数学卷·2018届湖北省宜昌市金东方高中、三峡高中高二上学期11月联考数学试卷（理科）（解析版） 23页

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年湖北省宜昌市金东方高中、三峡高中高二（上）11月联考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．已知集合A={x∈R|＜2x＜8}，B={x∈R|﹣1＜x＜m+1}，若x∈B成立的一个充分不必要的条件是x∈A，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．m≥2 B．m≤2 C．m＞2 D．﹣2＜m＜2‎ ‎2．已知等比数列{an}的公比q＞1，a1+a4=18，a2•a3=32，则数列{an}的前8项和为（　　）‎ A．514 B．513 C．512 D．510‎ ‎3．函数f（x）=ex+4x﹣3的零点所在的大致区间是（　　）‎ A．（﹣，0） B．（0，） C．（，） D．（，）‎ ‎4．已知函数f（x）=2x，若从区间[﹣2，2]上任取一个实数x，则使不等式f（x）＞2成立的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．执行如图所示程序框图，则输出a=（　　）‎ A．20 B．14 C．10 D．7‎ ‎6．已知某几何体的三视图如图所示，其中，正（主）视图，侧（左）视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（　　）‎ A．﹣或﹣ B．﹣或﹣ C．﹣或﹣ D．﹣或﹣‎ ‎8．已知，则=（　　）‎ A．﹣2008 B．2008 C．2010 D．﹣2010‎ ‎9．直线2ax+2y﹣a﹣1=0与不等式组表示的区域没有公共点，则a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣1，﹣） B．（，1） C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣，+∞） D．（﹣∞，﹣5）∪（﹣1，+∞）‎ ‎10．已知数列{an}，a1=1，前n项和为Sn，且点P（an，an+1）（n∈N*）在直线x﹣y+1=0上，则=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（　　）‎ A．πa2 B． C． D．5πa2‎ ‎12．若以曲线y=f（x）上任意一点M1（x1，y1）为切点作切线l1，曲线上总存在异于M的点N（x2，y2），以点N为切点做切线l2，且l1∥l2，则称曲线y=f（x）具有“可平行性”，现有下列命题：①偶函数的图象都具有“可平行性”；②函数y=sinx的图象具有“可平行性”；③三次函数f（x）=x3﹣x2+ax+b具有“可平行性”，且对应的两切点M（x1，y1），N（x2，y2）的横坐标满足；④要使得分段函数的图象具有“可平行性”，当且仅当实数m=1．‎ 以上四个命题真命题的个数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上）‎ ‎13．某单位为了了解用电量y度与气温x°C之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：‎ 气温（°C）‎ ‎18‎ ‎13‎ ‎10‎ ‎﹣1‎ 用电量（度）‎ ‎24‎ ‎34‎ ‎38‎ ‎64‎ 由表中数据得线性回归方程中b=﹣2，预测当气温为﹣4°C时，用电量的度数约为　　．‎ ‎14．在△ABC中，A、B、C是三角形的三内角，a、b、c是三内角对应的三边，已知，b2+c2﹣a2=bc，sin2A+sin2B=sin2C．则角B为　　．‎ ‎15．若∃x0∈[1，2]，使不等式成立，则m的取值范围是　　．‎ ‎16．已知圆C：x2+y2=1，点P（x0，y0）在直线x﹣y﹣2=0上，O为坐标原点，若圆C上存在一点Q，使∠OPQ=30°，则x0的取值范围是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．已知A、B、C为△ABC的三个内角，他们的对边分别为a、b、c，且 ‎．‎ ‎（1）求A；‎ ‎（2）若，求bc的值，并求△ABC的面积．‎ ‎18．已知p：|3x﹣4|＞2，＞0，r：（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0，‎ ‎（1）¬p是¬q的什么条件？‎ ‎（2）若¬r是¬p的必要非充分条件，试求实数a的取值范围．‎ ‎19．