数学卷·2018届湖北省武汉外国语学校高二上学期10月月考数学试卷+（解析版） 31页

‎2016-2017学年湖北省武汉外国语学校高二（上）10月月考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题：‎ ‎1．直线在y轴上的截距是（　　）‎ A．|b| B．﹣b2 C．b2 D．±b ‎2．若点P（m，n）Q（n﹣1，m+1）关于直线l对称，则l的方程是（　　）‎ A．x﹣y+1=0 B．x﹣y=0 C．x+y+1=0 D．x+y=0‎ ‎3．已知空间直角坐标系O﹣xyz中有一点A（﹣1，﹣1，2），点B是xOy平面内的直线x+y=1上的动点，则A，B两点的最短距离是 ‎（　　）‎ A． B． C．3 D．‎ ‎4．椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是（　　）‎ A．4a B．2（a﹣c）‎ C．2（a+c） D．以上答案均有可能 ‎5．平面上到定点A（l，2）距离为1且到定点B（5，5）距离为d的直线共有4条，则d的取值范是（　　）‎ A．（0，4） B．（2，4） C．（2，6） D．（4，6）‎ ‎6．设P（x，y）是曲线C： +=1上的点，F1（﹣4，0），F2（4，0），则|PF1|+|PF2|（　　）‎ A．小于10 B．大于10 C．不大于10 D．不小于10‎ ‎7．设斜率为1的直线l与椭圆C： +=1相交于不同的两点A、B，则使|AB|‎ 为整数的直线l共有（　　）‎ A．4条 B．5条 C．6条 D．7条 ‎8．若曲线C1：x2+y2﹣2x=0与曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．（﹣，） B．（﹣，0）∪（0，） C．[﹣，] D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）‎ ‎9．点P在曲线C： +y2=1上，若存在过P的直线交曲线C于A点，交直线l：x=4于B点，满足|PA|=|PB|或|PA|=|AB|，则称点P为“H点”，那么下列结论正确的是（　　）‎ A．曲线C上的所有点都是“H点”‎ B．曲线C上仅有有限个点是“H点”‎ C．曲线C上的所有点都不是“H点”‎ D．曲线C上有无穷多个点（但不是所有的点）是“H点”‎ ‎10．在平面直角坐标系xoy中，A、B、C是圆x2+y2=1上相异三点，若存在正实数λ，μ，使得，则λ2+（μ﹣3）2的取值范围是（　　）‎ A．[0，+∞） B．（2，+∞） C．[2，+∞） D．（8，+∞）‎ ‎　‎ 二、填空题：‎ ‎11．已知不等式组表示的平面区域为D，若函数y=|x﹣1|+m的图象上存在区域D上的点，则实数m的取值范围是　　．‎ ‎12．已知点P是椭圆（a＞b＞0，xy≠0）上的动点，F1（﹣c，0）、F2（c，0）为椭圆对左、右焦点，O为坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上的一点，且F1M⊥MP，则|OM|的取值范围是　　．‎ ‎13．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是　　．‎ ‎14．已知椭圆的离心率是，过椭圆上一点M作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，则k1•k2的值为　　．‎ ‎15．已知P点为圆O1与圆O2公共点，圆O1：（x﹣a）2+（y﹣b）2=b2+1，圆O2：（x﹣c）2+（y﹣d）2=d2+1，若ac=8， =，则点P与直线l：3x﹣4y﹣25=0上任意一点M之间的距离的最小值为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：‎ ‎16．（10分）己知两点A（2，1），B（m，4），求 ‎（1）直线AB的斜率和直线AB的方程；‎ ‎（2）已知m∈[2﹣，2+3]，求直线AB的倾斜角α的范围．‎ ‎17．（12分）已知椭圆C： =1（a＞b＞0）和圆O：x2+y2=a2，F1（﹣1，0），F2（1，0）分别是椭圆的左、右两焦点，过F1且倾斜角为α的动直线l交椭圆C于A，B两点，交圆O于P，Q两点（如图所示，点A在x轴上方）．当α=时，弦PQ的长为． ‎ ‎（1）求圆O与椭圆C的方程；‎ ‎（2）若2|BF2|=|AF2|+|AB|，求直线PQ的方程．‎ ‎18．（12分）某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C．另外，该儿童这两餐需要的营状中至少含64个单位的碳水化合物和42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C．如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？