，试证：＋也是无理数．‎ 证明：依题设和都是无理数，而无理数与无理数之和是无理数，所以＋必是无理数．‎ ‎(3) 已知实数m满足不等式(‎2m＋1)(m＋2)<0，用反证法证明：关于x的方程x2＋2x＋5－m2＝0无实根．‎ 证明：假设方程x2＋2x＋5－m2＝0有实根．由已知实数m满足不等式(‎2m＋1)(m＋2)<0，解得－20，则 －≥a＋－2.‎ 证明　∵a>0，要证 －≥a＋－2，‎ 只需证 ＋2≥a＋＋，‎ 只需证( ＋2)2≥(a＋＋)2，‎ 即证a2＋＋4＋4 ≥a2＋＋4＋2(a＋)，‎ 即证 ≥(a＋)，‎ 即证a2＋≥(a2＋＋2)，‎ 即证a2＋≥2，‎ 即证(a－)2≥0，‎ 该不等式显然成立．‎ ‎∴ －≥a＋－2.‎ ‎21．(12分)如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分别为AE，AB的中点．‎ ‎(1)证明：PQ∥平面ACD；‎ ‎(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值．‎ 解　(1)证明：∵P，Q分别为AE，AB的中点，‎ ‎∴PQ∥EB，又DC∥EB.‎ ‎∴PQ∥DC，而PQ⊄平面ACD，‎ DC⊂平面ACD，∴PQ∥平面ACD.‎ ‎(2)如图，连接CQ，DP，‎ ‎∵Q为AB的中点，且AC＝BC，‎ ‎∴CQ⊥AB.‎ ‎∵DC⊥平面ABC，EB∥DC，∴EB⊥平面ABC.‎ ‎∴CQ⊥EB，故CQ⊥平面ABE.‎ 由(1)知，PQ∥DC，又PQ＝EB＝DC，‎ ‎∴四边形CQPD为平行四边形．‎ ‎∴DP⊥平面ABE.‎ 故∠DAP为AD与平面ABE所成角．‎ 在Rt△DAP中，AD＝，DP＝1，‎ ‎∴sin∠DAP＝.‎ 因此AD与平面ABE所成角的正弦值为.‎ ‎22．(12分)已知f(x)＝(x≠－，a>0)，且f(1)＝log162，f(－2)＝1.‎ ‎(1)求函数f(x)的表达式；‎ ‎(2)已知数列{xn}的项满足xn＝(1－f(1))(1－f(2))…(1－f(n))，试求x1，x2，x3，x4；‎ ‎(3)猜想{xn}的通项公式，并用数学归纳法证明．‎ 解　(1) 把f(1)＝log162＝，f(－2)＝1，代入函数表达式得 即 解得(舍去a＝－<0)，‎ ‎∴f(x)＝(x≠－1)．‎ ‎(2) x1＝1－f(1)＝1－＝，‎ x2＝(1－f(1))(1－f(2))‎ ‎＝×(1－)＝，‎ x3＝(1－f(3))＝×(1－)＝，‎ x4＝×(1－)＝.‎ ‎(3) 由(2)知，x1＝，x2＝＝，x3＝，x4＝＝，…，由此可以猜想xn＝.‎ 证明：①当n＝1时，∵x1＝，而＝，∴猜想成立．‎ ‎②假设当n＝k(k∈N*)时，xn＝成立，‎ 即xk＝，则n＝k＋1时，‎ xk＋1＝(1－f(1))(1－f(2))…(1－f(k))·‎ ‎(1－f(k＋1))‎ ‎＝xk·(1－f(k＋1))‎ ‎＝·[1－]‎ ‎＝· ‎＝·＝.‎ ‎∴当n＝k＋1时，猜想也成立，根据①②可知，对一切n∈N*，猜想xn＝都成立．‎