某校高一（2）班共有60名同学参加期末考试，现将其数学学科成绩（均为整数）分成六个分数段[40，50），[50，60），…，[90，100]，画出如如图所示的部分频率分布直方图，请观察图形信息，回答下列问题：‎ ‎（1）求70～80分数段的学生人数；‎ ‎（2）估计这次考试中该学科的优分率（80分及以上为优分）、中位数、平均值；‎ ‎（3）现根据本次考试分数分成下列六段（从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第六组）为提高本班数学整体成绩，决定组与组之间进行帮扶学习．若选出的两组分数之差大于30分（以分数段为依据，不以具体学生分数为依据），则称这两组为“最佳组合”，试求选出的两组为“最佳组合”的概率．‎ ‎20．如图所示，正四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为．‎ ‎（1）求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小；‎ ‎（2）若E是PB的中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；‎ ‎（3）问在棱AD上是否存在一点F，使EF⊥侧面PBC，若存在，试确定点F的位置；若不存在，说明理由．‎ ‎21．记事件A为“直线ax﹣by=0与圆（x﹣2）2+y2=6相交”．‎ ‎（1）若将一颗骰子先后掷两次得到的点数分别记为a，b，求事件A发生的概率．‎ ‎（2）若实数a、b满足（a﹣）2+（b﹣1）2≤4，求事件A发生的概率．‎ ‎22．已知二次函数g（x）对任意实数x都满足g（x）=g（1﹣x），g（x）的最小值为﹣且g（1）=﹣1．令f（x）=g（x+）+mlnx+（m∈R，x＞0）．‎ ‎（1）求g（x）的表达式；‎ ‎（2）若∃x＞0使f（x）≤0成立，求实数m的取值范围；‎ ‎（3）设1＜m≤e，H（x）=f（x）﹣（m+1）x，证明：对∀x1、x2∈[1，m]，恒有|H（x1）﹣H（x2）|＜1．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年湖北省宜昌市金东方高中、三峡高中高二（上）11月联考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．已知集合A={x∈R|＜2x＜8}，B={x∈R|﹣1＜x＜m+1}，若x∈B成立的一个充分不必要的条件是x∈A，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．m≥2 B．m≤2 C．m＞2 D．﹣2＜m＜2‎ ‎【考点】子集与真子集．‎ ‎【分析】先化简集合，再由x∈B成立的一个充分不必要的条件是x∈A，A是B的一个子集求解．‎ ‎【解答】解：A={x∈R|＜2x＜8}={x|﹣1＜x＜3}，‎ ‎∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，‎ ‎∴A⊊B，‎ ‎∴m+1＞3，即m＞2．‎ 故选C ‎　‎ ‎2．已知等比数列{an}的公比q＞1，a1+a4=18，a2•a3=32，则数列{an}的前8项和为（　　）‎ A．514 B．513 C．512 D．510‎ ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】由题意可得，解方程组可得a1和q的值，代入等比数列的求和公式计算可得答案．‎ ‎【解答】解：由题意可得，‎ 解得或．‎ ‎∵公比q＞1‎ ‎∴a1和q的值分别为2和2．‎ ‎∴{an}的前8项和S8=．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎3．函数f（x）=ex+4x﹣3的零点所在的大致区间是（　　）‎ A．（﹣，0） B．（0，） C．（，） D．（，）‎ ‎【考点】函数零点的判定定理．‎ ‎【分析】确定f（0）=1﹣3=﹣2＜0，f（）=﹣1＞0，f（）=＜0，f（1）=e+4﹣3=e+1＞0，根据零点存在定理，可得结论．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=ex+4x﹣3在R上是增函数，‎ 求解：f（0）=1﹣3=﹣2＜0，f（）=﹣1＞0，f（）=＜0，f（1）=e+4﹣3=e+1＞0，‎ ‎∴根据零点存在定理，可得函数f（x）=2x+3x﹣4的零点所在的大致区间是（，）‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．已知函数f（x）=2x，若从区间[﹣2，2]上任取一个实数x，则使不等式f（x）＞2成立的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】由题意，本题符合几何概型的特点，只要求出区间长度，由公式解答．