‎ ‎19．（13分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成．两相接点M，N均在直线x=5上，圆弧C1的圆心是坐标原点O，半径为r1=13； 圆弧C2过点A（29，0）．‎ ‎（1）求圆弧C2所在圆的方程；‎ ‎（2）曲线C上是否存在点P，满足PA=PO？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）已知直线l：x﹣my﹣14=0与曲线C交于E、F两点，当EF=33时，求坐标原点O到直线l的距离．‎ ‎20．（14分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，短轴两个端点为A、B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若C、D分别是椭圆长的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P．证明：为定值．‎ ‎（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎21．（14分）已知斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆于M（x1，y1），N（x2，y2）两点．‎ ‎（1）记直线OM，ON的斜率分别为k1，k2，当3（k1+k2）=8k时，证明：直线l过定点；‎ ‎（2）若直线l过点D（1，0），设△OMD与△OND的面积比为t，当时，求t的取值范围．‎ ‎22．如图，已知椭圆，左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，P为椭圆上在第一象限内一点．‎ ‎（1）若，求椭圆的离心率；‎ ‎（2）若=，求直线PF1的斜率k；‎ ‎（3）若成等差数列，椭圆的离心率e，求直线PF1的斜率k的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年湖北省武汉外国语学校高二（上）10月月考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：‎ ‎1．直线在y轴上的截距是（　　）‎ A．|b| B．﹣b2 C．b2 D．±b ‎【考点】直线的截距式方程．‎ ‎【分析】要求直线与y轴的截距，方法是令x=0求出y的值即可．‎ ‎【解答】解：令x=0，得：﹣ =1，‎ 解得y=﹣b2．‎ 故选B ‎【点评】此题比较容易，是一道基础题．学生只需知道截距的定义就可求出．‎ ‎　‎ ‎2．若点P（m，n）Q（n﹣1，m+1）关于直线l对称，则l的方程是（　　）‎ A．x﹣y+1=0 B．x﹣y=0 C．x+y+1=0 D．x+y=0‎ ‎【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．‎ ‎【分析】由对称的特点，直线l经过PQ的中点，且l垂直于PQ，运用中点坐标公式和直线垂直的条件，再由点斜式方程，即可得到．‎ ‎【解答】解：由对称的特点，直线l经过PQ的中点（），‎ 且PQ的斜率为，则l的斜率为﹣，‎ 则直线l方程为：y﹣=﹣（x﹣）‎ 化简即得，x﹣y+1=0，‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查点关于直线对称的求法，考查直线方程的求法，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎3．已知空间直角坐标系O﹣xyz中有一点A（﹣1，﹣1，2），点B是xOy平面内的直线x+y=1上的动点，则A，B两点的最短距离是 ‎（　　）‎ A． B． C．3 D．‎ ‎【考点】空间两点间的距离公式．‎ ‎【分析】因为点B是xoy平面内的直线x+y=1上的动点，则可设点B（m，1﹣m，0），运用空间两点的距离公式，得到A，B两点的距离是，最后用配方的方法，得到当m=时，被开方数的最小值为，从而得到A，B两点的最短距离．‎ ‎【解答】解：∵点B是xoy平面内的直线x+y=1上的动点，‎ ‎∴可设点B（m，1﹣m，0）‎ 由空间两点之间的距离公式，得 ‎|AB|==‎ 令t=2m2﹣2m+9=2（m﹣）2+‎ 当m=时，t的最小值为 ‎∴当m=时，|AB|的最小值为，即A、B两点的最短距离是 故选B ‎【点评】本题借助于空间一个定点到平面内定直线上动点的最短距离问题，着考查了空间两点的距离公式和二次函数的最值等知识点，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎4．椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是（　　）‎ A．4a B．2（a﹣c）‎ C．2（a+c） D．以上答案均有可能 ‎【考点】椭圆的应用．