数学卷·2018届山西省右玉一中高二上学期期中考试数学试题 （解析版） 17页

全*品*高*考*网， 用后离不了！山西省右玉一中2016-2017学年高二上学期期中考试 数学试题 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.正方形绕某一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是（ ）‎ A．圆柱 B．圆锥 C．圆台 D．两个圆锥 ‎【答案】D 考点：旋转体.‎ ‎【易错点晴】一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体.等腰三角形绕过底边上的高的直线旋转一周构成的图形性就是一个旋转体——圆锥.还有圆柱、圆台、球等都是旋转体.圆绕过圆心的直线旋转一周所成的球.‎ ‎2.若直线的倾斜角为，则（ ）‎ A． B． C． D．不存在 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：垂直于轴，倾斜角为.‎ 考点：倾斜角.‎ ‎3.平面与平面平行的条件可以是（ ）‎ A．内有无数条直线都与平行 B．直线，直线，且 C．内的任何直线都与平行 D．直线，且直线不在内，也不在内 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：C选项是面面平行的定义，A，B，D都可能相交，故选C.‎ 考点：面面平行.‎ ‎4.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）‎ ‎①若，则； ②若，则；‎ ‎③若，则； ④若，则.‎ A．①② B．③④ C. ①③ D．②④‎ ‎【答案】D 考点：空间点线面位置关系.‎ ‎5.三角形的斜二侧直观图如图所示，则三角形的面积为（ ）‎ A．1 B．2 C. D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：原图的面积是斜二测面积的倍.本题斜二测图形面积为，故原图面积为.‎ 考点：斜二测法.‎ ‎6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）‎ A．16 B．26 C. 32 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由图可知，该几何体为三棱锥，直观图故下图所示，由图可知，表面积为.‎ 考点：三视图.‎ ‎7.已知过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则（ ）‎ A． B．1 C. 2 D．‎ ‎【答案】C 考点：直线与圆的位置关系.‎ ‎8.设是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（ ）‎ A．6 B．4 C. 3 D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：圆心到直线的距离为，所以最小值为.‎ 考点：直线与圆的位置关系.‎ ‎9.一只蚂蚁从正方体的顶点处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达 顶点位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（ ）‎ A．①② B．①③ C. ③④ D．②④‎ ‎【答案】D 考点：最短距离.‎ ‎10.在正方体中，为的中点，为底面的中心，为棱上 任意一点，则直线与直线所成的角是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：取中点，则，，∴，在正方形中，，∴，∴，又∴，∴，又，∴.故选D.‎ 考点：线线角.‎ ‎11.设点，若直线与线段没有交点，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】B 考点：两条直线的位置关系.‎ ‎【思路点晴】直线与线段没有交点，则先求出有交点时斜率的取值范围，然后取补集，就能得到没有交点时的取值范围. 解决两直线的位置关系问题要根据已知直线方程的形式灵活选用相应的条件，显然该题中直接利用一般式方程对应的条件更为简洁．另外利用直线的斜率和截距讨论时，不要忘记斜率不存在时的讨论．‎ ‎12.三棱锥中，，则该三棱镜外接 球的表面积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：，∴是三棱锥的外接球直径；中，，∴，可得外接球半径，∴外接球的表面积，故选A.‎ 考点：几何体表面积.‎ ‎【思路点晴】设几何体底面外接圆半径为,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求;而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求.若长方体长宽高分别为则其体对角线长为;长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心. 三棱锥三条侧棱两两垂直,且棱长分别为，则其外接球半径公式为: .‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）‎ ‎13.已知直线与两坐标轴围成的三角形面积不大于1，则实数的取值范围 是 ．‎ ‎【答案】‎ 考点：直线方程.‎ ‎14.当直线被圆截得的弦长最短时，的值 为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：直线过定点 ‎，且该点在圆内，则当直线过定点且圆心连线垂直时得到的弦长最短，定点与圆心连线的斜率，所以所求斜率.‎ 考点：直线与圆的位置关系.‎ ‎15.如图，在直三棱柱中，，分别是和的 中点，则直线与平面所成的角为 ．‎ ‎【答案】‎ 考点：线面角.‎ ‎【思路点晴】过不平行于平面的直线上一点作平面的垂线，这条直线与平面的交点与原直线与平面的交点的连线与原直线构成的（这条线与原直线的夹角的余角线面）即为夹角，夹角范围：.在解答题目的过程中，首先将线面角作出来，一般是利用平面的垂线来作角.作出角后，利用解直角三角形来求角的某个三角函数值.‎ ‎16.已知垂直竖在水平地面上相距20米的两根旗杆的高度分别为10米和15米，地面上的动点到 旗杆顶点的仰角相等，则点的轨迹是 ．