‎ ‎【解答】解：已知区间[﹣2，2]长度为4，‎ 满足f（x）＞2，f（x）=2x＞2，解得1＜x≤2，对应区间长度为1，‎ 由几何概型公式可得，使不等式f（x）＞2成立的概率P=．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎5．执行如图所示程序框图，则输出a=（　　）‎ A．20 B．14 C．10 D．7‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，i的值，当i=2016时，不满足条件i≤2015，退出循环，输出a的值为10．‎ ‎【解答】解：模拟执行程序框图，可得 a=10，i=1‎ 满足条件i≤2015，不满足条件a是奇数，a=5，i=2‎ 满足条件i≤2015，满足条件a是奇数，a=14，i=3‎ 满足条件i≤2015，不满足条件a是奇数，a=7，i=4‎ 满足条件i≤2015，满足条件a是奇数，a=20，i=5‎ 满足条件i≤2015，不满足条件a是奇数，a=10，i=6‎ 满足条件i≤2015，不满足条件a是奇数，a=5，i=7‎ 满足条件i≤2015，满足条件a是奇数，a=14，i=8‎ ‎…‎ 观察规律可知，a的取值以5为周期，由2015=403×5可得 满足条件i≤2015，不满足条件a是奇数，a=10，i=2016‎ 不满足条件i≤2015，退出循环，输出a的值为10．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎6．已知某几何体的三视图如图所示，其中，正（主）视图，侧（左）视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】先由三视图还原成原来的几何体，再根据三视图中的长度关系，找到几何体中的长度关系，进而可以求几何体的体积．‎ ‎【解答】解：由三视图可得该几何体的上部分是一个三棱锥，下部分是半球，‎ 所以根据三视图中的数据可得：‎ V=××‎ ‎=，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎7．一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（　　）‎ A．﹣或﹣ B．﹣或﹣ C．﹣或﹣ D．﹣或﹣‎ ‎【考点】圆的切线方程；直线的斜率．‎ ‎【分析】点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x﹣2），利用直线与圆相切的性质即可得出．‎ ‎【解答】解：点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），‎ 故可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x﹣2），化为kx﹣y﹣2k﹣3=0．‎ ‎∵反射光线与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，‎ ‎∴圆心（﹣3，2）到直线的距离d==1，‎ 化为24k2+50k+24=0，‎ ‎∴k=或﹣．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．已知，则=（　　）‎ A．﹣2008 B．2008 C．2010 D．﹣2010‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】由，可得所要求和的各项=﹣8，‎ ‎=a251，可知数列有251项，转化为求数列﹣8，﹣8…﹣8的前251项的和 ‎【解答】解：令an=‎ ‎∵‎ ‎∴数列共有251项，‎ ‎=﹣8×251=﹣2008‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎9．直线2ax+2y﹣a﹣1=0与不等式组表示的区域没有公共点，则a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣1，﹣） B．（，1） C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣，+∞） D．（﹣∞，﹣5）∪（﹣1，+∞）‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】求出直线过定点D，作出不等式组对应的平面区域，利用直线和平面区域公共点的个数问题建立直线斜率关系进行求解即可．