‎ ‎【分析】（1）静放在点A的小球（小球的半径不计）从点A沿直线出发，经椭圆壁右顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是2（a﹣c）；‎ ‎（2）静放在点A的小球（小球的半径不计）从点A沿直线出发，经椭圆壁左顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是2（a+c）；‎ ‎（3）静放在点A的小球（小球的半径不计）从点A沿直线出发，经椭圆壁非左右顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是4a．‎ ‎【解答】解：（1）静放在点A的小球（小球的半径不计）从点A沿直线出发，经椭圆壁右顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是2（a﹣c），则选B；‎ ‎（2）静放在点A的小球（小球的半径不计）从点A沿直线出发，经椭圆壁左顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是2（a+c），则选C；‎ ‎（3）静放在点A的小球（小球的半径不计）从点A沿直线出发，经椭圆壁非左右顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是4a，则选A．‎ 由于三种情况均有可能，‎ 故选D．‎ ‎【点评】分三种情况进行讨论，解题时要全面考虑，避免丢解．‎ ‎　‎ ‎5．平面上到定点A（l，2）距离为1且到定点B（5，5）距离为d的直线共有4条，则d的取值范是（　　）‎ A．（0，4） B．（2，4） C．（2，6） D．（4，6）‎ ‎【考点】两点间的距离公式．‎ ‎【分析】平面上到定点A（l，2）距离为1的点的轨迹为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1．到定点B（5，5）距离为d的点的轨迹为：（x﹣5）2+（y﹣5）2=d2．由于平面上到定点A（l，2）距离为1且到定点B（5，5）距离为d的直线共有4条，可得上述两个圆外离，解出即可．‎ ‎【解答】解：平面上到定点A（l，2）距离为1的点的轨迹为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1．‎ 到定点B（5，5）距离为d的点的轨迹为：（x﹣5）2+（y﹣5）2=d2．‎ ‎∵平面上到定点A（1，2）距离为1且到定点B（5，5）距离为d的直线共有4条，‎ ‎∴上述两个圆外离，‎ ‎∴1＜1+d＜=5，‎ 解得0＜d＜4．‎ 则d的取值范是（0，4）．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了圆的标准方程及其两圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎6．设P（x，y）是曲线C： +=1上的点，F1（﹣4，0），F2（4，0），则|PF1|+|PF2|（　　）‎ A．小于10 B．大于10 C．不大于10 D．不小于10‎ ‎【考点】曲线与方程．‎ ‎【分析】先将曲线方程化简，再根据图形的对称性可知|PF1|+|PF2|的最大值为10．‎ ‎【解答】解：曲线C可化为：，它表示顶点分别为（±5，0），（0，±3），根据图形的对称性可知|PF1|+|PF2|的最大值为10，当且仅当点P为（0，±3）时取最大值，故选C．‎ ‎【点评】本题主要考查曲线与方程之间的关系，考查图形的性质，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎7．设斜率为1的直线l与椭圆C： +=1相交于不同的两点A、B，则使|AB|为整数的直线l共有（　　）‎ A．4条 B．5条 C．6条 D．7条 ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】设直线AB的方程代入椭圆方程，根据判别式求得b的范围，设A（x1，y1），B（x2，y2）则可表示出|AB|，根据|AB|为整数求得b，进而求得答案．‎ ‎【解答】解：设直线AB的方程为y=x+b，代入椭圆C： +=1，‎ 可得3x2+4bx+2b2﹣4=0，‎ 由△=16b2﹣12（2b2﹣4）＞0，可得b2＜6，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则|AB|=×=×=，‎ 分别取b2=，，时，‎ 可分别得|AB|=2，1，3，‎ 此时对应的直线l有6条．‎ 故选C ‎【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．解题的关键找到直线与|AB|的相关性，以此建立等式．‎ ‎　‎ ‎8．若曲线C1：x2+y2﹣2x=0与曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．