‎ ‎【答案】圆 ‎【解析】‎ 试题分析：如图所示，,，所以，即，所以点的轨迹是圆.‎ 考点：轨迹．‎ ‎【思路点晴】平面内与两个定点的距离的比值等于常数（大于零且不等于）的点的轨迹是圆.此轨迹也称为阿波罗尼斯圆.如果比值等于，则轨迹为垂直平分线.常见圆锥曲线的定义要熟记，如椭圆的定义是动点到两个定点的距离只和是常数；双曲线是到两个定点距离之差的绝对值是常数；圆锥曲线的统一定义是动点到定点和定直线的距离之比是常数.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 一个几何体的三视图如图所示（单位长度为：）‎ ‎（1）求该几何体的体积；‎ ‎（2）求该几何体的表面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由图知该几何体是一个上面是正四棱锥，下面是一个正方体的组合体.由此求得几何体的体积为；（2）正方体部分一共个面，面积是.四棱锥的侧面三角形的高，所以四棱锥侧面积为 ，所以表面积为.‎ 考点：三视图，立体几何求表面积和体积.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 已知圆，点，求：‎ ‎（1）过点的圆的切线方程；‎ ‎（2）点是坐标原点，连接，求的面积.‎ ‎【答案】（1）或；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）圆配方得，圆心为，半径为，所以直线是圆的切线.当切线斜率存在时，设斜率为，方程为，利用圆心到直线的距离公式，求得，直线方程为或；（2），圆心到直线的距离为，由此求得面积为.‎ 试题解析：‎ ‎（1）.‎ 当切线的斜率不存在时，有直线到直线的距离为1，满足条件.‎ 当存在时，设直线方程，‎ 即，解得.‎ ‎∴直线方程为或.‎ （2） ‎，‎ ‎，‎ 点到直线的距离，‎ ‎.‎ 考点：直线与圆的位置关系.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 已知圆为圆上任一点.‎ ‎（1）求的最大值与最小值；‎ ‎（2）求的最大值与最小值.‎ ‎【答案】（1）最大值是，最小值是；（2）最大值是，最小值是.‎ 试题解析：‎ ‎（1）显然可以看作是点与点连线的斜率.令，如图所示，则其最大、最小值分别是过点的圆的两条切线的斜率.‎ 对上式整理得，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ 故的最大值是，最小值是.‎ 考点：直线与圆的位置关系.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 如图，在棱长为的正方体中，分别是的中点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求的长；‎ ‎（3）求证：.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用中位线，证明即可证得；（2）由（1）知；（3）利用中位线，证明且，所以四边形为平行四边形，故,所以. ‎ 试题解析：‎ 法二 取的中点，连接，‎ 则有，且，‎ ‎∴.‎ 又，∴.‎ （2） 由（1）易知.‎ （3） 证明：法一 取的中点，‎ 连接，则有.‎ 又，‎ ‎∴.‎ ‎∴四边形为平行四边形，∴，‎ 又，‎ ‎∴.‎ 考点：证明线面平行.‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知圆，问是否存在斜率为1的直线，使被圆截得弦，且以为直径 的圆经过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】存在这样的直线为或.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设直线的方程为，联立直线的方程和圆的方程，利用根与系数关系，写出两点坐标的关系，代入，求出截距或.‎ 试题解析：‎ 设直线的方程为，‎ 则，‎ 消元得.‎ 设此方程两根为，‎ 则，‎ 则，‎ ‎.‎ 以为直径的圆过原点，‎ ‎∴.‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 即，‎ ‎∴，‎ ‎∴或.‎ 又，‎ 经检验当或时满足.‎ ‎∴存在这样的直线为或.‎ 考点：直线与圆的位置关系.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查化归与转化的数学思想方法.直线知道斜率，设其斜截式方程.联立直线的方程和圆的方程，利用根与系数关系写出的值.先假设存在弦，以为直径的圆经过原点，转化为，这个方程只含有一个未知数，由此解出这个未知数的值就是截距.最后要验证交点个数.‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，，侧棱，底面为直角 梯形，其中，为中点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求异面直线与所成角的余弦值；‎ ‎（3）线段上是否存在，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请 说明理由.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，.‎ 试题解析：‎ ‎（1）证明：在中，为中点，所以.‎ 又，‎ 所以.‎ ‎（2）解：连接，在直角梯形中，，‎ 有且，所以四边形是平行四边形，‎ 所以.‎ 由（1）知，为锐角，‎ 所以是异面直线与所成的角.‎ 因为，在中，，所以，‎ 在中，因为，所以，‎ 在中，，所以，‎ 所以异面直线与所成的角的余弦值为.‎ 考点：证明线面垂直，求线线角，求体积.‎ ‎【方法点晴】要证明线面垂直，一种思路是利用线面垂直的性质定理来证明，即：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.另一个思路是利用面面垂直的性质定理来证明，即：如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.要求线面角，则先利用线面角的定义，结合第一问给的线面垂直的条件，将角作出来，再求其三角函数值.‎ ‎ ‎