‎ ‎【解答】解：直线2ax+2y﹣a﹣1=0等价为a（2x﹣1）+2y﹣1=0，‎ 由得，即直线过定点（，），‎ 直线2ax+2y﹣a﹣1=0的斜率k=﹣a，‎ 作出不等式组对应的平面区域如图：‎ 由得，则B（﹣2，0），‎ 由得，则C（2，2），‎ 当直线经过点C时直线CD的斜率k==1，‎ 当直线经过点B时直线BD的斜率k==，‎ 要使直线与平面区域没有交点，则＜k＜1，‎ 即＜﹣a＜1，则﹣1＜a＜﹣，‎ 即实数a的取值范围是（﹣1，﹣），‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎10．已知数列{an}，a1=1，前n项和为Sn，且点P（an，an+1）（n∈N*）在直线x﹣y+1=0上，则=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】由“P（an，an+1）（n∈N*）在直线x﹣y+1=0上”可得到数列的类型，再求其通项，求其前n项和，进而得到新数列的规律，选择合适的方法求新数列的和．‎ ‎【解答】解：∵点P（an，an+1）（n∈N*）在直线x﹣y+1=0上 ‎∴an﹣an+1+1=0‎ ‎∴数列{an}是以1为首项，以1为公差的等差数列．‎ ‎∴an=n ‎∴‎ ‎∴=‎ ‎=‎ 故选C ‎　‎ ‎11．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（　　）‎ A．πa2 B． C． D．5πa2‎ ‎【考点】球内接多面体．‎ ‎【分析】由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．‎ ‎【解答】解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，则其外接球的半径为，‎ 球的表面积为，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎12．若以曲线y=f（x）上任意一点M1（x1，y1）为切点作切线l1，曲线上总存在异于M的点N（x2，y2），以点N为切点做切线l2，且l1∥l2，则称曲线y=f（x）具有“可平行性”，现有下列命题：①偶函数的图象都具有“可平行性”；②函数y=sinx的图象具有“可平行性”；③三次函数f（x）=x3﹣x2+ax+b具有“可平行性”，且对应的两切点M（x1，y1），N（x2，y2）的横坐标满足；④要使得分段函数的图象具有“可平行性”，当且仅当实数m=1．‎ 以上四个命题真命题的个数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】分别求出函数导数，根据导数的几何意义求出对应的切线斜率，结合曲线y=f（x）具有“可平行性”，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：①函数y=1满足是偶函数，函数的导数y′=0恒成立，此时，任意两点的切线都是重合的，故①不符号题意．‎ ‎②由y′=cosx和三角函数的周期性知，cosx=a（﹣1≤a≤1）的解有无穷多个，符合题意．‎ ‎③三次函数f（x）=x3﹣x2+ax+b，则f′（x）=3x2﹣2x+a，方程3x2﹣2x+a﹣m=0在判别式△=（﹣2）2﹣12（a﹣m）≤0时不满足方程y′=a（a是导数值）至少有两个根．命题③错误；‎ ‎④函数y=ex﹣1（x＜0），y′=ex∈（0，1），函数y=x+，y′=1﹣，‎ 则由1﹣∈（0，1），得∈（0，1），‎ ‎∴x＞1，则m=1．‎ 故要使得分段函数f（x）的图象具有“可平行性”，当且仅当实数m=1，④正确．‎ ‎∴正确的命题是②④．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上）‎ ‎13．某单位为了了解用电量y度与气温x°C之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：‎ 气温（°C）‎ ‎18‎ ‎13‎ ‎10‎ ‎﹣1‎ 用电量（度）‎ ‎24‎ ‎34‎ ‎38‎ ‎64‎ 由表中数据得线性回归方程中b=﹣2，预测当气温为﹣4°C时，用电量的度数约为　68　．‎ ‎【考点】回归分析的初步应用．‎ ‎【分析】根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法做出a的值，现在方程是一个确定的方程，根据所给的x的值，代入线性回归方程，预报要销售的件数．‎ ‎【解答】解：由表格得 ‎，‎ 为：（10，40），‎ 又在回归方程上且b=﹣2‎ ‎∴40=10×（﹣2）+a，‎ 解得：a=60，‎ ‎∴y=﹣2x+60．‎ 当x=﹣4时，y=﹣2×（﹣4）+60=68．‎ 故答案为：68．‎ ‎　‎ ‎14．在△ABC中，A、B、C是三角形的三内角，a、b、c是三内角对应的三边，已知，b2+c2﹣a2=bc，sin2A+sin2B=sin2C．则角B为　　．‎ ‎【考点】余弦定理的应用；正弦定理的应用．‎ ‎【分析】根据b2+c2﹣a2=bc，利用余弦定理求A，根据sin2A+sin2B=sin2C，利用正弦定理，判断C为直角，从而可求B的值．