（﹣，） B．（﹣，0）∪（0，） C．[﹣，] D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）‎ ‎【考点】圆的一般方程；圆方程的综合应用．‎ ‎【分析】由题意可知曲线C1：x2+y2﹣2x=0表示一个圆，曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0表示两条直线y=0和y﹣mx﹣m=0，把圆的方程化为标准方程后找出圆心与半径，由图象可知此圆与y=0有两交点，由两曲线要有4个交点可知，圆与y﹣mx﹣m=0要有2个交点，根据直线y﹣mx﹣m=0过定点，先求出直线与圆相切时m的值，然后根据图象即可写出满足题意的m的范围．‎ ‎【解答】解：由题意可知曲线C1：x2+y2﹣2x=0表示一个圆，化为标准方程得：‎ ‎（x﹣1）2+y2=1，所以圆心坐标为（1，0），半径r=1；‎ C2：y（y﹣mx﹣m）=0表示两条直线y=0和y﹣mx﹣m=0，‎ 由直线y﹣mx﹣m=0可知：此直线过定点（﹣1，0），‎ 在平面直角坐标系中画出图象如图所示：‎ 直线y=0和圆交于点（0，0）和（2，0），因此直线y﹣mx﹣m=0与圆相交即可满足条件．‎ 当直线y﹣mx﹣m=0与圆相切时，圆心到直线的距离d==r=1，‎ 化简得：m2=，解得m=±，‎ 而m=0时，直线方程为y=0，即为x轴，不合题意，‎ 则直线y﹣mx﹣m=0与圆相交时，m∈（﹣，0）∪（0，）．‎ 故选B．‎ ‎【点评】此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，考查了数形结合的数学思想，是一道中档题．本题的突破点是理解曲线C2‎ ‎：y（y﹣mx﹣m）=0表示两条直线．‎ ‎　‎ ‎9．点P在曲线C： +y2=1上，若存在过P的直线交曲线C于A点，交直线l：x=4于B点，满足|PA|=|PB|或|PA|=|AB|，则称点P为“H点”，那么下列结论正确的是（　　）‎ A．曲线C上的所有点都是“H点”‎ B．曲线C上仅有有限个点是“H点”‎ C．曲线C上的所有点都不是“H点”‎ D．曲线C上有无穷多个点（但不是所有的点）是“H点”‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系．‎ ‎【分析】设出﹣2≤xP＜xA≤2，利用相似三角形求得xP和xA的关系，设出PA的方程与椭圆方程联立求得xAxP的表达式，利用判别式大于0求得k和m的不等式关系，最后联立①②③求得xA的范围，进而通过xA＜1时，xP=2xA﹣4＜﹣2，故此时不存在H点，进而求得H点的横坐标取值范围，判断出题设的选项．‎ ‎【解答】解：由题意，P、A的位置关系对称，于是不妨设﹣2≤xP＜xA≤2，（此时PA=AB）．‎ 由相似三角形，2|4﹣xA|=|4﹣xP|‎ 即：xP=2xA﹣4…①‎ 设PA：y=kx+m，与椭圆联立方程组，‎ 解得 xAxP=…②‎ ‎∵△＞0 ‎ ‎4k2＞m2﹣1…③‎ 联立①②③，得xA2﹣2xA＜‎ 而0＜＜2‎ 即xA2﹣2xA＜2‎ 即1﹣≤xA≤2‎ 而当xA＜1时，xP=2xA﹣4＜﹣2，故此时不存在H点 又因为P的位置可以和A互换（互换后即PA=PB），‎ 所以H点的横坐标取值为[﹣2，0]U[1，2]‎ 故选D ‎【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系问题．解题的关键是求得H点的横坐标取值范围．‎ ‎　‎ ‎10．在平面直角坐标系xoy中，A、B、C是圆x2+y2=1上相异三点，若存在正实数λ，μ，使得，则λ2+（μ﹣3）2的取值范围是（　　）‎ A．[0，+∞） B．（2，+∞） C．[2，+∞） D．（8，+∞）‎ ‎【考点】平面向量的基本定理及其意义．‎ ‎【分析】因为A，B，C互异，所以﹣1＜＜1，由=，得，则f（μ）=λ2+（μ﹣3）2==，由此能得到λ2+（μ﹣3）2的取值范围．‎ ‎【解答】解：因为A，B，C，互异，所以﹣1＜＜1，‎ 由=，得，‎ 则f（μ）=λ2+（μ﹣3）2==＞2μ2﹣8μ+10≥2．‎ f（μ）=＜2μ2﹣4μ+10，无最大值，‎ ‎∴λ2+（μ﹣3）2的取值范围是（2，+∞）．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查圆的性质和应用以及向量基本定理的应用，综合性较强，有一定的难度．‎ ‎　‎ 二、填空题：‎ ‎11．已知不等式组表示的平面区域为D，若函数y=|x﹣1|+m的图象上存在区域D上的点，则实数m的取值范围是　[﹣2，1]　．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出可行域，由y=|x﹣1|的图象特点，平移图象可得．