‎ ‎【解答】解：∵b2+c2﹣a2=bc ‎∴2bccosA=bc ‎∴‎ ‎∵A是三角形的三内角 ‎∴‎ ‎∵sin2A+sin2B=sin2C ‎∴a2+b2=c2．‎ ‎∴‎ ‎∴=‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎15．若∃x0∈[1，2]，使不等式成立，则m的取值范围是　（﹣∞，5）　．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用；特称命题．‎ ‎【分析】分离变量可得所以m＜，则∃x∈[1，2]，使得m＜成立，只需m小于f（x）的最大值，然后构造函数，由导数求其单调性，可得取值范围 ‎【解答】解：不等式x2﹣mx+4＞0可化为mx＜x2+4，‎ 故∃x∈[1，2]，使得m＜，‎ 记函数f（x）=，x∈[1，2]，‎ 只需m小于f（x）的最大值，‎ 由f′（x）=1﹣=0，可得x=2，而且当x∈[1，2]时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，‎ 故最大值为f（1），又f（1）=5．m的取值范围是：（﹣∞，5）．‎ 故答案为：（﹣∞，5）．‎ ‎　‎ ‎16．已知圆C：x2+y2=1，点P（x0，y0）在直线x﹣y﹣2=0上，O为坐标原点，若圆C上存在一点Q，使∠OPQ=30°，则x0的取值范围是　[0，2]　．‎ ‎【考点】直线和圆的方程的应用．‎ ‎【分析】圆O外有一点P，圆上有一动点Q，∠OPQ在PQ与圆相切时取得最大值．如果OP变长，那么∠OPQ可以获得的最大值将变小．因为sin∠OPQ=，QO为定值，即半径，PO变大，则sin∠OPQ变小，由于∠OPQ∈（0，），所以∠OPQ也随之变小．可以得知，当∠OPQ=30°，且PQ与圆相切时，PO=2，而当PO＞2时，Q在圆上任意移动，∠OPQ＜30°恒成立．因此满足PO≤2，就能保证一定存在点Q，使得∠OPQ=30°，否则，这样的点Q是不存在的；接下来进行计算：根据两点间的距离公式表示出OP的长，再把P的坐标代入已知的直线方程中，用y0表示出x0，代入到表示出OP的长中，根据PO2≤4列出关于y0的不等式，求出不等式的解集即可得到y0的范围，进而求出x0的范围．‎ ‎【解答】解：由分析可得：PO2=x02+y02，‎ 又因为P在直线x﹣y﹣2=0上，所以x0=y0+2，‎ 由分析可知PO≤2，所以PO2≤4，即2y02+4y0+4≤4，变形得：y0（y0+2）≤0，解得：﹣2≤y0≤0，‎ 所以0≤y0+2≤2，即0≤x0≤2，则x0的取值范围是[0，2]．‎ 故答案为：[0，2]‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．已知A、B、C为△ABC的三个内角，他们的对边分别为a、b、c，且．‎ ‎（1）求A；‎ ‎（2）若，求bc的值，并求△ABC的面积．‎ ‎【考点】余弦定理；两角和与差的余弦函数．‎ ‎【分析】（1）已知等式左边利用两角和与差的余弦函数公式化简，求出B+C的度数，即可确定出A的度数；‎ ‎（2）利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a，b+c以及cosA的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．‎ ‎【解答】解：（1）∵A、B、C为△ABC的三个内角，且cosBcosC﹣sinBsinC=cos（B+C）=，‎ ‎∴B+C=，‎ 则A=；‎ ‎（2）∵a=2，b+c=4，cosA=﹣，‎ ‎∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2+bc=（b+c）2﹣bc，即12=16﹣bc，‎ 解得：bc=4，‎ 则S△ABC=bcsinA=×4×=．‎ ‎　‎ ‎18．已知p：|3x﹣4|＞2，＞0，r：（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0，‎ ‎（1）¬p是¬q的什么条件？‎ ‎（2）若¬r是¬p的必要非充分条件，试求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】（1）求出命题p，q的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．‎ ‎（2）根据￢r是￢p的必要非充分条件，进行转化，建立不等式关系进行求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）由|3x﹣4|＞2得3x﹣4＞2或3x﹣4＜﹣2，‎ 即x＞2或x＜，即p：x＞2或x＜，￢p：≤x≤2‎ 由＞0得x2﹣x﹣2＞0得x＞2或x＜﹣1，即：￢q：﹣1≤x≤2，‎ 则￢p是￢q的充分不必要条件．‎ ‎（2）由（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0得a＜x＜a+1，即r：a＜x＜a+1，‎ 若￢r是￢p的必要非充分条件，‎ 则p是r的必要非充分条件，‎ 即a≥2或a+1≤，‎ 即a≥2或a≤﹣，‎ 即实数a的取值范围是a≥2或a≤﹣．‎ ‎　‎ ‎19．某校高一（2）班共有60名同学参加期末考试，现将其数学学科成绩（均为整数）分成六个分数段[40，50），[50，60），…，[90，100]，画出如如图所示的部分频率分布直方图，请观察图形信息，回答下列问题：‎ ‎（1）求70～80分数段的学生人数；‎ ‎（2）估计这次考试中该学科的优分率（80分及以上为优分）、中位数、平均值；‎ ‎（3）现根据本次考试分数分成下列六段（从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第六组）为提高本班数学整体成绩，决定组与组之间进行帮扶学习．若选出的两组分数之差大于30分（以分数段为依据，不以具体学生分数为依据），则称这两组为“最佳组合”，试求选出的两组为“最佳组合”的概率．‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．‎ ‎【分析】（1）根据条形统计图1求出70～80分数段的学生人数频率，乘以60即可确定出人数；‎ ‎（2）求出80分及以上学生人数，确定出优生率，找出中位数，平均值即可；‎ ‎（3）根据题意得出所有等可能的情况数，找出“最佳组合”数，即可确定出选出的两组为“最佳组合”的概率．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意得：60×[1﹣（0.005+0.010+0.015×2+0.025）×10]‎ ‎=18（人）；‎ ‎（2）成绩在80分及以上的学生有60×（0.005+0.025）×10=18（人），‎ ‎∴估计这次考试中该学科的优分率为×100%=30%；‎ 该学科40～50分数段人数为60×0.01×10=6（人）；50～60分数段人数为60×0.015×10=9（人）；60～70分数段人数为60×0.015×10=9（人）；‎ ‎70～80分数段人数为18人；80～90分数段人数为60×0.025×10=15（人）；90～100分数段人数为60×0.005×10=3（人）；‎ ‎∴估计这次考试中位数为70～80分数段，即75分；‎ 平均值为（45×6+55×9+65×9+75×18+85×15+95×3）=71（分）；‎ ‎（3）所有的组合数：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6），即n=5+4+3+2+1=15，‎ 符合“最佳组合”条件的有：（1，4），（1，5），（1，6），（2，5），（2，6），（3，6），即m=6，‎ 则P===．‎ ‎　‎ ‎20．如图所示，正四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为．‎ ‎（1）求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小；‎ ‎（2）若E是PB的中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；‎ ‎（3）问在棱AD上是否存在一点F，使EF⊥侧面PBC，若存在，试确定点F的位置；若不存在，说明理由．‎ ‎【考点】‎ 与二面角有关的立体几何综合题；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（1）取AD中点M，设PO⊥面ABCD，连MO、PM，则∠PMO为二面角的平面角，设AB=a，则可利用tan∠PAO表示出AO和PO，进而根据求得tan∠PMO的值，则∠PMO可知．‎ ‎（2）连OE，OE∥PD，∠OEA为异面直线PD与AE所成的角．根据AO⊥BO，AO⊥PO判断出AO⊥平面PBD，进而可推断AO⊥OE，进而可知进而可知∠AEO为直线PD与AE所成角，根据勾股定理求得PD，进而求得OE，则tan∠AEO可求得．‎ ‎（3）延长MO交BC于N，取PN中点G，连EG、MG．先证出平面PMN和平面PBC垂直，再通过已知条件证出MG⊥平面PBC，取AM中点F，利用EG∥MF，推断出，可知EF∥MG．最后可推断出EF⊥平面PBC．即F为四等分点．‎ ‎【解答】解：（1）取AD中点M，设PO⊥面ABCD，连MO、PM，则∠PMO为二面角的平面角，∠PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角，，‎ 设，PO=AOtan∠PAO=，‎ ‎∴∠PMO=60°．