‎ ‎【解答】解：作出不等式组表示的平面区域D（如图阴影），‎ 函数y=|x﹣1|的图象为直线y=x﹣1保留x轴上方的并把x轴下方的上翻得到，‎ 其图象为关于直线x=1对称的折线（图中红色虚线），‎ 沿x=1上下平移y=|x﹣1|的图象，当经过点B时m取最小值，过点D时m取最大值，‎ 由可解得，即B（2，﹣1）此时有﹣1=|2﹣1|+m，解得m=﹣2；‎ 由可解得，即B（1，1）此时有1=|1﹣1|+m，解得m=1；‎ 故实数m的取值范围为[﹣2，1]，‎ 故答案为：[﹣2，1]．‎ ‎【点评】本题考查简单线性规划，数形结合是解决问题的关键，属中档题．‎ ‎　‎ ‎12．已知点P是椭圆（a＞b＞0，xy≠0）上的动点，F1（﹣c，0）、F2（c，0）为椭圆对左、右焦点，O为坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上的一点，且F1M⊥MP，则|OM|的取值范围是　（0，c）　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】如图所示．M是∠F1PF2的角平分线上的一点，且F1M⊥MP，可得点M是底边F1N的中点．又点O是线段F1F2的中点，|OM|=．|PF1|=|PN|，可得∠F2NM＞∠F2F1N，可得|F1F2|＞|F2N|，即可得出．‎ ‎【解答】解：如图所示．‎ ‎∵M是∠F1PF2的角平分线上的一点，且F1M⊥MP，‎ ‎∴点M是底边F1N的中点，‎ 又点O是线段F1F2的中点，‎ ‎∴|OM|=，‎ ‎∵|PF1|=|PN|，‎ ‎∴∠F2NM＞∠F2F1N，‎ ‎∴|F1F2|＞|F2N|，‎ ‎∴0＜|OM|=c．‎ ‎∴则|OM|的取值范围是（0，c）．‎ 故答案为：（0，c）．‎ ‎【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、等腰三角形的性质、三角形的中位线定理、三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎13．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是　　．‎ ‎【考点】圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】由于圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1，由题意可知，只需（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．‎ ‎【解答】解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，整理得：（x﹣4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；‎ 又直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，‎ ‎∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．‎ 设圆心C（4，0）到直线y=kx﹣2的距离为d，‎ 则d=≤2，即3k2﹣4k≤0，‎ ‎∴0≤k≤．‎ ‎∴k的最大值是．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎14．已知椭圆的离心率是，过椭圆上一点M作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，则k1•k2的值为　　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质；直线的斜率．‎ ‎【分析】椭圆的离心率是，则椭圆的方程可化为：x2+2y2=2b2．设M（m，n），直线AB的方程为：y=kx，可设：A（x0，kx0），B（﹣x0，﹣kx0）．代入椭圆方程和利用斜率计算公式即可得出．‎ ‎【解答】解：∵椭圆的离心率是，∴，∴，‎ 于是椭圆的方程可化为：x2+2y2=2b2．‎ 设M（m，n），直线AB的方程为：y=kx，可设：A（x0，kx0），B（﹣x0，﹣kx0）．‎ 则m2+2n2=2b2，，‎ ‎∴=．‎ ‎∴k1•k2===．‎ 故答案为：﹣．‎ ‎【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式等基础知识与基本技能方法，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎15．已知P点为圆O1与圆O2公共点，圆O1：（x﹣a）2+（y﹣b）2=b2+1，圆O2：（x﹣c）2+（y﹣d）2=d2+1，若ac=8， =‎ ‎，则点P与直线l：3x﹣4y﹣25=0上任意一点M之间的距离的最小值为　2　．