‎ ‎（2）连OE，OE∥PD，∠OEA为异面直线PD与AE所成的角．‎ ‎．‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎（3）延长MO交BC于N，取PN中点G，连EG、MG．‎ ‎．‎ 又 取AM中点F，∵EG∥MF∴‎ ‎∴EF∥MG．‎ ‎∴EF⊥平面PBC．‎ 即F为四等分点 ‎　‎ ‎21．记事件A为“直线ax﹣by=0与圆（x﹣2）2+y2=6相交”．‎ ‎（1）若将一颗骰子先后掷两次得到的点数分别记为a，b，求事件A发生的概率．‎ ‎（2）若实数a、b满足（a﹣）2+（b﹣1）2≤4，求事件A发生的概率．‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．‎ ‎【分析】（1）由题意可得a＜，由列举法求出事件A包含的基本事件个数m=6+5+4+3+2+1=21，而总的方法种数为n=6×6=36，由此能求出事件A发生的概率．‎ ‎（Ⅱ）依题意为几何概型，a＜b与（a﹣）2+（b﹣1）2≤4的公共面积为直线a=与圆（a﹣）2+（b﹣1）2=4相交的弓形的面积，由点到直线的距离公式可得圆心（，1）在直线a=上，由此能求出事件A发生的概率．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可得：直线ax﹣by=0与圆（x﹣2）2+y2=6相交，‎ 所以圆心（2，0）到直线的距离d=＜，即a2＜3b2，‎ 又a、b均大于0，故a＜，‎ 当a=1时，b=1，2，3，4，5，6；当a=2时，b=2，3，4，5，6；当a=3时，b=3，4，5，6；‎ 当a=4时，b=4，5，6；当a=5时，b=5，6；当a=6时，b=6．‎ ‎∴事件A包含的基本事件个数m=6+5+4+3+2+1=21，‎ 而总的方法种数为n=6×6=36‎ 故事件A发生的概率为P（A）===．‎ ‎（Ⅱ）依题意为几何概型，a＜b与（a﹣）2+（b﹣1）2≤4的公共面积为：‎ 直线a=与圆（a﹣）2+（b﹣1）2=4相交的弓形的面积，‎ 由点到直线的距离公式可得：‎ 圆心（，1）到直线a=的距离d′=0，‎ ‎∴直线a=与圆（a﹣）2+（b﹣1）2=4相交的弓形的面积为圆的面积的一半，‎ ‎∴事件A发生的概率P（A）=．‎ ‎　‎ ‎22．已知二次函数g（x）对任意实数x都满足g（x）=g（1﹣x），g（x）的最小值为﹣且g（1）=﹣1．令f（x）=g（x+）+mlnx+（m∈R，x＞0）．‎ ‎（1）求g（x）的表达式；‎ ‎（2）若∃x＞0使f（x）≤0成立，求实数m的取值范围；‎ ‎（3）设1＜m≤e，H（x）=f（x）﹣（m+1）x，证明：对∀x1、x2∈[1，m]，恒有|H（x1）﹣H（x2）|＜1．‎ ‎【考点】二次函数的性质．‎ ‎【分析】（1）设g（x）=ax2+bx+c，根据g（x﹣1）+g（1﹣x）=x2﹣2x﹣1直接可得答案．‎ ‎（2）表示出函数f（x）的解析式，对m进行大于0、小于、和等于0进行分析可得答案．‎ ‎（3）先根据H（x）的导数小于等于0判断出H（x）单调递减的，只要证明|H（m）﹣H（1）|＜1即可．‎ ‎【解答】解：（1）设g（x）=ax2+bx+c，‎ 由g（x）=g（1﹣x），则对称轴是x=﹣=，‎ 由g（x）的最小值为﹣，‎ 得g（x）=a﹣，由g（1）=﹣1，‎ 得g（1）=a﹣=﹣1，解得：a=，‎ 故g（x）=﹣=x2﹣x﹣1；‎ ‎（2）f（x）=g（x+）+mlnx+=x2+mlnx（m∈R，x＞0）．‎ 当m＞0时，由对数函数性质，f（x）的值域为R；‎ 当m=0时，f（x）=x2＞0对∀x＞0，f（x）＞0恒成立；‎ 当m＜0时，由f′（x）=x+=0⇒x=，‎ 故f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，‎ 这时，[f（x）]min=f（）=﹣+mln，‎ ‎[f（x）]min＞0⇔⇒﹣e＜m＜0．‎ 所以若∀x＞0，f（x）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（﹣e，0）．‎ 故∃x＞0使f（x）≤0成立，实数m的取值范围（﹣∞，﹣e]∪（0，+∞）．‎ ‎（3）因为对∀x∈[1，m]，H′（x）=≤0，所以H（x）在[1，m]内单调递减．‎ 于是|H（x1）﹣H（x2）|≤H（1）﹣H（m）=m2﹣mlnm﹣，‎ ‎|H（x1）﹣H（x2）|＜1⇐m2﹣mlnm﹣＜1⇔m﹣lnm﹣＜0．‎ 记h（m）=m﹣lnm﹣（1＜m≤e），‎ 则h′（m）=﹣+=（﹣）2+＞0，‎ 所以函数h（m）=m﹣lnm﹣在（1，e]是单调增函数，‎ 所以h（m）≤h（e）=﹣1﹣=＜0，故命题成立．‎