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】把两个圆的方程相减与圆O1联立可得x2+y2=9，令4y﹣3x=t，则y=，代入可得25x2+6tx+t2﹣144=0，由△≥0，可得﹣15≤t≤15，再利用P到直线l的距离为=，即可求出点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值．‎ ‎【解答】解：∵ac=8， =，∴ =，故两圆的圆心O1（a，b）、圆心O2（c，d）、原点O三点共线，‎ 不妨设==k，则c=，b=ka，d=kc=．‎ 把圆O1：（x﹣a）2+（y﹣b）2=b2+1，圆O2：（x﹣c）2+（y﹣d）2=d2+1相减，‎ 可得公共弦的方程为 （2c﹣2a）x+（2d﹣2b）y=c2﹣a2，‎ 即（﹣2a）x+（﹣2•ka）y=﹣a2，即2（﹣a）x+2k（﹣a）y=（+a）（﹣a），‎ 当a≠±2时，﹣a≠0，公共弦的方程为：2x+2ky=+a，即：2ax+2kay=a2+8，‎ 即：2ax+2by=a2+8．‎ O1：（x﹣a）2+（y﹣b）2=b2+1，即 x2+y2=2ax+2by﹣a2+1，‎ 再把公共弦的方程代入圆O1的方程可得 x2+y2=9 ①．‎ 令4y﹣3x=t，代入①可得25x2+6tx+t2﹣144=0．‎ 再根据此方程的判别式△=36t2﹣100（ t2﹣144）≥0，求得﹣15≤t≤15．‎ 点P到直线l：3x﹣4y﹣25=0的距离为==，‎ 故当4y﹣3x=t=﹣15时，点P到直线l：3x﹣4y﹣25=0的距离取得最小值为2．‎ 当a=±2时，由条件可得a=c，b=d，此时，两圆重合，不合题意．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】‎ 本题考查圆与圆的位置关系，直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题：‎ ‎16．（10分）（2015秋•上海校级期中）己知两点A（2，1），B（m，4），求 ‎（1）直线AB的斜率和直线AB的方程；‎ ‎（2）已知m∈[2﹣，2+3]，求直线AB的倾斜角α的范围．‎ ‎【考点】直线的倾斜角．‎ ‎【分析】（1）k=，分m=2和m≠2两种情况，可得直线AB的方程；‎ ‎（2）已知实数m∈[2﹣，2+3]，利用不等式的性质求出斜率tanα的范围，再利用正切函数的单调性求出倾斜角α的范围．‎ ‎【解答】解：（1）∵点A（2，1），B（m，4），‎ 当m=2时，直线的斜率不存在，直线AB的方程为x=2；　‎ 当m≠2时，已知直线AB的斜率k==，‎ 直线AB的方程为：y﹣1=（x﹣2），‎ 即3x+（2﹣m）y+m﹣8=0；‎ ‎（2）已知实数m∈[2﹣，2+3]，‎ ‎∴∈（﹣∞，﹣]∪[，+∞），‎ 则直线AB的倾斜角α∈[，]‎ ‎【点评】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小，以及用两点式求直线的方程，体现了分类讨论的数学思想．‎ ‎　‎ ‎17．（12分）（2016秋•汉阳区校级月考）已知椭圆C： =1（a＞b＞0）和圆O：x2+y2=a2，F1（﹣1，0），F2（1，0）分别是椭圆的左、右两焦点，过F1且倾斜角为α的动直线l交椭圆C于A，B两点，交圆O于P，Q两点（如图所示，点A在x轴上方）．当α=‎ 时，弦PQ的长为． ‎ ‎（1）求圆O与椭圆C的方程；‎ ‎（2）若2|BF2|=|AF2|+|AB|，求直线PQ的方程．‎ ‎【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系．‎ ‎【分析】（1）取PQ的中点D，连接OD，OP，求出OD，利用弦PQ的长为，求出OQ，可得a，结合隐含条件求得b，则圆O和椭圆C的方程可求；‎ ‎（2）由（1）可得椭圆的长半轴长及离心率，设B的坐标，利用焦半径公式可得|BF2|，|AF2|，代入2|BF2|=|AF2|+|AB|，求出B的坐标，由直线方程的两点式求得B、F1所在直线方程，即直线PQ的方程．‎ ‎【解答】解：（1）取PQ的中点D，连接OD，OP，‎ 由，c=1，可得OD=，‎ ‎∵弦PQ的长为，‎ ‎∴+OD2=4，‎ ‎∴a2=4，b2=a2﹣c2=3，‎ ‎∴圆O的方程为x2+y2=4，‎ 椭圆C的方程为；‎ ‎（2）由（1）知，a=2，e=，‎ 又2|BF2|=|AF2|+|AB|，得2|BF2|=|AF2|+|AF1|+|BF1|，‎ ‎∴2|BF2|=4+|BF1|，‎ 设B（x0，y0），则|BF2|=，|BF1|=，‎ 代入2|BF2|=4+|BF1|，得，解得 ‎，‎ 代入，得．‎ ‎∴B（），‎ 则直线PQ的方程为：，即．‎ ‎【点评】本题考查圆和椭圆的方程，考查等差数列的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2010•广东）某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C．另外，该儿童这两餐需要的营状中至少含64个单位的碳水化合物和42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C．如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？‎ ‎【考点】简单线性规划的应用．‎ ‎【分析】利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用．本题主要考查找出约束条件与目标函数，准确地描画可行域，再利用图形直线求得满足题设的最优解．‎ ‎【解答】解：设为该儿童分别预订x个单位的午餐和y个单位的晚餐，‎ 设费用为F，则F=2.5x+4y，‎ 由题意知约束条件为：‎ 画出可行域如图：‎ 变换目标函数：‎ 当目标函数过点A，即直线6x+6y=42与6x+10y=54的交点（4，3）时，F取得最小值．‎ 即要满足营养要求，并且花费最少，应当为儿童分别预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐．‎ ‎【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．‎ ‎　‎ ‎19．（13分）（2011•盐城二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成．两相接点M，N均在直线x=5上，圆弧C1的圆心是坐标原点O，半径为r1=13； 圆弧C2过点A（29，0）．‎ ‎（1）求圆弧C2所在圆的方程；‎ ‎（2）曲线C上是否存在点P，满足PA=PO？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）已知直线l：x﹣my﹣14=0与曲线C交于E、F两点，当EF=33时，求坐标原点O到直线l的距离．‎ ‎【考点】圆的一般方程；直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】（1）根据圆弧 C1所在圆的方程为 x2+y2=169，可得M，N的坐标，从而可得直线AM的方程为 y﹣6=2（x﹣17），进而可求圆弧 C2所在圆的圆心为 （14，0），圆弧C2 所在圆的半径为=29﹣14=15，故可求圆弧C2 的方程；‎ ‎（2）假设存在这样的点P（x，y），则由PA=PO，得x2+y2+2x﹣29=0，分别与圆弧方程联立，即可知这样的点P不存在．‎ ‎（3）因为 EF＞r2，EF＞r1，所以 E，F两点分别在两个圆弧上，根据直线l恒过圆弧 C2的圆心（14，0），可得，从而得解．‎ ‎【解答】解：（1）圆弧 C1所在圆的方程为 x2+y2=169，令x=5，解得M（5，12），N（5，﹣12）…2分 则直线AM的中垂线方程为 y﹣6=2（x﹣17），令y=0，得圆弧 C2‎ 所在圆的圆心为 （14，0），‎ 又圆弧C2 所在圆的半径为29﹣14=15，所以圆弧C2 的方程为（x﹣14）2+y2=225（x≥5）…5分 ‎（2）假设存在这样的点P（x，y），则由PA=PO，得x2+y2+2x﹣29=0 …8分 由，解得x=﹣70 （舍去） 9分 由，解得 x=0（舍去），‎ 综上知，这样的点P不存在…10分 ‎（3）因为 EF＞r2，EF＞r1，所以 E，F两点分别在两个圆弧上，‎ 又直线l恒过圆弧C2的圆心（14，0），所以…13分 解得，即…16分 ‎【点评】本题以圆为载体，考查圆的方程，考查曲线的交点，同时考查距离公式的运用，综合性强．‎ ‎　‎ ‎20．（14分）（2016•衡阳三模）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，短轴两个端点为A、B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若C、D分别是椭圆长的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P．证明：为定值．‎ ‎（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】（1）由题意知a=2，b=c，b2=2，由此可知椭圆方程为．‎ ‎（2）设M（2，y0），P（x1，y1），，直线CM：，代入椭圆方程x2+2y2=4，得，然后利用根与系数的关系能够推导出为定值．‎ ‎（3）设存在Q（m，0）满足条件，则MQ⊥DP．，再由，由此可知存在Q（0，0）满足条件．‎ ‎【解答】解：（1）a=2，b=c，a2=b2+c2，∴b2=2；‎ ‎∴椭圆方程为 ‎（2）C（﹣2，0），D（2，0），设M（2，y0），P（x1，y1），‎ 直线CM：，代入椭圆方程x2+2y2=4，‎ 得 ‎∵x1=﹣，∴，∴，∴（8分）‎ ‎∴（定值）（10分）‎ ‎（3）设存在Q（m，0）满足条件，则MQ⊥DP（11分）‎ ‎（12分）‎ 则由，从而得m=0‎ ‎∴存在Q（0，0）满足条件（14分）‎ ‎【点评】本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．‎ ‎　‎ ‎21．（14分）（2013•镇海区校级模拟）已知斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆于M（x1，y1），N（x2，y2）两点．‎ ‎（1）记直线OM，ON的斜率分别为k1，k2，当3（k1+k2）=8k时，证明：直线l过定点；‎ ‎（2）若直线l过点D（1，0），设△OMD与△OND的面积比为t，当时，求t的取值范围．‎ ‎【考点】与直线有关的动点轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系．‎ ‎【分析】（1）设出直线l的斜截式方程，和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系得到M，N点的横坐标的和与积，写出直线OM，ON的斜率后作和，整理后转化为含有M，N点的横坐标的和与记得形式，代入根与系数关系，结合已知条件3（k1+k2）=8k求出直线在y轴上的截距，从而证明直线l过定点；‎ ‎（2）写出过点D（1，0）的直线l的方程，和椭圆方程联立后得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系得到M，N两点的横坐标的和与积，进一步得到纵坐标的和与积，把△OMD与△OND的面积比t转化为M，N两点的纵坐标的比，由已知条件k2的范围求出两点纵坐标的平方和除以纵坐标的乘积的范围，由此得到关于t的不等式组，则t的取值范围可求．‎ ‎【解答】（1）证明：依题意可设直线l的方程为y=kx+n，其中k≠0．‎ 代入椭圆方程得：（1+4k2）x2+8knx+4n2﹣4=0，‎ 则有．‎ 则 ‎=．‎ 由条件3（k1+k2）=8k，有，而k≠0，则有，‎ 从而直线l过定点或；‎ ‎（2）解：依题意可设直线l的方程为y=k（x﹣1），其中k≠0．‎ 代入椭圆方程得：（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0，‎ 则有．‎ 从而有…①‎ ‎…②‎ 由①②得，，‎ 由，得．‎ 又，因y1y2＜0，故，‎ 又，‎ 从而有，‎ 得，‎ 解得：2＜t＜3或．‎ ‎【点评】‎ 本题考查了与直线有关的动点的轨迹方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，体现了整体运算思想方法，涉及直线与圆锥曲线的关系问题，常采用联立直线方程和曲线方程，利用根与系数关系整体计算．直线与圆锥曲线的关系问题，往往运算量大，这就需要学生有较强的运算能力．该类问题在高考试卷中常以压轴题的形式出现．‎ ‎　‎ ‎22．（2011秋•泰州期末）如图，已知椭圆，左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，P为椭圆上在第一象限内一点．‎ ‎（1）若，求椭圆的离心率；‎ ‎（2）若=，求直线PF1的斜率k；‎ ‎（3）若成等差数列，椭圆的离心率e，求直线PF1的斜率k的取值范围．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质；等差数列的性质．‎ ‎【分析】（1）若，则F2为F1A的中点，从而得a、c间的等式，求得离心率；‎ ‎（2）设直线PF1的方程为y=k（x+c），若=，则点B、F2到直线PF1的距离相等，利用点到直线的距离公式即可得k、b、c间的关系，再由（1）即可求得斜率k的值 ‎（3）利用点到直线的距离公式，若 成等差数列，则k=，两边平方后，利用已知离心率范围，即可求得k的范围 ‎【解答】解：（1）∵∴F1F2=F2A ‎∴a﹣c=2c ‎∴e=‎ ‎（2）设直线PF1的方程为y=k（x+c），‎ ‎∵‎ ‎∴PF1•=PF1•‎ ‎∴b﹣kc=2kc ‎∴b=3kc ‎∵a=3c，a2﹣b2=c2‎ ‎∴b=2c ‎∴k=‎ ‎（3）设=t，则=‎ ‎∵P在第一象限∴k＜‎ ‎=‎ ‎∴=t ‎∴2t=+t ‎∴4kc=ak﹣ck+b﹣kc ‎∴k（6c﹣a）=b ‎∴k=‎ ‎∴＜‎ ‎∴＜e＜1‎ 又由已知e，‎ ‎∴e，‎ ‎∴k2==‎ ‎== （令m=6e﹣1，∴e=）‎ ‎==×‎ ‎=×（﹣﹣1）‎ ‎∵e，‎ ‎∴≤m＜5‎ ‎∴＜≤2∴0＜k2≤‎ ‎∴0＜k≤‎ ‎【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程、椭圆的几何性质，椭圆的离心率的定义及其求法，直线与椭圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，有一定的运算量 ‎　‎